Categoría: mathbio

Tenemos que determinar

\[\begin{align*}\mathbf{det}(A-\lambda I_3)&=\begin{vmatrix}-\lambda+5 & 0 & 4\\
4 & -\lambda-1 & 4\\
-8 & 0 & -7-\lambda\end{vmatrix}\\ &=-\lambda^3-3\lambda^2+\lambda+3\\ &=(\lambda+3)(\lambda+1)(\lambda-1)\end{align*}\]
Por tanto, los autovalores son \(\lambda_1=3\), \(\lambda_2=-1\) y \(\lambda_3=1\).

Para calcular los autovectores del autovalor \(\lambda=-3\), planteamos el sistema

\[(A-\lambda I_3)X=0\to \begin{bmatrix}-3+5 & 0 & 4\\
4 & -3-1 & 4\\
-8 & 0 & -7-3\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x\\ y\\ z\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}0\\ 0\\ 0\end{bmatrix}\]

Utilicemos las matrices como hecho en casos anteriores para resolver este sistema:
\[\begin{bmatrix}8 & 0 & 4\\
4 & 2 & 4\\
-8 & 0 & -4\end{bmatrix}\sim
\begin{bmatrix}8 & 0 & 4\\
4 & 2 & 4\\
0 & 0 & 0\end{bmatrix}\sim
\begin{bmatrix}2 & 0 & 1\\
2 & 1 & 2\\
0 & 0 & 0\end{bmatrix}\sim
\begin{bmatrix}2 & 0 & 1\\
0 & 1 & 1\\
0 & 0 & 0\end{bmatrix}
\]

Luego, \(x=-\frac{1}{2}\mu\), \(y=-\mu\) y \(z=\mu\), por tanto, el subespacio asociado al autovalor \(\lambda=-3\) es \(\mathcal{C}_{-3}=\mathbf{Gen}\{[-1,-2,2]\}\)

Para calcular los autovectores del autovalor \(\lambda=-1\), planteamos el sistema

\[(A-\lambda I_3)X=0\to \begin{bmatrix}1+5 & 0 & 4\\
4 & -1+1 & 4\\
-8 & 0 & -7+1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x\\ y\\ z\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}0\\ 0\\ 0\end{bmatrix}\]

Utilicemos las matrices como hecho en casos anteriores para resolver este sistema:
\[\begin{bmatrix}6 & 0 & 4\\
4 & 0 & 4\\
-8 & 0 & -6\end{bmatrix}\sim
\begin{bmatrix}3 & 0 & 2\\
1 & 0 & 1\\
-4 & 0 & -3\end{bmatrix}\sim
\begin{bmatrix}0 & 0 & -1\\
1 & 0 & 1\\
-4 & 0 & -3\end{bmatrix}
\]

Luego, \(x=0\) y \(z=0\), por tanto el subespacio asociado al autovalor \(\lambda=-1\) es \(\mathcal{C}_{-1}=\mathbf{Gen}\{[0,1,0]\}\)

El único autovalor real es \(\lambda=-1\), luego el autovector será la base del subespacio dado por \[\begin{bmatrix}5 & 0 & -3\\ 3 & 0 & 3\\ 6 & 0 & 6\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x \\ y\\ z\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}0 \\ 0\\ 0\end{bmatrix}\]

Mediante operaciones elementales, el sistema anterior es equivalente a \[\begin{bmatrix}1 & 0 & 0\\
1 & 0 & 1\\ 0 & 0 & 0\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x \\ y\\ z\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}0 \\ 0\\ 0\end{bmatrix}\]

Luego, \(x=0\) y \(z=0\), por tanto el subespacio asociado al autovalor \(\lambda=-1\) es \(\mathcal{C}_{-1}=\mathbf{Gen}\{[0,1,0]\}\)

Calculando el polinomio característico, obtenemos: \(-\lambda^3+3\lambda+2=0\), esto da las soluciones \(\lambda=2\) y \(\lambda=-1\). Así pues, el mayor autovalor real es \(\lambda=2\).

