ALG: Espacios vectoriales y aplicaciones lineales con maxima
Posted on 24 de octubre de 2025
Compleción de un conjunto l.i. a una base
A veces, necesitamos completar un conjunto l.i. de vectores para que formen una base de todo el espacio vectorial. Para conseguirlo podemos obrar de la siguiente forma.
Consideremos \(\{\textbf{v}_1,\textbf{v}_2,\ldots,\textbf{v}_m\}\) un conjunto linealmente independiente de vectores de una espacio vectorial, \(\mathcal{V}\), y \(\{\textbf{e}_1,\textbf{e}_2,\ldots,\textbf{e}_n\}\) una base de \(\mathcal{V}\). Sea la \(A\) la matriz cuyas filas son los vectores \(\textbf{v}_1,\textbf{v}_2,\ldots\), \(\textbf{v}_m\), y \(B\) la matriz de los vectores de la base, \(\textbf{e}_1,\textbf{e}_2,\ldots\), \(\textbf{e}_n\). Entonces realizamos operaciones elementales de forma que
\[\left[\frac{A}{B}\right] \sim \left[\frac{E}{B^\prime}\right]\] donde \(E\) es una matriz escalonada y \({B^\prime}\) una matriz escalonada siguiente a \(E\), entonces los \(n-m\) escalones no nulos de \({B^\prime}\) nos determinan los vectores que completan la base del espacio vectorial.
Ejercicio: Sea \(S=\left\{\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}\in\mathcal{M}_2(\mathbb{R});a=b+c,\ d=2c\right\}\), completar su base para obtener una del espacio vectorial.
Necesitamos una base de \(s\) y para ello suficiente con observar que si \(\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}\in S\) es:\[ \begin{bmatrix}a&b \\c&d\end{bmatrix}= \begin{bmatrix}b+c&b\\ c&2c\end{bmatrix}= b\begin{bmatrix}1&1\\ 0&0\end{bmatrix}+c\begin{bmatrix}1&0\\ 1&2\end{bmatrix}\]
Luego \[\left\{\begin{bmatrix}1&1\\0&0\end{bmatrix},\begin{bmatrix}1&0\\1&2\end{bmatrix}\right\}\] es una base del subespacio. Si consideramos la base canónica de \(\mathcal{M}_2(\mathbb{R})\) podemos formar la matriz
\[\begin{bmatrix}1&1&0&0\\ 1&0&1&2\\ 1&0&0&0\\ 0&1&0&0\\ 0&0&1&0\\ 0&0&0&1 \end{bmatrix}\overset{f_2-f_1}{\sim}\begin{bmatrix}1&1&0&0\\ 0&-1&1&2\\ 1&0&0&0\\ 0&1&0&0\\ 0&0&1&0\\ 0&0&0&1 \end{bmatrix}\overset{f_3-f_1}{\sim}\begin{bmatrix}1&1&0&0\\ 0&-1&1&2\\ 0&-1&0&0\\ 0&1&0&0\\ 0&0&1&0\\ 0&0&0&1 \end{bmatrix}\]
\[\overset{f_3-f_2}{\sim}\begin{bmatrix}1&1&0&0\\ 0&-1&1&2\\ 0&0&-1&-2\\ 0&1&0&0\\ 0&0&1&0\\ 0&0&0&1 \end{bmatrix}\overset{f_4+f_2}{\sim}\begin{bmatrix}1&1&0&0\\ 0&-1&1&2\\ 0&0&-1&-2\\ 0&0&1&2\\ 0&0&1&0\\ 0&0&0&1 \end{bmatrix}\overset{f_4+f_3}{\sim}\begin{bmatrix}1&1&0&0\\ 0&-1&1&2\\ 0&0&-1&-2\\ 0&0&0&0\\ 0&0&1&0\\ 0&0&0&1 \end{bmatrix}\]
\[\overset{f_4\leftrightarrow f_5}{\sim}\begin{bmatrix}1&1&0&0\\ 0&-1&1&2\\ 0&0&-1&-2\\ 0&0&1&0\\ 0&0&0&0\\0&0&0&1 \end{bmatrix}\overset{f_5\leftrightarrow f_6}{\sim}\begin{bmatrix}1&1&0&0\\ 0&-1&1&2\\ 0&0&-1&-2\\ 0&0&1&0\\0&0&0&1\\ 0&0&0&0 \end{bmatrix}\overset{f_4+ f_3}{\sim}\begin{bmatrix}1&1&0&0\\ 0&-1&1&2\\ 0&0&-1&-2\\ 0&0&0&-2\\0&0&0&1\\ 0&0&0&0 \end{bmatrix}\]
Por comodidad podríamos permutar las filas 4 y 5 y tendríamos las cuatro primeras filas linealmente independientes. Luego \[\left\{\begin{bmatrix}1&1\\0&0\end{bmatrix},\begin{bmatrix}1&0\\1&2\end{bmatrix},\begin{bmatrix}0&0\\-1&-2\end{bmatrix},\begin{bmatrix}0&0\\0&1\end{bmatrix}\right\}\]
Ejercicio: Sea \(S=\left\{a+bX+cX^2+dX^3+eX^4\in\mathbb{R}_4[X];b=a-d,\ c=e-2d\right\}\), completar su base para obtener una del espacio vectorial \(\mathbb{R}_4[X]\).
