Diario de clases

Planteemos las ecuaciones y simplifiquemos para dejar solo dos variables

(%i4)

equ:[3·x+5·y−z=12,2·x−3·y+4·z=3]$ eq1:rat(4·equ[1]+equ[2]);

\[\]\[\tag{%o4)/R} 17 y\mathop{+}14 x\mathop{=}51\]

(%i13)

eq:[14,17,51]$ a:eq[1]$b:eq[2]$c:eq[3]$ d:eucl_ext(a,b); x1:d[1]·(c/d[3])+b/d[3]·k$ y1:d[2]·(c/d[3])−a/d[3]·k$ print("x=",x1)$ print("y=",y1)$

\[\]\[\tag{%o9} \left[ \mathop{-}6\mathop{,}5\mathop{,}1\right] \]\[\mbox{}\\»x=»17 k\mathop{-}306\mathop{
}\]\[\mbox{}\\»y=»255\mathop{-}14 k\]

(%i16)

s1:solve(ev(equ[1],x=x1,y=y1),z); sol(i):=[ev(x1,k=i),ev(y1,k=i),ev(ev(z,s1),k=i)]$ sol(k);

\[\]\[\tag{%o14} \left[ z\mathop{=}345\mathop{-}19 k\right] \]

\[\]\[\tag{%o16} \left[ 17 k\mathop{-}306\mathop{,}255\mathop{-}14 k\mathop{,}345\mathop{-}19 k\right] \]

Ya tenemos la ecuaciones paramétricas como solución del problema.

(%i4)

equ:[7·x+2·y+3·z=5,5·x+3·y−2·z=3]$ eq1:rat(−5·equ[1]+7·equ[2]);

\[\]\[\tag{%o4)/R} \mathop{-}\left( 29 z\right) \mathop{+}11 y\mathop{=}\mathop{-}4\]

(%i13)

eq:[11,−29,−4]$ a:eq[1]$b:eq[2]$c:eq[3]$ d:eucl_ext(a,b); y1:d[1]·(c/d[3])+b/d[3]·k$ z1:d[2]·(c/d[3])−a/d[3]·k$ print("y=",y1)$ print("z=",z1)$

\[\]\[\tag{%o9} \left[ 8\mathop{,}3\mathop{,}1\right] \]\[\mbox{}\\»y=»\mathop{-}\left( 29 k\right) \mathop{-}32\mathop{
}\]\[\mbox{}\\»z=»\mathop{-}\left( 11 k\right) \mathop{-}12\]

(%i16)

s1:solve(ev(equ[1],z=z1,y=y1),x); sol(i):=[ev(ev(x,s1),k=i),ev(y1,k=i),ev(z1,k=i)]$ sol(k);

\[\]\[\tag{%o14} \left[ x\mathop{=}13 k\mathop{+}15\right] \]

\[\]\[\tag{%o16} \left[ 13 k\mathop{+}15\mathop{,}\mathop{-}\left( 29 k\right) \mathop{-}32\mathop{,}\mathop{-}\left( 11 k\right) \mathop{-}12\right] \]

(%i18)

makelist(solve(sol(k)[i],k),i,1,3); floor(makelist(ev(k,%[i]),i,1,3));

\[\]\[\tag{%o17} \left[ \left[ k\mathop{=}\mathop{-}\left( \frac{15}{13}\right) \right] \mathop{,}\left[ k\mathop{=}\mathop{-}\left( \frac{32}{29}\right) \right] \mathop{,}\left[ k\mathop{=}\mathop{-}\left( \frac{12}{11}\right) \right] \right] \]

\[\]\[\tag{%o18} \left[ \mathop{-}2\mathop{,}\mathop{-}2\mathop{,}\mathop{-}2\right] \]

(%i19)

makelist(sol(i),i,−3,−1);

\[\]\[\tag{%o19} \left[ \left[ \mathop{-}24\mathop{,}55\mathop{,}21\right] \mathop{,}\left[ \mathop{-}11\mathop{,}26\mathop{,}10\right] \mathop{,}\left[ 2\mathop{,}\mathop{-}3\mathop{,}\mathop{-}1\right] \right] \]

(%i20)

makelist(%[i].[7,2,3],i,1,3);

\[\]\[\tag{%o20} \left[ 5\mathop{,}5\mathop{,}5\right] \]

Despejemos de las ecuaciones la componente \(z\):
\[
\begin{array}{rr}
& -5(4x-11y+z=43) \\
+ & 7x+3y+5z=8\,\,\,\, \\ \hline
& -13x+58y=-207 \\
\end{array}
\]

