Recordemos que un subespacio vectorial es el subconjunto de un espacio vectorial que satisface por sí mismo la definición de espacio vectorial con las mismas operaciones que V el espacio vectorial original.
Sea \(V\) un espacio vectorial sobre \(\mathbb{K}\), y \(U\subset V\) no vacío; \(U\) es un subespacio vectorial de \(V\) si:
Un resultado práctico que nos ayudará a determinar los subespacios vectoriales es el siguiente:
Si \(V\) es un \(\mathbb{K}\)-espacio vectorial, entonces un subconjunto no vacío \(S\) de \(V\) es un subespacio vectorial si y solo si para cualesquiera dos vectores \(\vec{v}, \vec{w}\in S\) y cualesquiera escalares \(\lambda,\mu\in\mathbb{K}\), pertenecientes al cuerpo asociado, entonces el vector \(\lambda\vec{v}+\mu\vec{w}\in S\).
Bases de subespacios
Igual en que los espacios vectoriales finitamente generados existían conjuntos de vectores que formaban una base del espacio, los subespacios se pueden definir mediante la base del subespacio.
Ejercicio: Sea \(T=\left\{\begin{bmatrix}c+3d&2c+d\\ d&2c-d\end{bmatrix};a,b\in\mathbb{R}\right\}\), determinar una base del subespacio vectorial \(T\).
Observemos que \[\begin{bmatrix}c+3d&2c+d\\ d&2c-d\end{bmatrix}= c\begin{bmatrix}1&2\\0&2\end{bmatrix}+d\begin{bmatrix}3&1\\1&-1\end{bmatrix}.\]
Luego \(\left\{\begin{bmatrix}1&2\\0&2\end{bmatrix},\begin{bmatrix}3&1\\1&-1\end{bmatrix}\right\}\) es un sistema generador de \(T\). Solo necesitamos ver si los vectores son l.i.
\[\begin{bmatrix}1&2 &0&2\\ 3&1&1&-1\end{bmatrix}\underset{\sim }{f_2-3f_1}\begin{bmatrix}1&2 &0&2\\ 0&-5 &1&-7\end{bmatrix}\]
Luego \[\textbf{rank}\begin{bmatrix}1&2 &0&2\\ 3&1&1&-1\end{bmatrix}=2\] y son l.i.
Ejercicio: Sea \(S=\{p\in\mathbb{R}_4[X];p(-X)=p(X)\}\), determinar una base de este subespacio vectorial.
Paso 1: Expresar un polinomio genérico. Un polinomio cualquiera de $\mathbb{R}_4[X]$ se escribe
\[
p(X)=a+bX+cX^2+dX^3+eX^4,\qquad a,b,c,d,e\in\mathbb{R}.
\]
Paso 3: Imponer la condición $p(-X)=p(X)$. Igualamos coeficientes de ambos polinomios:
\[
a+bX+cX^2+dX^3+eX^4=a-bX+cX^2-dX^3+eX^4 .
\]
Comparando término a término:
\[
\begin{cases}
b=-b\\
d=-d
\end{cases}
\;\Longrightarrow\;
\begin{cases}
2b=0\\
2d=0
\end{cases}
\;\Longrightarrow\; b=0,\quad d=0 .
\]
Los coeficientes $a$, $c$ y $e$ no quedan restringidos (las igualdades $a=a$, $c=c$, $e=e$ se cumplen siempre).
Paso 4: Describir el subespacio con parámetros.
\[
S=\{a+cX^2+eX^4;\ a,c,e\in\mathbb{R}\}.
\]
Paso 5: Obtener un sistema generador. Sacando factor común a cada parámetro:
\[
a+cX^2+eX^4=a\cdot 1+c\cdot X^2+e\cdot X^4 ,
\]
luego
\[
S=\langle 1,\ X^2,\ X^4\rangle .
\]
Paso 6: comprobar la independencia lineal. Sean $\alpha,\beta,\gamma\in\mathbb{R}$ tales que
\[
\alpha\cdot 1+\beta X^2+\gamma X^4=0 .
\]
Un polinomio es nulo si y solo si todos sus coeficientes son nulos, así que $\alpha=\beta=\gamma=0$. Por tanto $\{1,X^2,X^4\}$ es linealmente independiente.
Conclusión. Como $\{1,X^2,X^4\}$ es sistema generador de $S$ y es linealmente independiente, es una base de $S$:
\[
\boxed{\mathcal{B}=\{1,\ X^2,\ X^4\}},\qquad \dim S=3 .
\]
Ejercicio: Sea \(S=\{p\in\mathbb{R}_4[X];p(2)=0\}\), determinar una base de este subespacio vectorial.