Mediante operaciones elementales, el sistema anterior es equivalente a \[\begin{bmatrix}1 & 0 & \frac{1}{2}\\
0 & -1 & \frac{1}{2}\\ 0 & 0 & 0\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x \\ y\\ z\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}0 \\ 0\\ 0\end{bmatrix}\]

Luego, \(x=\mu\frac{-1}{2}\), \(y=\mu\frac{1}{2}\) y \(z=\mu\), por tanto, el subespacio asociado al autovalor \(\lambda=2\) es \(\mathcal{C}_{2}=\mathbf{Gen}\{[-1,1,2]\}\)

Ahora solo tenemos que calcular \[\frac{1}{\|[-1,1,2]\|}([1,1,1]\bullet[-1,1,2])=\frac{\sqrt{6}}{3}\]

Para calcular los autovectores del autovalor \(\lambda=1\), planteamos el sistema

\[(A-\lambda I_3)X=0\to \begin{bmatrix}5-1 & 0 & 4\\
4 & -1-1 & 4\\
-8 & 0 & -7-1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x\\ y\\ z\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}0\\ 0\\ 0\end{bmatrix}\]

Utilicemos las matrices como hecho en casos anteriores para resolver este sistema:
\[\begin{bmatrix}4 & 0 & 4\\
4 & -2 & 4\\
-8 & 0 & -8\end{bmatrix}\sim
\begin{bmatrix}4 & 0 & 4\\
0 & -2 & 0\\
0 & 0 & 0\end{bmatrix}\sim
\begin{bmatrix}1 & 0 & 1\\
0 & 1 & 0\\
0 & 0 & 0\end{bmatrix}
\]

Luego, \(y=0\) y \(x=-z\), por tanto, el subespacio asociado al autovalor \(\lambda=1\) es \(\mathcal{C}_{1}=\mathbf{Gen}\{[-1,0,1]\}\)

A.)

Queremos hallar los autovalores de la matriz $A$:

$$A = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 2 & -1 \\ 0 & 1 & -1 & 0 \\ 0 & 2 & 0 & -1 \end{bmatrix}$$

Recuerda que los autovalores $\lambda$ son las raíces del **polinomio característico**, definido por la ecuación:

$$\det(A – \lambda I) = 0$$

—

### Paso 1: Construir la matriz $A – \lambda I$

Restamos $\lambda$ a la diagonal principal de la matriz $A$:

$$A – \lambda I = \begin{bmatrix} 1-\lambda & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1-\lambda & 2 & -1 \\ 0 & 1 & -1-\lambda & 0 \\ 0 & 2 & 0 & -1-\lambda \end{bmatrix}$$

—

### Paso 2: Desarrollar el determinante $4 \times 4$

Para calcular $\det(A – \lambda I)$, observamos la **primera columna**. Salvo el primer elemento, todos los demás son ceros:

$$\begin{bmatrix} \mathbf{1-\lambda} & 0 & 0 & 1 \\ \mathbf{0} & 1-\lambda & 2 & -1 \\ \mathbf{0} & 1 & -1-\lambda & 0 \\ \mathbf{0} & 2 & 0 & -1-\lambda \end{bmatrix}$$

Desarrollando los adjuntos por esta primera columna, el determinante de $4 \times 4$ se reduce directamente al producto del elemento $(1-\lambda)$ por el subdeterminante de $3 \times 3$ resultante:

$$\det(A – \lambda I) = (1-\lambda) \cdot \det \begin{bmatrix} 1-\lambda & 2 & -1 \\ 1 & -1-\lambda & 0 \\ 2 & 0 & -1-\lambda \end{bmatrix}$$

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### Paso 3: Calcular el subdeterminante de $3 \times 3$

Llamemos $M$ a la submatriz de $3 \times 3$:

$$M = \begin{bmatrix} 1-\lambda & 2 & -1 \\ 1 & -1-\lambda & 0 \\ 2 & 0 & -1-\lambda \end{bmatrix}$$

Podemos calcular $\det(M)$ desarrollando por adjuntos. Para que el cálculo sea lo más sencillo posible, elegimos una fila o columna que contenga el mayor número posible de ceros. En este caso, elegiremos la segunda fila $\begin{bmatrix} 1 & -1-\lambda & 0 \end{bmatrix}$.

