Para que sea más fácil, definimos los determinantes de forma recursiva, utilizando el valor de un determinante de orden dos y la Regla de Laplace:
- Sea \(A=\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}\\ a_{21}&a_{22}\end{bmatrix}\in\mathcal{M}_2(\mathbb{K})\), definimos el determinante de \(A\), como \[|A|=a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21}.\]
- Para todo \(n>2\) y \(A\in\mathcal{M}_n(\mathbb{K})\), definimos \[|A|=\sum _{j=1}^{n}a_{1j}\;A_{1j},\] donde \(A_{1j}=(-1)^{(1+j)}\;\alpha _{1j}\), siendo \(\alpha _{1j}\) el determinante de orden \(n-1\) que queda tras eliminar de la matriz \(A\) la fila 1 y la columna \(j\).
Ejercicio: Dada la matriz \[\begin{bmatrix}1 & 2 & 3\\
\mathop{-}1 & 0 & 1\\
2 & \mathop{-}1 & \mathop{-}1\end{bmatrix}\in\mathcal{M}_3(\mathbb{R}),\] ¿cuánto es su determinante?
La definición clásica y su significado pueden verse en Determinante. En este enlace podéis encontrar también propiedades importantes. Recordad estas propiedades porque serán muy importantes para aprender bien este tema.
Regla de Laplace: El determinante de una matriz es independiente de la fila o columna que elijamos en el paso 2 anterior.
Ejercicio: Calcular\[\begin{vmatrix}1 & 2 & 3 & 0\\
\mathop{-}1 & 0 & 1 & 0\\
2 & \mathop{-}1 & \mathop{-}1 & 0\\
8 & 1 & 3 & 1\end{vmatrix}\]
Ejercicio: Dada la matriz \[A=\begin{bmatrix}
i & 0 & 0 & 0\\
1 & i & 0 & 0 \\
-1 & 1 & i & 0 \\
i & 1 & -1 & i
\end{bmatrix}\in\mathcal{M}_4(\mathbb{C}),\] ¿cuánto es su determinante?
El ejercicio anterior nos lleva a una conclusión muy interesante:
Ejercicio: El determinante de una matriz triangular es igual al producto de los elementos de su diagonal principal.
Esto nos permite resolver un determinante mediante operaciones elementales. Esto se justifica por las siguientes propiedades:
Asumamos \(A\) y \(B\) dos matrices cuadradas del mismo orden,
- Si \(B\) es el resultado de hacer una transformación elemental por fila (columna) a la matriz \(A\), \(A\overset{f_i+\lambda f_j\\ (c_i+\lambda c_j)}{\sim}B\Rightarrow|A|=|B|\)
- Si \(B\) es el resultado de intercambiar una fila (columna) de la matriz \(A\), \(A\overset{f_i \leftrightarrow f_j\\ (c_i\leftrightarrow c_j)}{\sim}B\Rightarrow|A|=-|B|\)
- Si \(B\) es el resultado de multiplicar una fila (columna) de la matriz \(A\) por un escalar, \(A\overset{f_i = \lambda f_i\\ (c_i=\lambda c_i)}{\sim}B\Rightarrow|B|=\lambda |A|\)
Ejercicio: Cuál es el valor del determinante \[\begin{vmatrix}
1 & 1 & 1 & 1 & \cdots & 1 & 1\\
1 & 2 & 2 & 2 & \cdots & 2 & 2\\
1 & 2 & 3 & 3 & \cdots & 3 & 3\\
1 & 2 & 3 & 4 & \cdots & 4 & 4\\
\vdots & \vdots & \vdots &\vdots & \cdots & \vdots & \vdots \\
1 & 2 & 3 & 4 & \cdots & n-1 & n-1\\
1 & 2 & 3 & 4 & \cdots & n-1 & n
\end{vmatrix}\]
Consecuencia de las propiedades anteriores son estos resultados:
- El determinante de una matriz con una fila, o columna, todo ceros vale cero.
- El determinante de una matriz con dos filas, o columnas, proporcionales vale cero.
Ejercicio: Cuál es el valor del determinante de la matriz \[\begin{bmatrix}
1 & 0 & 0 & 0 & \cdots & 0 & \mathbf{\alpha}\\
1 & 2 & 0 & 0 & \cdots & 0 & 0\\
1 & 2 & 3 & 0 & \cdots & 0 & 0\\
1 & 2 & 3 & 4 & \cdots & 0 & 0\\
\vdots & \vdots & \vdots &\vdots & \cdots & \vdots & \vdots \\
1 & 2 & 3 & 4 & \cdots & n-1 & 0\\
1 & 2 & 3 & 4 & \cdots & n-1 & n
\end{bmatrix}\in\mathcal{M}_n(R).\]
Propiedades de los determinantes
Sea \(A\) una matriz cuadrada,
- \(|A|=|A^t|\)
- \(\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}\\ a+b & c+d\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}\\ a & c\end{vmatrix}+\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}\\ b & d\end{vmatrix}\). De igual modo, podemos hacerlo para toda matriz cuadrada de orden \(n\).
