Diario de clases

ALG: Intersección, incidencia y paralelismo

Posted on 9 de noviembre de 2026

Vamos a tratar la posición relativa de dos variedades afines: $L_1=P+C_1$ y $L_2=Q+C_2$. Diremos que se cortan si el conjunto $L_1\cap L_2$ no es vacío. Si $L_1\cap L_2=\phi$; es decir, si no se cortan, puede ocurrir que $C_1\subseteq C_2$ (o $C_2\subseteq C_1$ ) en cuyo caso se dice que son paralelas; en caso contrario se dice que se cruzan.

Si conocemos las ecuaciones implícitas de las dos variedades, el conjunto $L_1\cap L_2$ viene dado por los puntos cuyas coordenadas, respecto del sistema de referencia considerado, son las soluciones del sistema que resulta de reunir todas las ecuaciones implícitas. Si denotamos por $n=dim(E)$, siendo $E$ el espacio afín, $r=dim(L_1)$ y $s=dim(L_2)$, y suponiendo que $r\leq s$, el sistema formado por todas las ecuaciones es un sistema de $2n-r-s$ ecuaciones, que podemos escribir en forma matricial: $AX=b$. Según que el rango de la matriz de coeficientes coincida con el rango de la ampliada obtenemos la diferencia entre variedades que se cortan o que no se cortan. Si $rg(A)$ es $n-r$, entonces la dimensión de $C_1\cap C_2$ será $r$ y por tanto $C_1\cap C_2=C_1$, con lo que $C_1\subseteq C_2$.

Podemos resumirlo en el siguiente cuadro:

Que es equivalente a:

$\textbf{rg}\,A=\textbf{max}\{\textbf{rg}\,L_1,\textbf{rg}\,L_2\}$	$\textbf{rg}\,A=\textbf{rg}\,Ab$	Incidentes $(\mathbf{-})$
$\textbf{rg}\,A=\textbf{max}\{\textbf{rg}\,L_1,\textbf{rg}\,L_2\}$	$\textbf{rg}\,A\neq\textbf{rg}\,Ab$	Paralelas $(\mathbf{=})$
$\textbf{rg}\,A>\textbf{max}\{\textbf{rg}\,L_1,\textbf{rg}\,L_2\}$	$\textbf{rg}\,A= \textbf{rg}\,Ab$	Se cortan $(\mathbf{+})$
$\textbf{rg}\,A>\textbf{max}\{\textbf{rg}\,L_1,\textbf{rg}\,L_2\}$	$\textbf{rg}\,A\neq \textbf{rg}\,Ab$	Se cruzan $(\mathbf{\times})$

Ejercicio: Determinar la posición relativa de las variedades \[\begin{align*} r_1&:\{(x,y,z,t)\in\mathbb{R}^4;\ 4 x-2 y-2 z=0,\ -3 x+4 y-2 t+8=0\}\\ r_2&:\{(x,y,z,t)\in\mathbb{R}^4;\ 6 y-2 z+8=0,\ -4 x+6 y-2 t+10=0\}\end{align*}\]

Ejercicio: Determinar la posición relativa de las variedades \[\begin{align*} r_1&:\left\{\begin{bmatrix}x& y\\ z& t\end{bmatrix}\in\mathcal{M}_2(\mathbb{R});\ x-y-z=0,\ -3 x+2 y-t+4=0\right\}\\ r_2&:\left\{\begin{bmatrix}x& y\\ z& t\end{bmatrix}\in\mathcal{M}_2(\mathbb{R});\ -y-2z+1=0,\ -4x+7y-2t+11=0\right\}\end{align*}\]

Ejercicio: Determinar la posición relativa de las variedades \[\begin{align*} r_1&:\{(x,y,z,t)\in\mathbb{R}^4;\ x+y=0,\ y+2z=0,\ z+3t=1\}\\ r_2&:\{(x,y,z,t)\in\mathbb{R}^4;\ \frac{x-2}{2}= y=\frac{z}{-1}=t+1\}\end{align*}\]

Ejercicio: Determinar la posición relativa de las variedades \[\begin{align*} S&=\{(x,y,z,t,u)\in\mathbb{R}^5;\ -z-y+3x+t+1=0,\ 2y+x+u-t=0\}\\ T&=\left\{(x,y,z,t,u)\in\mathbb{R}^5;\ \begin{array}{l}-2z+y-x-u=0\\ 3z+2t+1=0\\ -z+y+4x+u+4=0\end{array}\right\}\end{align*}\]

(%i8)