Primero debemos sacar una base:
\[S=\left\{a+bX+cX^2+dX^3+eX^4\in\mathbb{R}_4[X];b=a-d,\ c=e-2d\right\}=\] \[=\left\{a+(a-d)X+(e-2d)X^2+dX^3+eX^4;a,d,e\in\mathbb{R}\right\}\]
Luego \[a+(a-d)X+(e-2d)X^2+dX^3+eX^4=a(1-X)+d(-X-2X^2+X^3)+e(X^2+X^4).\] Es decir,
\[S=\mathbf{Gen}\left\{1-X,-X-2X^2+X^3,X^2+X^4\right\}\]
Pasémoslo a sus vectores de coordenadas y realicemos el proceso de completación.
Aqui podemos parar, pues los cinco primero vectores son l.i.; es decir, una base de \(\mathbb{R}^4\). Por tanto, para completar la base solo necesitamos los dos vectores que continuan a los que tenemos: \[\left\{1-X,-X-2X^2+X^3,X^2+X^4, X^3+2X^4, -X^4\right\}\]
La complementación que acabamos de realizar se fundamenta en el siguiente teorema:
Teorema: Sea \(S\) un subespacio vectorial de un espacio vectorial \(V\), finitamente generado(e.v.f.g). Si \(B_S\) es una base de \(S\), existen \(\{u_1,\ldots,u_r\}\subset V-B_S\), de modo que \(B_S\cap \{u_1,\ldots,u_r\}\) es una base de \(V\).
Así podemos dar la siguiente definición:
Definición: Sea \(S\) un subespacio vectorial de un espacio vectorial \(V\), finitamente generado(e.v.f.g). Se llama subespacio vectorial suplementario de \(S\), con base \(B_S\), al subespacio generado por los vectores \(\{u_1,\ldots,u_r\}\subset V-B_S\), tales que \(B_S\cap \{u_1,\ldots,u_r\}\) es una base de \(V\).
Observar que \[S+\mathbf{Gen}\{u_1,\ldots,u_r\}=V\]
Se dice que la suma anterio es directa \[S\oplus\mathbf{Gen}\{u_1,\ldots,u_r\}=V,\] cuando para cada \(v\in V\) existen dos únicos \(s\in S\) y \(u\in \mathbf{Gen}\{u_1,\ldots,u_r\}\), tales que \[s+u=v.\]
Ejercicio: Sea \(S=\left\{\begin{bmatrix}a&2b\\a-b&a+b\end{bmatrix};a,b\in\mathbb{R}\right\}\subset\mathcal{M}_2(\mathbb{R})\), obtener una base para su suplementario.
Ejercicio: Dada la aplicación lineal \(f:\mathbb{R}_2[X]\to\mathbb{R}_2[X]\) dada por \[\forall p(X)\in\mathbb{R}_2[X];\ f(p(X))=p(X)-\frac{d}{dX}p(X),\] y \(M_f\) su matriz asociada respecto de la base \(B=\{2+X-X^2,2X-1,1+3X^2\}\). ¿Cuál es el valor de \(\mathbf{tr}(M_fM_f^t)\) ?
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C).
Como \[\forall p(X)\in\mathbb{R}_2[X];\ f(p(X))=p(X)-\frac{d}{dX}p(X),\]
aplicamos cada uno de los polinomios de \(B=\{p=2+X-X^2,q=2X-1,r=1+3X^2\}\) tendremos
\[f(p)=-{{X}^{2}}+3 X+1\operatorname{,}f(q)=2 X-3\operatorname{,}f(r)=3 {{X}^{2}}-6 X+1 \]
Ahora solo tenemos que colocar las coordenadas en columnas:
\[M_f\begin{bmatrix}1 & -3 & 1\\
3 & 2 & -6\\
-1 & 0 & 3\end{bmatrix}\]
Resolvemos el ejercicio
\[\begin{bmatrix}1 & -3 & 1\\
3 & 2 & -6\\
-1 & 0 & 3\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1 & 3 & -1\\
-3 & 2 & 0\\
1 & -6 & 3\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}11 & -9 & 2\\
-9 & 49 & -21\\
2 & -21 & 10\end{bmatrix}\]
Así la traza es 70.