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#### Paso 3.1: Recordar los signos de la matriz de adjuntos

Los signos asociados a cada posición vienen dados por $(-1)^{i+j}$:

Para la segunda fila, los signos corresponden a: $(-, +, -)$.

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#### Paso 3.2: Aplicar la fórmula del desarrollo por la fila 2

La fórmula del desarrollo por adjuntos para la fila 2 es:

$$\det(M) = a_{21} C_{21} + a_{22} C_{22} + a_{23} C_{23}$$

donde $a_{ij}$ son los elementos de la fila y $C_{ij}$ sus respectivos adjuntos.

1. Primer elemento ($a_{21} = 1$), signo negativo:
Eliminamos fila 2 y columna 1:

$$a_{21} C_{21} = -1 \cdot \det \begin{bmatrix} 2 & -1 \\ 0 & -1-\lambda \end{bmatrix}$$

Calculamos el determinante de $2 \times 2$:

$$2(-1-\lambda) – 0(-1) = -2 – 2\lambda = -2(1+\lambda)$$

Multiplicando por el $-1$ exterior:

$$a_{21} C_{21} = -1 \cdot [-2(1+\lambda)] = 2(1+\lambda)$$

2. Segundo elemento ($a_{22} = -1-\lambda$), signo positivo:
Eliminamos fila 2 y columna 2:

$$a_{22} C_{22} = +(-1-\lambda) \cdot \det \begin{bmatrix} 1-\lambda & -1 \\ 2 & -1-\lambda \end{bmatrix}$$

Calculamos el determinante de $2 \times 2$:

$$(1-\lambda)(-1-\lambda) – 2(-1) = -(1-\lambda)(1+\lambda) + 2$$

Aplicamos suma por diferencia ($1-\lambda^2$):

$$-(1-\lambda^2) + 2 = \lambda^2 – 1 + 2 = \lambda^2 + 1$$

Por lo tanto:

$$a_{22} C_{22} = (-1-\lambda)(\lambda^2 + 1) = -(1+\lambda)(\lambda^2 + 1)$$

3. Tercer elemento ($a_{23} = 0$), signo negativo:
Como el elemento es $0$, no hace falta calcular su adjunto:

$$a_{23} C_{23} = 0$$

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#### Paso 3.3: Sumar los términos y factorizar

Sumamos los resultados obtenidos en los tres pasos:

$$\det(M) = 2(1+\lambda) – (1+\lambda)(\lambda^2 + 1)$$

Sacamos factor común $(1+\lambda)$:

$$\det(M) = (1+\lambda) \left[ 2 – (\lambda^2 + 1) \right]$$

$$\det(M) = (1+\lambda) (1 – \lambda^2)$$

Finalmente,

$$\det(M) = (1+\lambda) (1-\lambda) (1+\lambda) = (1-\lambda)(1+\lambda)^2$$

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### Paso 4: Ecuación característica y solución

Sustituimos $\det(M)$ en la expresión del determinante general:

$$\det(A – \lambda I) = (1-\lambda) \cdot \det(M) = (1-\lambda) \cdot (1-\lambda)(1+\lambda)^2 = (1-\lambda)^2 (1+\lambda)^2$$

Igualamos el polinomio característico a cero para calcular los autovalores:

$$(1-\lambda)^2 (1+\lambda)^2 = 0$$

De esta ecuación extraemos directamente los factores:

1. $(1-\lambda)^2 = 0 \implies \lambda = 1$ (con **multiplicidad algebraica 2**)
2. $(1+\lambda)^2 = 0 \implies \lambda = -1$ (con **multiplicidad algebraica 2**)

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### Conclusión

Los autovalores de la matriz $A$ son:

$$\lambda_1 = 1 \quad \text{y} \quad \lambda_2 = -1$$

ambos con multiplicidad 2.