El pasado día definimos un espacio vectorial como un conjunto de elementos, que llamaremos vectores, que cumple determinadas propiedades respecto de un cuerpo, en nuestro caso \(\mathbb{R}\), los números reales. Veamos ciertas definiciones que nos serán muy útiles para trabajar.
Sea \(V\) un espacio vectorial sobre \(\mathbb{R}\), y \(U\subset V\) no vacío, \(U\) es un subespacio vectorial de \(V\) si:
- \(\forall \mathbf {v},\mathbf {u} \in U\), \(\mathbf {v}+\mathbf {u} \in U\)
- \(\forall \mathbf {u}\in U\), \(\forall a\in \mathbb{R}\), \(a\mathbf {u}\in U\)
Por ejemplo, \(U=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2;\ x+y=0\}\) es un subespacio vectorial de \(\mathbb{R}^2\) como \(\mathbb{R}\)-sube.v.:
Ejemplo: Consideremos los conjuntos \(S=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2;\ y=0\}\), \(T=\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3;\ x+y+z=1\}\), y \(U=\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3;\ x+y=z\}\), ¿cuál no es un subespacio vectorial?
Un resultado práctico que nos ayudará a determinar los subespacios vectoriales es el siguiente:
Si \(V\) es un \(\mathbb{R}\)-espacio vectorial, entonces un subconjunto no vacío \(S\) de \(V\) es un subespacio vectorial si y sólo si para cualesquiera dos vectores \(\vec{v}, \vec{w}\in S\) y cualesquiera escalares \(\lambda,\mu\in\mathbb{R}\), pertenecientes al cuerpo asociado, entonces el vector \(\lambda\vec{v}+\mu\vec{w}\in S\).
Dados los vectores \(\vec{v}_1,\ldots, \vec{v}_n\) de nuestro espacio vectorial, el conjunto \[\vec{v}\in <\vec{v}_1,\ldots, \vec{v}_n>=\mbox{Gen}\{\vec{v}_1,\ldots, \vec{v}_n\}=\{\lambda_1\vec{v}_1+\ldots+\lambda_n \vec{v}_n;\lambda_1,\ldots,\lambda_n\in\mathbb{R}\},\] lo denominamos sistema generador y es un subespacio vectorial.
Nos planteamos si un vector cualquiera pertenece a un sistema generador, o si dentro de los vectores que forman el sistema generador hay alguno que a su vez pertenece a un subconjunto de vectores del sistema.
Cualquier vector perteneciente a un sistema generador, \(\vec{v}\in <\vec{v}_1,\ldots, \vec{v}_n>\) decimos que es combinación lineal de los vectores del sistema. En general, un vector \(\vec{v}\) decimos que es combinación lineal de un conjunto de vectores \(\vec{v}_1,\ldots, \vec{v}_n\), si
\[\vec{v}\in \mbox{Gen}\{\vec{v}_1,\ldots, \vec{v}_n\}\]
Un conjunto de vectores de un espacio vectorial, \(\vec{v}_1,\ldots, \vec{v}_n\in V\), decimos que es libre si ningún vector es combinación vectorial de los restantes; dicho de otro modo, si los únicos escalares, \(k_1,k_2,…,k_n\in\mathbb{R}\), tales que justifican,
\[k_1\vec{v}_1+\cdots +k_n \vec{v}_n=\vec{0},\]
son \(k_1=k_2=\ldots=k_n=0\).
Indistintamente decimos sistema libre o vectores linealmente independientes. Y un conjunto que no cumple esa propiedad le denominamos linealmente dependiente; es decir, algún vector es combinación lineal de los otros.
Proposición: Sea \(\{\mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2,\ldots,\mathbf{v}_n\}\) un conjunto de vectores. El número de vectores linealmente independientes en el conjunto será el rango de la matriz que tiene por filas (o columnas) los vectores. Esto es equivalente a decir: \[\{\mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2,\ldots,\mathbf{v}_n\} \mbox{ son l.i.}\Leftrightarrow \mathbf{rank}[\mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2,\ldots,\mathbf{v}_n]=n \]
Acabamos de introducir la forma más sencilla para conocer si un conjunto de vectores contiene a algún vector como combinación lineal del resto. El rango de la matriz determinará el número de vectores que son combinación lineal.
Ejemplo: Determinar si los vectores [1,2,0], [2,1,3] y [1,0,2] son l.i.
Esta propiedad nos ofrece un método muy sencillo para determinar un subconjunto de vectores linealmente independiente.
Como corolario podemos ver que: Dado un conjunto de vectores \(\mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2,\ldots,\mathbf{v}_m\in\mathbb{R}^n\)
- \(\mathbf{rank}[\mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2,\ldots,\mathbf{v}_m]\leq \mbox{min}\{n,m\}\)
- Si \(n< m\), serán linealmente dependientes.
- Si \([\mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2,\ldots,\mathbf{v}_m]\sim A\), donde \(A\) es una matriz escalonada, entonces los vectores linealmente independientes se corresponden con las filas no nulas de la matriz \(A\). Por el contrario, los linealmente dependientes se corresponden con las filas nulas de la matriz \(A\).
