Sea \(f\) una función definida en un punto \(x_0\) de un intervalo \((a,b)\), denominaremos derivada de \(f\) en \(x_0\) al valor del límite, cuando exista,
\[\displaystyle\lim_{x\to x_0}\dfrac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}\]
En ese caso lo notaremos mediante \(f'(x_0)\).
Esta definición es equivalente a \[\displaystyle\lim_{h\to 0}\dfrac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}=f'(x_0),\] y más apropiada para definir la función derivada.
Llamamos función derivada de la función \(f\) en el intervalo \([a,b]\) a la función
\[f'(x)=\lim_{h\to 0}\dfrac{f(x+h)-f(x)}{h},\; \forall x\in[a,b]\]
cuando este existe.
Una función es derivable si existe su derivada en todos los puntos de su dominio. Recordemos que para esto debe existír y coincidir los límites laterales. Esto nos lleva a observar que una función puede ser continua en un punto, pero no derivable; por ejemplo, la función \(f(x)=|x|\) es continua en \(x=0\), pero no derivable. Sin embargo, toda función derivable es continua.
El paso siguientes es conocer las reglas de derivación para poder derivar cualquier función conocida. Recordemos que \(\forall \;\lambda,\mu\in\mathbb{R}\) es\[\begin{array}{rl}\textit{i)}& (\lambda f\pm \mu g)’ =\lambda f’\pm \mu g’ \\ \textit{ii)}&
(f\cdot g)’ =f’g+fg’, \\ \textit{iii)}& \left(\dfrac{f}{g}\right)’=\dfrac{f’g-fg’}{g^2}, \mbox{ si } g(x)\neq 0 \\
\end{array}\]
Podemos ver más propiedades de las funciones continuas en la bibliografía referenciada.
Regla de la cadena: Si \(h(x)=f(g(x))\) entonces \[h^\prime(x)=f(^\prime g(x))g\prime()\]
Ejemplo: Determinar el valor de \(f^\prime(1)\) donde \[f(x)=e^{\sin \left(x^2\right)}\]
Ejemplo: Determinar el valor de \(f^\prime(1)\) donde \[f(x)=\sin \left(x^2+\frac{1}{x}\right)\]
Ejemplo: Determinar el valor de \(f^\prime(1)\) donde \[f(x)=\log \left(\sqrt{x+2}+2x\right)\]
Recta tangente
Utilicemos esto para determinar la tangente a una función en un punto.
La recta tangente es aquella que toca a la curva en el punto de tangencia y comparte la misma dirección o pendiente que la función en ese punto.
Sea \(y=f(x)\) una función continua y derivable en \(P(x_0,y_0)\) entonces la recta tangente en dicho punto será \[y-y_0=f'(x_0)(x-x_0)\]
Ejemplo: Calcular la tangente a la función \(f(x)=\log \left(\sqrt{x+2}+2x\right)\), en \(x=1\)
Ejemplo: Sea \(T(x)\) la tangente a la función \(f(x)=x\ e^{-2x}+1\), en \(x=0\), ¿Cuál es el valor de \(T(0.2)\)
Recta normal
Si hemos planteado la derivada para encontrar la recta tangente, esta nos permite determinar la normal.
La recta tangente en un punto \(x_0\) a una curva \(y=f(x)\) vendrá dada por \[y-f(x_0)= f'(x_0)(x-x_0),\]
Con lo cual, (\(-f'(x_0),1\)) es el vector director de la recta como subespacio vectorial en el plano real.
La recta normal es aquella que pasa por el mismo punto \(P(x_0, y_0)\) pero es perpendicular a la recta tangente; por tanto, \((1/f'(x_0),1)\) será su vector director, y la recta quedará definida mediante:
\[y-f(x_0)= \frac{-1}{f'(x_0)}(x-x_0).\]
Ejemplo: Calcular la normal a la función \(f(x)=\log \left(\sqrt{x+2}+2x\right)\), en \(x=1\)
Ejemplo: Sea \(N(x)\) la recta normal a la función \(f(x)=x\ e^{-2x}+1\), en \(x=0\). ¿Cuál es el valor de \(N(2)\)
Extremos de una función
Si deseamos dibujar una función en un eje coordenado, necesitamos saber su dominio, sus valores máximos y mínimos, el estudio del crecimiento y decrecimiento de la función, para que nos ayude a comprender mejor el comportamiento de la función y su gráfica.
En principio, sabemos que toda función continua en un intervalo cerrado verifica el Teorema de Weierstrass:
Teorema: Si una función \(\displaystyle f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} \) es continua en un intervalo cerrado y acotado \([a,b]\), entonces \(f\) alcanza sus extremos absolutos, es decir, existen dos puntos \(x_{1},x_{2}\in [a,b]\) tales que \(f(x_{1})\leq f(x)\leq f(x_{2})\) para cualquier \(x\in [a,b]\).
Ahora necesitamos encontrar los máximos y mínimos de una función, conocidos colectivamente como extremos de una función; es decir, los valores más grandes (máximos) o más pequeños (mínimos), que toma una función en un punto situado ya sea dentro de una región en particular de la curva (extremo local o relativo) o en el dominio de la función en su totalidad (extremo global o absoluto).