Paso 1: Expresar un polinomio genérico. Un polinomio cualquiera de $\mathbb{R}_4[X]$ se escribe
\[
p(X)=a+bX+cX^2+dX^3+eX^4,\qquad a,b,c,d,e\in\mathbb{R}.
\]
Paso 2: imponer la condición $p(2)=0$.
\[
p(2)=a+2b+4c+8d+16e=0 .
\]
Es una única ecuación lineal, por lo que despejamos $a$:
\[
a=-2b-4c-8d-16e .
\]
Paso 3: Describir el subespacio con parámetros. Sustituyendo en $p(X)$:
\[
p(X)=(-2b-4c-8d-16e)+bX+cX^2+dX^3+eX^4,
\]
con $b,c,d,e\in\mathbb{R}$ libres.
Paso 4: Obtener un sistema generador. Sacando factor común a cada parámetro:
\[
p(X)=b\,(X-2)+c\,(X^2-4)+d\,(X^3-8)+e\,(X^4-16).
\]
Luego
\[
S=\langle X-2,\ X^2-4,\ X^3-8,\ X^4-16\rangle .
\]
Paso 5: Comprobar la independencia lineal. Esta vez lo haremos con el rango de la matriz de coordenadas:
Por tanto, el sistema generador es linealmente independiente.
Conclusión. Como $\{X-2,\ X^2-4,\ X^3-8,\ X^4-16\}$ es sistema generador de $S$ y es linealmente independiente, es una base de $S$:
\[
\boxed{\mathcal{B}=\{X-2,\ X^2-4,\ X^3-8,\ X^4-16\}},\qquad \dim S=4 .
\]
Operaciones con subespacios
Sea \({\displaystyle (V,+,\mathbb{K},*)}\) un espacio vectorial; \({\displaystyle (S,+,\mathbb{K},*)}\) y \({\displaystyle (W,+,\mathbb{K},*)}\) subespacios vectoriales de \({\displaystyle V}\). Se definen las siguientes operaciones:
\(\bullet\)Unión
\[{\displaystyle S\cup W=\left\{\mathbf {v} \in V| \mathbf {v} \in S\ {\text{o}}\ \mathbf {v} \in W\right\}}\]
En general, la unión de subespacios no es un subespacio; solo lo será si uno está contenido en el otro (\(S\subseteq W\) ó \(W\subseteq S\)).
\(\bullet\)Intersección
\[{\displaystyle S\cap W=\left\{\mathbf {v} \in V| \mathbf {v} \in S\ {\text{y}}\ \mathbf {v} \in W\right\}}\]
La intersección de dos subespacios es un subespacio.
\(\bullet\)Suma
\[{\displaystyle S+W=\left\{\mathbf {v} \in V| \mathbf {v} =(\mathbf {u_{1}} +\mathbf {u_{2}} )\wedge \mathbf {u_{1}} \in S\wedge \mathbf {u_{2}} \in W\right\}}\]
La suma de dos subespacios es un subespacio de \(V\).
\(\bullet\)Suma directa
Si la intersección entre \(S\) y \(W\) es el subespacio trivial (es decir, el vector nulo), entonces a la suma se la llama «suma directa». Es decir que si
\[{\displaystyle S\cap W=\left\{{\vec {0}}\right\}\Rightarrow S\oplus W}\]
Esto significa que todo vector de \(S+W\), se escribe de manera única como la suma de un vector de \(S\) y otro de \(W\).
\(\bullet\)Subespacios suplementarios
Se dice que los subespacios \(S\) y \(W\) son suplementarios cuando verifican que su suma directa es igual al espacio vectorial \(V\):
\[{\displaystyle S\oplus W=\;V\;\leftrightarrow \;{\begin{cases}S+W=\;V\\S\cap W=\left\lbrace {\overset {\rightarrow }{0}}\right\rbrace \end{cases}}}\]
Ejercicio: Sea \(S=\left\{\begin{bmatrix}a&2b\\a-b&a+b\end{bmatrix};a,b\in\mathbb{R}\right\}\) y \(T=\left\{\begin{bmatrix}c+3d&2c+d\\ d&2c-d\end{bmatrix};c,d\in\mathbb{R}\right\}\), determinar una base del subespacio vectorial \(S+T\).
Por ejercicios anteriores sabemos un sistema generador de \(S\) y de \(T\). Luego
\[S+T=\mathbf{Gen}\left\{\begin{bmatrix}1&0\\1&1\end{bmatrix},\begin{bmatrix}0&2\\-1&1\end{bmatrix},\begin{bmatrix}1&2\\0&2\end{bmatrix},\begin{bmatrix}3&1\\1&-1\end{bmatrix}\right\}\] Ahora solo necesitamos quitar los vectores l.d.