Dentro de los espacios vectoriales nos interesan, particularmente, aquellos que pueden ser generados por un conjunto de vectores finitos; los llamamos espacios vectoriales finitamente generados. Estos espacios tienen la peculiaridad de tener un un subconjunto de vectores, de los vectores que generan todo el espacio, que además son linealmente independientes. Este conjunto es muy importante y le llamamos base de un espacio vectorial: es decir, un conjunto de vectores del espacio que es
- sistema generador, y
- linealmente independiente
Al número de vectores de una base lo denominamos dimensión del espacio vectorial. Recordemos que siempre estamos tratando con \(\mathbb{R}\)-e.v finitamente generados.
Uno de los principales resultados es que en todo \(\mathbb{R}\)-e.v finitamente generado podemos encontrar una base. Así, pues, en un \(\mathbb{R}\)-e.v finitamente generado de dimensión \(n\) un conjunto de \(n\) vectores linealmente independientes siempre es base. Además, la base no tiene por qué ser única.
Como ejemplo pondremos las bases canónicas de los sube.v. con lo que trabajaremos.
Igual que antes, denominaremos dimensión de un subespacio vectorial al número de vectores que contenga una de sus bases.
Designaremos como recta a un sube.v. de dimensión 1, y como plano a un subespacio vectorial de dimensión 2.
La definición de base nos da pie a definir las coordenadas de un vector respecto de una base. Así, si \(\vec{v}\in V\), donde \(V\) es un \(\mathbb{R}\)-espacio vectorial f.g., y \(B=\{\vec{v}_1,\vec{v}_2,\ldots,\vec{v}_n\}\), decimos que \((k_1,k_2,\ldots,k_n)\) son las coordenadas del \(\vec{v}\) respecto de la base \(B\), si \[\vec{v}=k_1\vec{v}_1+k_2 \vec{v}_2+\ldots+k_n\vec{v}_n\]
Ejercicio: Consideremos \(S=\mbox{Gen}\{(2,1,3),(-1,0,1)\}\), ¿(2,0,-1)\(\in S\)?
El plano: \(\mathbb{R}^2\)
\(\mathbb{R}^2\) es un \(\mathbb{R}\)-e.v.f.g. y \(B=\{\vec{e}_1=(1,0),\vec{e}_2=(0,1)\}\) es su base canónica. En \(\mathbb{R}^2\) solo podemos encontrar un tipo de subespacio vectorial:
Si \(S\subset\mathbb{R}^2\) es un subespacio vectorial, entonces existe un vector \(\vec{v}=(v_1,v_2)\in \mathbb{R}^2\) tal que \[S=\mbox{Gen}\{\vec{v}\}=\{\lambda(v_1,v_2):\lambda\in \mathbb{R}\}\]
De este modo, cualquier \(\vec{x}=(x_1,x_2)\in S\subset\mathbb{R}^2\) cumplirá \[\begin{align*}x_1&=\lambda v_1\\ x_2&=\lambda v_2 \end{align*}\]
A estas ecuaciones se les denomina ecuaciones paramétricas de la recta en el plano.
Ejemplo: Sean los vectores \(\vec{u}=(-1,-1)\), \(\vec{v}=(-2,-1)\), ¿generan el mismo subespacio vectorial?
Ejemplo: Determina las ecuaciones paramétricas del subespacio \(U=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2;\ x+y=0\}\)
Ejemplo: Determina una base dada por un vector unitario de subespacio \(U=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2;\ x-2y=0\}\)
El espacio: \(\mathbb{R}^3\)
\(\mathbb{R}^3\) es un \(\mathbb{R}\)-e.v.f.g. y \(B=\{\vec{e}_1=(1,0,0),\vec{e}_2=(0,1,0),\vec{e}_3=(0,0,1)\}\) es su base canónica. En \(\mathbb{R}^3\) podemos encontrarnos con dos tipos de subespacios: las rectas y los planos.
Si \(S\subset\mathbb{R}^2\) es un subespacio vectorial de dimensión uno, entonces existe un vector \(\vec{v}=(v_1,v_2,v_3)\in \mathbb{R}^3\) tal que \[S=\mbox{Gen}\{\vec{v}\}=\{\lambda(v_1,v_2,v_3):\lambda\in \mathbb{R}\}\] y sus ecuaciones paramétricas son:\[\begin{align*}x_1&=\lambda v_1\\ x_2&=\lambda v_2\\ x_3&=\lambda v_3 \end{align*}\]
Los planos de \(\mathbb{R}^3\) lo constituirán los subespacios:
\(S\subset\mathbb{R}^2\) tal que \[S=\mbox{Gen}\{\vec{v},\vec{u}\}=\{\lambda(v_1,v_2,v_3)+\mu(u_1,u_2,u_3):\lambda,\mu\in \mathbb{R}\}\] y sus ecuaciones paramétricas son:\[\begin{align*}x_1&=\lambda v_1+\mu u_1\\ x_2&=\lambda v_2+\mu u_2\\ x_3&=\lambda v_3+\mu u_3 \end{align*}\]
El plano y el espacio afin
Intentamos definir un espacio donde podamos fijar los vectores de \(\mathbb{R}^2\) o \(\mathbb{R}^3\) de forma que en vez de vectores libres tengamos vectores fijos. Eso se conseguirá en el espacio afín.
