Comenzamos tema nuevo donde nuestro cometido será estudiar las funciones \[f:D\subset\mathbb{R}^n\longrightarrow\mathbb{R}^m,\] para \(m,n\geqslant 1\). Si \(m=n=1\), tenemos las funciones reales de una variable real que conocemos habitualmente. Cuando \(n=1\) y \(m>1\) la denominamos función vectorial de una variable real.
Sin embargo, trataremos con mayor asiduidad en el caso de que \(n>1\). De este modo, las funciones del tipo \[f:D\subset\mathbb{R}^n\longrightarrow\mathbb{R}\] se denominan funciones reales varias variables, o campos escalares; y las \[f:D\subset\mathbb{R}^n\longrightarrow\mathbb{R}^m,\] con \(m>1\), se denominan función vectorial de varias variables, o campo vectorial.
Campos escalares
Estas funciones anteriores tienen un tratamiento que veremos más adelante. Ahora introduciremos los campos escalares, comenzando con los de dos variables:
Una función \(f\) de dos variables es una regla que asigna a cada par ordenado de números reales \((x, y)\) de un conjunto \(D\), un único número real que se denota con \(f(x, y)\).
El conjunto \(D\) es el dominio de \(f\) y su rango es el conjunto de valores que toma \(f\), es decir, {\(f(x,y);(x,y)\in D\)}.
A menudo, escribimos \(z=f (x, y)\) para hacer explícito el valor que toma \(f\) en el punto \((x, y)\). Las variables \(x\) y \(y\) son variables independientes y \(z\) es la variable dependiente. \(z=f (x, y)\) y \(u=f (x, y,z)\) son los campos escalares que trabajaremos. En matemáticas y física, un campo escalar representa la distribución espacial de una magnitud escalar, asociando un valor a cada punto del espacio. En matemáticas, el valor es un número; en física, una magnitud física.
Curvas de nivel
Si nosotros grafiamos los puntos \((x,y,f(x,y))\in\mathbb{R}^3\), tenemos la representación de los valores de \(z=f (x, y)\) como una superficie en \(\mathbb{R}^3\). Si hacemos fijo \(z\) nos define la curvas de nivel:
Las curvas de nivel de una función \(f\) de dos variables son las curvas cuyas ecuaciones son \(f (x, y)=k\), donde \(k\) es una constante (en el rango de \(f\)).
Las curvas de nivel son justamente las curvas de la gráfica de \(f\) en el plano horizontal \(z=k\) proyectadas en el plano \(xy\). Si dibuja las curvas de nivel de una función y las imaginamos como elevaciones de la superficie a la altura indicada, entonces puede formar mentalmente una imagen de la gráfica. La superficie tiene pendiente abrupta donde las curvas de nivel están muy cercanas entre sí. Es algo más plana donde las curvas de separan.
By <a href=»//commons.wikimedia.org/wiki/User:MHz%60as» title=»User:MHz`as»>MHz`as</a> – <a href=»//commons.wikimedia.org/wiki/File:Contour2D.jpg» title=»File:Contour2D.jpg»>Contour2D.jpg</a>, CC BY-SA 3.0, Link
El mismo proceder nos sirve para extender estas definiciones a tres o más variables.
Límite y continuidad de un campo escalar
El siguiente paso, con el que concluiremos la sesión, es formular la definición de límite y continuidad de un campo escalar.
De manera genérica, si \(f:D\subset\mathbb{R}^n\longrightarrow\mathbb{R}\), considerando \(\mathbb{R}^n\) como es \(\mathbb{R}\)-espacio vectorial con el producto escalar euclídeo conocido, decimos que el límite de \(f(x_1,…,x_n)\) cuando \(\vec{x}=(x_1,…,x_n)\) tiende a \(\vec{a}=(a_1,…,a_n)\) es \(L\), y escribimos,
\[\lim_{\vec{x}\to\vec{a}}f(\vec{x})=L\]
si \(\vec{x}\in D\) y \(||\vec{x}-\vec{a}||<\delta\), entonces \(|f(\vec{x})-L|<\epsilon\).
Y será continua si
\[\lim_{\vec{x}\to\vec{a}}f(\vec{x})=f(\vec{a}).\]
Probar que existen estos límites, y por tanto la continuidad, no es tarea fácil. En casos, resulta más sencillo probar su no existencia. Para estos casos, utilizaremos la herramienta que nos proporcionan los límites direccionales e iterados.
[Límites direccionales] Sea \(f:D\subset\mathbb{R}^2\longrightarrow\mathbb{R}\), talque existe el \(\lim_{(x,y)\to(a,b)}f(x,y)\), y sea \(y(x)\) una función tal que \(\lim_{x\to a}y=b\),entonces \[\lim_{(x,y)\to(a,b)}f(x,y)=\lim _{x\to a}f(x,y(x))\]
Análogamente se consigue considerando una función \(x(y)\): \[\lim_{(x,y)\to(a,b)}f(x,y)=\lim _{y\to b}f(x(y),y)\]
Ejemplo: Determinar \[\lim_{(x,y)\to(2,1)}\frac{\left( x-2\right) \, \left( y-1\right) }{{{\left( x-2\right) }^{2}}+{{\left( y-1\right) }^{2}}}\]
[Límites iterados] Sea \(f:D\subset\mathbb{R}^2\longrightarrow\mathbb{R}\), talque existe el \(\lim_{(x,y)\to(a,b)}f(x,y)\), entonces \[\lim_{(x,y)\to(a,b)}f(x,y)=\lim _{y\to b}\lim _{x\to a}f(x,y)=\lim _{x\to a}\lim _{y\to b}f(x,y)\]
Ejemplo: Determinar \[\lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{x^{2}}{x^{2}+y^{2}}\]
Bibliografía
- Capítulo 13 del libro Cálculo de varias variables, de James Stewart.
Ejercicio: ¿Cuál de los siguientes límites existe? |