- \(|A\,B|=|A|\cdot |B|\)
Proposición: Una matriz cuadrada no tiene inversa si su determinante es cero.
Ejercicio: Dada la matriz \(A\)= [[1,-5,3],[-1,-3,4],[-3,7,x]], ¿cuál es el valor de \(x\) para que la matriz no tenga inversa?
Matrices en bloques
Proposición: Sean \({\displaystyle A,B,C,D}\) matrices de tamaños \({\displaystyle n\times n,n\times m,m\times n,m\times m}\) respectivamente. Entonces
\[{\displaystyle \left|{\begin{array}{cc}A&0\\C&D\end{array}}\right|= \left|{\begin{array}{cc}A&B\\0&D\end{array}}\right|=|A|\cdot |D|}\]
Si además, resulta que la matriz \(A\) anterior es regular (tiene inversa), se cumple:
Proposición:
\[\left|\begin{array}{cc}A&B\\C&D\end{array}\right|=|A|\cdot |D-CA^{-1}B|\]
Proposición: (Matrices Triangulares por Bloques) Sea $M$ una matriz cuadrada particionada en $k \times k$ bloques. Si la matriz $M$ es triangular por bloques, su determinante es igual al producto de los determinantes de los bloques diagonales.
Por ejemplo, una matriz triangular inferior por bloques que tiene la forma:
\[
M = \begin{bmatrix}
A_{11} & 0 & \cdots & 0 \\
A_{21} & A_{22} & \cdots & 0 \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
A_{k1} & A_{k2} & \cdots & A_{kk}
\end{bmatrix}
\]
Donde:
- \(\mathbf{A_{ii}}\) son matrices cuadradas de tamaños compatibles (los bloques diagonales).
- Todos los bloques por encima de la diagonal principal, \((\mathbf{A_{ij}}\) con \(i<j\)) son matrices de ceros \((\mathbf{0})\).
En este caso, el determinante de la matriz \(M\) es:
\[
\det(M) = \det(A_{11}) \cdot \det(A_{22}) \cdot \ldots \cdot \det(A_{kk})
\]
\[
\det(M) = \prod_{i=1}^{k} \det(A_{ii})
\]
Ejercicio: Calcular \[\begin{vmatrix}1 & 2 & 0 & 0 & 0 & 0\\
\mathop{-}1 & 3 & 0 & 0 & 0 & 0\\
1 & 2 & \mathop{-}1 & 4 & 0 & 0\\
0 & 3 & \mathop{-}2 & 1 & 0 & 0\\
\mathop{-}1 & \mathop{-}2 & 0 & 1 & 2 & 1\\
0 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1\end{vmatrix}\]
Menor de una matriz
Un menor de una matriz \(A\) es el determinante de una submatriz cuadrada de \(A\).
Un menor complementario de una matriz \(A\) es el determinante de alguna submatriz, obtenido de \(A\) mediante la eliminación de una o más de sus filas o columnas. De este modo designamos mediante \(m_{ij}\) el menor del elemento \(a_{ij}\) en la matriz \(A\); es decir, el menor resultante de eliminar la fila \(i\) y la columna \(j\).
La definición de menor nos da pie a otro resultado muy interesante. Podemos extender la definición de menor para una matriz no cuadrada a cualquier determinante de una submatriz cuadrada. En este caso:
Teorema. Si \(A\) es una matriz, el rango de \(A\) es el orden del mayor menor de \(A\) no nulo.
Hay un tipo de menores muy interesante. Consideremos una matriz cuadrada \(A=[a_{ij}]\) de orden \(n\), los \(n-1\) menores formados de la forma:
\[\begin{vmatrix}
a_{11} & a_{12} \\
a_{21} & a_{22}
\end{vmatrix}\quad\begin{vmatrix}
a_{11} & a_{12} &a_{13}\\
a_{21} & a_{22} &a_{23}\\
a_{31} & a_{32} &a_{33}
\end{vmatrix}
\quad\begin{vmatrix}
a_{11} & a_{12} &a_{13}&a_{14}\\
a_{21} & a_{22} &a_{23}&a_{24}\\
a_{31} & a_{32} &a_{33}&a_{34}\\
a_{41} & a_{42} &a_{43}&a_{44}
\end{vmatrix}\ldots\;
\begin{vmatrix}
a_{11} & a_{12} & \ldots & a_{1\,n-1}\\
a_{21} & a_{22} & \ldots & a_{2\,n-1}\\
\vdots & \vdots & \ldots & \vdots\\
a_{n-1\,1} & a_{n-1\,2} & \ldots & a_{n-1\,n-1}
\end{vmatrix}
\]
Se les denomina menores principales de \(A\). Recordad que, en nuestros ejercicios, incluiremos entre los menores principales a \(|a_{11}|\) y \(|A|\).