Ahora resolvamos la ecuación \(-13x+58y=-207\). Como \(\mathbf{mcd}(58,13)=1\), tiene solución. Para encontrarla necesitamos la solución de Bézout:
\[ \begin{array}{l|l|l|l}
& 4 & 2 & 6\\ \hline
58 & 13 & 6 & 1\\ \hline
6 & 1 & 0 &
\end{array}
\]
Multiplicamos las matrices:
\[
\begin{bmatrix}
0 & 1 \\
1 & -4\\
\end{bmatrix}\begin{bmatrix}
0 & 1 \\
1 & -2\\
\end{bmatrix}\begin{bmatrix}
0 & 1 \\
1 & -6\\
\end{bmatrix}=
\begin{bmatrix}
-2 & 13 \\
9 & -58\\
\end{bmatrix}
\]
Así pues, \((-2)58+(9)13=1\), o lo que es lo mismo, \((-2)58+(-9)(-13)=1\). Es decir, la solución de Bézout será \((-9,-2)\). Ya podemos resolver la ecuación
\[
\begin{align*}
X &= (-9)(-207)+58k=1863+58k\\
Y &= (-2)(-207)-(-13)k=414+13k\\
\end{align*}
\]
Ahora solo tenemos que despejar la \(z\):
\[
Z=43-4x+11y=-2855-89k
\]

Para simplificar y porque nos piden la solución \((x_s,y_{s},z_s)\) tal que \(\text{min}\{0<z_{s}\}\), pongamos que \(k=\left \lfloor\frac{2855}{89} \right \rfloor=32\). Esto nos daría la solución particular:
\[
\begin{align*}
X_0 &= 7\\
Y_0 &= -2\\
Z_0 &= -7\\
\end{align*}
\]

Por tanto, la solución general puede expresarse como
\[\begin{array}{l}X = 7+58k \\ Y =-2+ 13 k\\ Z= -7-89k\end{array},\] \(k\in\mathbb{Z}\).

Ahora vemos claramente que si \(k=-1\) tenemos \((x_s,y_{s},z_s)\) tal que \(\text{min}\{0<z_{s}\}\); es decir, \((-51,-15,82)\). Luego, \(x_{s}+z_{s}=31.\)

B.)

Primero calculamos el \(\mathbf{mcd}(92,12)\)
\[ \begin{array}{l|l|l|l}
& 7 & 1 & 2 \\ \hline
92 & 12 & 8 & \mathbf{4} \\ \hline
8 & 4 & 0 & \\
\end{array}
\]
Luego, \(\mathbf{mcd}(92,12)=4\). Como \(4|48\) la ecuación tiene solución. Y esta se plantea resolviendo la ecuación \(\frac{12}{4}\,X_0\equiv \frac{48}{4}\pmod{\frac{92}{4}}\); es decir
\[3\,X\equiv 12\pmod{23}\]
El siguiente paso es encontrar el inverso de \(\bar{3}\) en \(\mathbb{Z}_{23}\). Recordemos que lo podemos hacer de dos formas: por la solución de Bézout que plantea la ecuación \(3x+23y=1\); o mediante la función fi de Euler, \(3^{\varphi(23)}\equiv 1\pmod{23}\).

En este caso lo hacemos por Bézout:
\[ \begin{array}{l|l|l|l}
& 7 & 1 & 2\\ \hline
23 & 3 & 2 & 1\\ \hline
2 & 1 & 0 &
\end{array}
\]
Multiplicamos las matrices:
\[
\begin{bmatrix}
0 & 1 \\
1 & -7\\
\end{bmatrix}\begin{bmatrix}
0 & 1 \\
1 & -1\\
\end{bmatrix}\begin{bmatrix}
0 & 1 \\
1 & -2\\
\end{bmatrix}=
\begin{bmatrix}
-1 & 3 \\
8 & -23\\
\end{bmatrix}
\]
Así pues, \(\bar{8}\) es el inverso de \(\bar{3}\) en \(\mathbb{Z}_{23}\).

Multiplicamos en ambos lados de la ecuación:
\[
8\cdot 3\,X\equiv 8\cdot 12\pmod{23}\Rightarrow X\equiv 96\pmod{23}\Rightarrow X\equiv 4\pmod{23}
\]

Por tanto, las soluciones son
\[
X\equiv (4+23k)\pmod{92},
\]
con \(k=1,\ldots, (4-1)\); es decir, 4, 27, 50 y 73.

Nuestro \(v:[a,b]\) donde \(a\) y \(b\) son las dos soluciones mayores de la ecuación de congruencias, resultará \(v:[50,73]\). Así
\[
[50,73].[2,-1]=27
\]