Podemos definir el plano afín \(\mathbb{R}^2\) como el conjunto \(\mathbb{R}^2\), considerado como puntos en el plano cartesiano, y el conjunto \(\mathbb{R}^2\), como \(\mathbb{R}\)-espacio vectorial, más una aplicación especial \(\phi\). Para notar los elementos de \(\mathbb{R}^2\), considerado como puntos en el plano cartesiano, escribimos \(P=(x,y)\in\mathbb{R}^2\), y les denominamos puntos del plano. Para notar los elementos del espacio vectorial \(\mathbb{R}^2\) escribimos como habitualmente hacemos, \(\vec{v}=(v_1,v_2)\in\mathbb{R}^2\), y les denominamos vectores del plano. La aplicación \(\phi\) irá del producto cartesiano \(\mathbb{R}^2\times\mathbb{R}^2\) de los puntos en el espacio vectorial \(\mathbb{R}^2\); es decir, relacionará dos puntos con un vector.
Con estos dos conjuntos, la aplicación \(\phi\) debe verificar:
- \(\phi(P,Q)+\phi(Q,R)=\phi(P,R)\) para todo \(P,Q,R\in\mathbb{R}^2\)
- Dado cualquier punto \(P\in\mathbb{R}^2\), y cualquier vector \(\vec{v}\in\mathbb{R}^2\), existe un único punto \(Q\in\mathbb{R}^2\) tal que \(\phi(P,Q)=\vec{v}\).
Estas propiedades nos definen a \(\mathbb{R}^2\) como un espacio afín sobre el espacio vectorial \(\mathbb{R}^2\), que denominamos el plano afín.
Esta definición podemos trasladarla sin problemas al \(\mathbb{R}^3\) definiendo el espacio afín.
Con esta definición podemos abordar las variedades afines dadas por la recta en el plano afín, y, la recta y el plano, en el espacio afín.
Así veremos que las ecuaciones paramétricas de una recta en el plano afín que pasa por un punto \(P(p_1,p_2)\) y que tiene por subespacio director el generado por el vector \(\vec{v}=(v_1,v_2)\), vendrá dada de la forma: \[r=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2;(x,y)=(p_1,p_2)+\lambda(v_1,v_2),\lambda\in\mathbb{R}\}\]
Trasladar lo anterior al espacio afín resulta sencillo. Una recta en el espacio afín que pasa por un punto \(P(p_1,p_2,p_3)\) y que tiene por subespacio director el generado por el vector \(\vec{v}=(v_1,v_2,v_3)\), vendrá dada de la forma: \[r=\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3;(x,y,z)=(p_1,p_2,p_3)+\lambda(v_1,v_2,v_3),\lambda\in\mathbb{R}\}\]
Si lo que deseamos es determinar un plano afín, necesitamos un punto y un subespacio director formado por dos vectores. \[\pi=\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3;(x,y,z)=(p_1,p_2,p_3)+\lambda(v_1,v_2,v_3)+\mu(u_1,u_2,u_3),\lambda,\mu\in\mathbb{R}\}\]
Sus ecuaciones paramétricas serán \[\begin{align*}x_1&=p_1+\lambda v_1+\mu u_1\\ x_2&=p_2+\lambda v_2+\mu u_2\\ x_3&=p_3+\lambda v_3+\mu u_3 \end{align*}\]
Ejemplo: Determina las ecuaciones paramétricas del plano que pasa por el punto \(P(1,0,1)\) y tiene por vectores directores \(\vec{u}=(-1,-1,0)\), \(\vec{v}=(-2,0,-1)\)
Ejemplo: Determina las ecuaciones paramétricas del plano que verifica que los puntos \(P(1,0,1)\), \(Q(-1,2,1)\) y \(R(1,2,-1)\) son coplanarios
Ejemplo: Determina un vector en la dirección del subespacio \(U=\mbox{Gen}\{(2,0,1)\}\) de longitud 6.
Ejemplo: ¿Cuál es producto escalar del vector [3,2,1] y el vector unitario normal del plano que contiene los puntos P(1,2,3), Q(-1,0,2) y R(4,-2,0)?
Ejercicio: Determinar si el punto \(S(1,2,-1)\) es coplanario a los puntos \(P(2,1,3)\),\(Q(-1,0,1)\) y \(R(2,0,-1)\).
Aplicación
A continuación, un documento con el planteamiento de un problema aplicado a la biotecnología (Optimización de Medios de Cultivo), donde se determina la independencia lineal y subespacios en \(\mathbb{R}^3\), junto con su solución detallada paso a paso:
Bibliografía
- Álgebra lineal y sus aplicaciones. 5º edición, David C. Lay. Pearson. 2016.
| Ejercicio: ¿Cuál de los puntos dados es colineal con los puntos P(2,2,-1), Q(1,2,-3) y R(3,-2,1)? |
La solución se mostrará más adelante.