Matriz adjunta e inversa
Si consideramos \(m_{ij}\) el menor complementario del elemento \(a_{ij}\) en la matriz \(A\), decimos adjunto (cofactor) del elemento \(a_{ij}\) en la matriz \(A\), y lo notamos por \(A_{ij}\), al resultado \[A_{ij}=(-1)^{i+j}m_{ij}.\]
En algunas bibliografías también lo llaman cofactor. Así la regla de Laplace quedaría como:
\[|A|=\sum_{k=1}^{n}a_{ik}A_{ik}\] o \[|A|=\sum_{k=1}^{n}a_{kj}A_{kj}\]
En la bibliografía, a la matriz \([A_{ij}]\) se le suele llamar matriz de cofactores.
De este modo definimos la matriz adjunta como \[adj(A)=[A_{ji}]=[A_{ij}]^t;\] es decir, la traspuesta de la matriz de cofactores.
Ejercicio: Dada la matriz \[A=\begin{bmatrix}
1 & 0 & 0 & 0 \\
1 & 2 & 0 & 0 \\
1 & 2 & 3 & 0 \\
1 & 2 & 3 & 4
\end{bmatrix}\in\mathcal{M}_4(\mathbb{R}).\] ¿Cuánto es la traza de \(adj(A)\)?
Ejercicio: Dada la matriz \[A=\begin{bmatrix}
1 & 0 & 0 & 0 \\
1 & 2 & 0 & 0 \\
1 & 2 & 3 & 0 \\
1 & 2 & 3 & 4
\end{bmatrix}\in\mathcal{M}_4(\mathbb{R}).\] La afirmación: "No existen dos índices \(i,j\in\{1,\ldots,4\}\) tales que \(A_{ij}=16\)" es verdadera o falsa.
Ejercicio: Dada la matriz \[A=\begin{bmatrix}
1 & 0 & 0 & 0 & 0&0\\
2 & 1 & 0 & 0 & 0&0\\
3 & 2 & 1 & 0 & 0&0\\
4 & 3 & 2 & 1 & 0&0\\
5 & 4 & 3 & 2 & 1&0\\
6 & 5 & 4 & 3 & 2&1
\end{bmatrix}\in\mathcal{M}_6(\mathbb{R}),\] y \(Adj(A)=[A_{ij}]\) su matriz adjunta. ¿Cuántos \(A_{ij}=0\) hay?
Propiedades de la matriz adjunta de una matriz \(A\in\mathcal{M}_n(\mathbb{K})\):
- \(adj(A^t)=adj(A)^t\)
- \(adj(AB)=adj(B)\cdot adj(A)\)
- \(adj(A^k)=adj(A)^k\)
- \(adj(I)=I\)
- \(A\cdot adj(A)=adj(A)\cdot A=|A|\cdot I\)
- \(adj(\lambda A)=\lambda^{n-1}adj(A)\)
- \(adj(adj(A))=|A|^{n-2}A\)
- \(|A|=tr(A\cdot adj(A))/n\)
- \(|adj(A)|=|A|^{n-1}\)
Estas definiciones nos permiten usarlas para definir el rango de una matriz cualquiera, como orden del mayor de los menores distinto de cero, y dar una fórmula para calcular la inversa de una matriz, en caso de que exista:
\[A^{-1}=\frac{1}{|A|}adj(A)\]
Como consecuencia de lo anterior, podemos formular el siguiente resultado:
Corolario: Una matriz cuadrada es regular (inversible) si su determinante es distinto de cero.
Ejercicio: Dada la matriz \[A=\begin{bmatrix}
2 & 4 & 1 & 12 \\
-1 & 1 & 0 & 3 \\
0 & -1 & 9 & -3 \\
7 & 3 & 6 & 9
\end{bmatrix}\in\mathcal{M}_4(\mathbb{R}),\] ¿es regular?
Ejercicio: Dada la matriz \[A=\begin{bmatrix}
-\alpha & \alpha-1 & \alpha+1 \\
1 & 2 & 3 \\
2-\alpha & \alpha+3 & \alpha+7
\end{bmatrix}\in\mathcal{M}_3(\mathbb{R}),\] ¿para que valores de \(\alpha\) la matriz no es regular?
| Ejercicio: Sea \(A\)=[[-1,1],[1,-2],[1,0]]. ¿Cuánto suman los elementos de su pseudoinversa? |