Ejercicio: Dado el ejercicio anterior, deducir quién es \(S\cap T\)
En este caso es sencillo, pues hemos visto en el ejemplo anterior que el vector \(\begin{bmatrix}1&2\\0&2\end{bmatrix}\in S\). Asi,
\[S\cap T=\mathbf{Gen}\left\{\begin{bmatrix}1&2\\0&2\end{bmatrix}\right\}\]
Ejercicio: Sea \(S=\mathbf{Gen}\left\{(1,1,0,0),(0,1,0,1),(0,0,1,0)\right\}\), y \(T=\mathbf{Gen}\left\{(1,0,1,0),(0,1,1,0)\right\}\) determinar una base del subespacio vectorial \(S+T\).
1. Construcción de la matriz y escalonamiento
Colocamos los vectores de las dos bases como filas de una matriz:
Como tenemos cuatro vectores linealmente independientes de \(\mathbb{R}^4\), concluimos que:
\[
\boxed{\dim(S+T)=4}
\]
Y, en consecuencia:
\[
\boxed{S+T=\mathbb{R}^4}
\]
Ejercicio: Sea \(S=\mathbf{Gen}\left\{(1,1,0,0),(0,1,0,1),(0,0,1,0)\right\}\), y \(T=\mathbf{Gen}\left\{(1,0,1,0),(0,1,1,0)\right\}\) determinar una base del subespacio vectorial \(S\cap T\).
Observación: en el proceso de escalonamiento del ejercicio anterior ha aparecido exactamente una fila nula. Esto coincide con la dimensión de la intersección, ya que partimos de bases de los dos subespacios.
Sin embargo, la fila nula no constituye un vector de la base de la intersección. Podemos ver que ningún vector de la base de S puede ponerse como combinación lineal de la base T, y viceversa. Para obtenerlo, debemos estudiar la relación de dependencia lineal que ha producido dicha fila nula.
Como \(v\neq 0\) y sabemos que la intersección tiene dimensión uno, concluimos que:
\[
\boxed{
B_{S\cap T}=\{(1,1,2,0)\}
}
\]
Ejercicio: Sea \(S=\left\{(x,y,z,t)\in\mathbb{R}^4;\ x-y+t=0\right\}\), y \(T=\mathbf{Gen}\left\{(1,0,-1,0),(0,1,1,0)\right\}\) determinar una base de los subespacios vectoriales \(S+T\) y \(S\cap T\).
Observar que, en este caso, no necesitamos realizar el proceso del ejercicio anterior para determinar la intersección de ambos subespacios, ya que en el proceso de escalonado la columna 1 la hemos transformado en ceros con las columnas 4 y 5 que conforman la base de \(T\).
Ejercicio: Sea \(S=\left\{\begin{bmatrix}a&a\\ b&c\end{bmatrix}\in\mathbb{C}\right\}\), y \(T=\left\{\begin{bmatrix}a&-a\\ b& 0\end{bmatrix}\in\mathbb{C}\right\}\) determinar una base de los subespacios vectoriales \(S+T\) y \(S\cap T\).
Fórmula de Grassmann
Dado un espacio vectorial sobre un cuerpo cualquiera, sean \(S\) y \(W\) dos conjuntos que determinan subespacios. La fórmula de Grassmann relaciona las dimensiones de \(S\) y \(W\) de la siguiente manera
Los ejemplos que hemos visto nos proporcionan un procedimiento por el que nos permite obtener información sobre la suma y la intersección de dos subespacios vectoriales a partir del escalonamiento de una única matriz.
Las filas no nulas de la matriz escalonada constituyen una base de la suma.
El número de filas no nulas determina la dimensión de la suma.
El número de filas nulas coincide con la dimensión de la intersección, siempre que la matriz inicial esté formada por las bases de los subespacios.
Las relaciones de dependencia lineal que originan las filas nulas permiten construir una base de la intersección.
En general, para dos subespacios \(S,T\) con bases de \(r\) y \(s\) vectores, respectivamente, si la matriz formada por todos ellos tiene rango \(k\), se cumple:
Álgebra lineal y sus aplicaciones. 5º edición, David C. Lay. Pearson. 2016.
Ejercicio: Sea \(S=\left\{\begin{bmatrix}a+2 c-b & a-b+c\\
b-a+3 c & a+b-c\end{bmatrix}|\ a,b,c\in\mathbb{R}\right\}\). ¿Cuál de las siguientes matrices pertenece a \(S\)?
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