Extremos relativos o locales
\( f:D\subset \mathbb {R}\longrightarrow \mathbb {R} \), sea \( x_{0}\in D\) y sea \( P=\,(x_{0},f(x_{0}))\) un punto perteneciente a la gráfica de la función. Se dice que \(P\) es un máximo local de \(f\) si existe un entorno reducido de centro \( x_{0}\), \( [x_{0}-\epsilon,x_{0}+\epsilon ]\), donde para todo elemento \( x\in[x_{0}-\epsilon,x_{0}+\epsilon ]\subset D\) se cumple \( f(x)\leq f(x_{0})\). Para que esta propiedad posea sentido estricto, debe cumplirse \( f(x)<f(x_{0}).\)
Análogamente, se dice que el punto \( P\) es un mínimo local de \( f\) si existe un entorno reducido de centro \( x_{0}\), \( [x_{0}-\epsilon,x_{0}+\epsilon ]\), donde para todo elemento \( x\in[x_{0}-\epsilon,x_{0}+\epsilon ]\subset D\) se cumple \( f(x)\geq f(x_{0}).\)
Extremos absolutos o globales
Sea \(f:D\subset \mathbb {R} \longmapsto \mathbb {R} \), sea \(x_{0}\in D\) y sea \(P=\,(x_{0},f(x_{0}))\) un punto perteneciente a la gráfica de la función.
Se dice que \(P\) es un máximo absoluto de \(f\) si, para todo \(x\) distinto de \(x_{0}\) perteneciente al subconjunto \(D\), su imagen es menor o igual que la de \(x_{0}\). Esto es: \(P=\,(x_{0},f(x_{0}))\) máximo absoluto de \(f\iff \forall x\neq x_{0},x\in D,f(x_{0})\geq f(x).\)
Análogamente, \(P\) es un mínimo absoluto de \(f\) si, para todo \(x\) distinto de \(x_{0}\) perteneciente al subconjunto \(D\), su imagen es mayor o igual que la de \(x_{0}\). Esto es: \(P\,(x_{0},f(x_{0}))\) mínimo absoluto de \(f\iff \forall x\neq x_{0},x\in D,f(x_{0})\leq f(x).\)
Determinación de puntos críticos
Podemos considerar un punto crítico de una función continua, \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), como el valor \(x=c\) en el dominio de \(f\) donde \(f'(c)=0\) o \(f'(c)\) no existe. Este punto crítico será un punto donde
- \(f\) tiene un máximo si \(f'(x)>0\) para \(x\in(c-\epsilon,c)\), y \(f'(x)<0\) para \(x\in(c,c+\epsilon)\)
- \(f\) tiene un mínimo si \(f'(x)<0\) para \(x\in(c-\epsilon,c)\), y \(f'(x)>0\) para \(x\in(c,c+\epsilon)\)
- \(f\) tiene un punto de inflexión si \(f'(c-\epsilon)f'(c+\epsilon)>0\)
Como la derivada es la pendiente de la tangente a la curva, vemos que su crecimiento o decrecimiento dependerá de esta:
- \(f\) es creciente en \(x_0\) si \(f'(x_0)>0\)
- \(f\) es decreciente en \(x_0\) si \(f'(x_0)<0\)
Ejemplo: Determinar los puntos críticos de \(f(x)=7x^2-3x + 5\).
Ejemplo: Determinar los puntos críticos de \(f(x)=x^{2/3}\).
Ejemplo: Determinar los puntos críticos de \(f(x)=e^{\sin \left(x^2\right)}\) en el intervalo [-2,2].
Concavidad y convexidad
Recordad que trabajamos con funciones continuas y que sean derivables al menos en intervalo de trabajo.
Una función es cóncava en un intervalo (a, c) si, para todo punto b del intervalo, la recta tangente en ese punto queda por encima de la función. Otra forma de comprobarlo es verificar para todo punto del intervalo la recta tangente en ese punto queda por encima de la función; en consecuencia, su derivada es monótonamente decreciente en ese intervalo. A menudo también es llamada cóncava hacia abajo.
De Dnu72 – Trabajo propio, CC BY-SA 4.0, Enlace
Por otro lado, una función es convexa en un intervalo si el segmento que une dos puntos cualesquiera en el grafo de la función queda por encima de la función. Como se aprecia, la concavidad es lo opuesto a la convexidad. Motivo por el cual una función será convexa en un intervalo si y solo si su derivada es monótonamente creciente en ese intervalo. A una función convexa también se le llama cóncava hacia arriba.
De NalesnikLD – Trabajo propio, Dominio público, Enlace
Propiedad: Una función \(f\) es cóncava si la función \(-f\) es convexa.
Acabamos de establecer un criterio para conocer la concavidad que depende del crecimiento o decrecimiento de la derivada y, en consecuencia, de la derivada de la derivada; es decir, de la segunda derivada. Así, si \(f\) es una función continua y dos veces derivable en un intervalo \(I\subset\mathbb{R}\) será
- cóncava en \(x_0\), si \(f’'(x_0)<0\)
- convexa en \(x_0\), si \(f’'(x_0)>0\)
Ejemplo: En qué intervalos la función \(f(x)=x^4-4x^3\), es cóncava.
Esto nos ayuda a clarificar el comportamiento de la función en los puntos críticos: dadas las condiciones necesarias
- Si \(f'(x_0)=0\) y \(f’'(x_0)>0\), \(f\) tendrá un mínimo local en \(x_0\)
- Si \(f'(x_0)=0\) y \(f’'(x_0)<0\), \(f\) tendrá un máximo local en \(x_0\)
Ejemplo: Encuentre los valores absolutos máximo y mínimo de la función \(f(x)=x^3-3x^2+1\), \(\frac{-1}{2}\leq x\leq 4\).
Aplicación
El análisis mediante cálculo diferencial permite establecer la estrategia óptima de operación de un biorreactor.
Bibliografía
- Capítulo 3 del libro Biocalculus: Calculus for Life Sciences, de James Stewart.
- Capítulo 4 del libro Cálculo de una variable, de James Stewart.
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Ejercicio: Sea \(T(x)\) la recta tangente a la curva \(y=\frac{x^2-1}{x^2+x+1}\) en el punto \((1,0)\). Determinar el valor de \(T(2)\). |
La solución se mostrará más adelante.