L1 : matrix ( [ 3 , − 1 , − 1 , 1 , 0 ] , [ 1 , 2 , 0 , − 1 , 1 ] , [ − 1 , 1 , − 2 , 0 , − 1 ] ) $
b : transpose ( matrix ( [ − 1 , 0 , 0 ] ) ) $
L1b : addcol ( L1 , b ) $
L2 : matrix ( [ 0 , 0 , 3 , 2 , 0 ] , [ 4 , 1 , − 1 , 0 , 1 ] ) $
b : transpose ( matrix ( [ − 1 , − 4 ] ) ) $
L2b : addcol ( L2 , b ) $
A : addrow ( L1 , L2 ) $
Ab : addrow ( L1b , L2b ) ;

\[\begin{bmatrix}3 & -1 & -1 & 1 & 0 & -1\\
1 & 2 & 0 & -1 & 1 & 0\\
-1 & 1 & -2 & 0 & -1 & 0\\
0 & 0 & 3 & 2 & 0 & -1\\
4 & 1 & -1 & 0 & 1 & -4\end{bmatrix}\]

(%i9)

posicion ( rgA , rgAb , rgL1 , rgL2 ) : = block ( [ out ] ,
  if ( rgA = max ( rgL1 , rgL2 ) ) then (
      if ( rgA = rgAb ) then out : "son incidentes -" else out : "son paralelas ="
  ) else (
      if ( rgA = rgAb ) then out : "se cortan +" else out : "se cruzan x"
  ) ,
out
) $

(%i10)

[ rank ( A ) , rank ( Ab ) , rank ( L1 ) , rank ( L2 ) ] ;

\[\left[ 4,5,3,2\right] \]

(%i12)

p : posicion ( rank ( A ) , rank ( Ab ) , rank ( L1 ) , rank ( L2 ) ) $
print ( "Las dos variedades" , p ) $

\[\mbox{Las dos variedades se cruzan x}\]

Veamos dónde se cruzan:

(%i16)

X : [ x , y , z , t , u ] $
m : A . X − col ( Ab , 5 ) $
eq : makelist ( m [ i , 1 ] , i , 1 , matrix_size ( m ) [ 1 ] ) ;
sol : linsolve ( eq , X ) ;

\[\left[ -z-y+3 x+t,2 y+x+u-t-1,-2 z+y-x-u+1,3 z+2 t,-z+y+4 x+u-1\right] \]\[solve: dependent equations eliminated: (5)\]

\[\left[ x=-\frac{16 {\mathrm{\% r1}}-16}{49},y=-\frac{3 {\mathrm{\% r1}}-3}{49},z=-\frac{18 {\mathrm{\% r1}}-18}{49},t=\frac{27 {\mathrm{\% r1}}-27}{49},u={\mathrm{\% r1}}\right] \]

Como es una variedad tenemos un punto más un vector director. Veamos el punto:

(%i18)

P : ev ( X , ev ( sol , %rnum_list [ 1 ] = 0 ) ) ;
v : ev ( X , ev ( sol , %rnum_list [ 1 ] = 1 ) ) − P ;

\[\left[ \frac{16}{49},\frac{3}{49},\frac{18}{49},-\frac{27}{49},0\right] \]

\[\left[ -\frac{16}{49},-\frac{3}{49},-\frac{18}{49},\frac{27}{49},1\right] \]

Recordemos que el vector director podemos escalarlo, con el fin de expresarlo de forma más sencilla, pero no ocurre lo mismo con el punto.

(%i19)

print ( transpose ( matrix ( X ) ) , "=" , 1 / 49 , 49 · transpose ( matrix ( P ) ) , "+λ" , 49 · transpose ( matrix ( v ) ) ) $

\[\begin{bmatrix}x\\
y\\
z\\
t\\
u\end{bmatrix}=\frac{1}{49}\begin{bmatrix}16\\
3\\
18\\
-27\\
0\end{bmatrix}+\lambda \begin{bmatrix}-16\\
-3\\
-18\\
27\\
49\end{bmatrix}\]

Ejercicio: La ecuación $x+z+t=0$ es una de las ecuaciones implícitas de la imagen de la aplicación $f:\mathbb{R}^3\to\mathcal{M}_2(\mathbb{R})$, dada por \[f(a,b,c)=\begin{bmatrix}-2c+b+a& -c-b\\ b+c & c-2b-a\end{bmatrix}\]

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\(\textbf{rg}\,A=\textbf{max}\{\textbf{rg}\,L_1,\textbf{rg}\,L_2\}\)	\(\textbf{rg}\,A=\textbf{rg}\,Ab\)	Incidentes \((\mathbf{-})\)
\(\textbf{rg}\,A=\textbf{max}\{\textbf{rg}\,L_1,\textbf{rg}\,L_2\}\)	\(\textbf{rg}\,A\neq\textbf{rg}\,Ab\)	Paralelas \((\mathbf{=})\)
\(\textbf{rg}\,A>\textbf{max}\{\textbf{rg}\,L_1,\textbf{rg}\,L_2\}\)	\(\textbf{rg}\,A= \textbf{rg}\,Ab\)	Se cortan \((\mathbf{+})\)
\(\textbf{rg}\,A>\textbf{max}\{\textbf{rg}\,L_1,\textbf{rg}\,L_2\}\)	\(\textbf{rg}\,A\neq \textbf{rg}\,Ab\)	Se cruzan \((\mathbf{\times})\)

L	M	X	J	V	S	D
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9	10	11	12	13	14	15
16	17	18	19	20	21	22
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