Recodad que definíamos los autovectores, o vectores propios, como
Recordemos que dada una matriz, \(\mathbf{A}\in\mathcal{M}_n(\mathbb{K})\), decimos que \(\vec{v} \in\mathbb{K}^n\) es un autovector, o vector propio de la matriz, sí \[\mathbf{A}\vec{v}=\lambda\vec{v},\] siendo \(\lambda\in\mathbb{K}\). Al escalar \(\lambda\) se le denomina autovalor o valor propio de la matriz.
Si determinamos los valores propios, o autovalores, saber los vectores propios, o autovalores, será equivalente a resolver el sistema \[(\mathbf{A}-\lambda\, I)\vec{x}=\vec{0},\] para cada valor propio \(\lambda\) raíz de la ecuación característica(el resultado de igualar el polinomio característico a cero). Así, para cada valor propio habrá un vector propio, al menos.
Cada valor propio tiene asociado un conjunto \(C_\lambda=\{\vec{v}\in\mathbb{K}^n\}\), que se determina resolviendo el sistema homogeneo \((\mathbf{A}-\lambda\, I)\vec{x}=\vec{0}\), que se denomina subespacio propio de \(\lambda\). Las bases de estos subespacios son los vectores propios de la matriz.
Ejercicio: Determinar los subespacios propios de la matriz \[\begin{bmatrix}2&1\\1&2\end{bmatrix}\]
(%i6)
A:matrix([2,1],[1,2])$ determinant(A−x·ident(2)); s:solve(%,x); aut:[]$ for i:1 thru length(s) do ( aut:append(aut,[ev(x,s[i])]) )$ aut;
\[{{\left( 2-x\right) }^{2}}-1\]
\[\left[ x=3,x=1\right] \]
\[\left[ 3,1\right] \]
Tenemos dos autovalores, veamos cuales son los subespacios propios de cada autovalor.
Ejercicio: Cuál es el producto escalar de [1,-2,3,-4] por el autovector unitario del mayor valor propio de la matriz \[\begin{bmatrix}4 & 2 & 0 & 0 \\
3 & 3 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 2 & 5 \\
0 & 0 & 0 & 2\end{bmatrix}\]
Ejercicio: Cuál es el producto escalar de [1,-2,3,-4] por el autovector unitario del mayor valor propio de la matriz \[\begin{bmatrix}4 & 1 & 0 & 1\\
2 & 3 & 0 & 1\\
-2 & 1 & 2 & -3\\
2 & -1 & 0 & 5\end{bmatrix}\]
Suma e intersección de subespacios Ejemplo: Sean los subespacios vectoriales \(S=\textbf{Gen}\{[[1,2],[2,1]],\) \([[0,-1],[1,1]]\}\) \(\in\mathcal{M}_2(\mathbb{R})\) y \(T=\textbf{Gen}\{[[-1,0],[3,-1]],\)\([[1,9],[9,-2]]\}\in\mathcal{M}_2(\mathbb{R})\). Determinar las ecuaciones implícitas de \(S\cap T\). Solución: Ejemplo: Dados los subespacios anteriores, ¿cuáles son las sumas(en…
Abordemos una de los procesos más importantes en este tema: Ejemplo: Dar una base ortogonal de la variedad \(S=\left\{\begin{bmatrix}1&2\\ 0& -1\end{bmatrix}+\left.\begin{bmatrix}a+b&3a-b\\ b& -a\end{bmatrix}\right|a,b\in\mathbb{R}\right\}\) Solución: Ejemplo: Cuál sería la traza de la matriz…
El espacio afín euclídeo Ejemplo: ¿Cuál es la norma del vector perpendicular al subespacio generado por \(\vec{v}:(1,-1,5)\) y \(\vec{u}:(2,3,-1)\)? Solución: Lo que buscamos es \(\|\vec{v}\times\vec{u}\|\). (%i6) fpprintprec:6$v:[1,–1,5]$u:[2,3,–1]$vu:rat(determinant(matrix([i,j,k],v,u)),k,j,i);vu:[coeff(vu,i),coeff(vu,j),coeff(vu,k)]$print(«La norma de «,vu,«es»,float(sqrt(vu.vu)))$ (vu)−14i+11j+5kLa norma…
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Para el primer autovalor