Ampliamos las definiciones de variedades lineales que, en muchos casos, las equiparamos con los subespacios vectoriales, aunque no tienen por qué serlos, a \(\mathbb{R}^n\)
Las variedades lineales nos dan pie para definir las ecuaciones paramétricas e implícitas que las identifican.
Además, hemos introducido el espacio afín y con él la variedad afín, una forma de dar sentido a las estructuras que conocemos de unir puntos con vectores. Ahora ya podemos hablar de rectas de puntos en el plano, o planos de puntos en el espacio.
Como en el caso de las variedades lineales, podemos encontrar la variedad afín definida por las ecuaciones paramétricas o implícitas.
De paramétricas a implícitas
Nuestra principal problema será determinar las las ecuaciones paramétricas o implícitas de una variedad. Veamos cómo pasamos de las ecuaciones paramétricas a implícitas. Consideremos una variedad dada por \(\pi:P+\textbf{Gen}\{\vec{v}_1,\vec{v}_2,\ldots,\vec{v}_r\}\). Las ecuaciones implícitas nos las proporcionarán las ecuaciones que hacen que \[rang\begin{bmatrix}v_{11}& v_{21}&\cdots &v_{r1} &x_1-p_1\\ v_{12}& v_{22}&\cdots &v_{r2} &x_2-p_2\\ \vdots&\vdots&\cdots & \vdots &\vdots\\ v_{1n}& v_{2n}&\cdots &v_{rn}&x_r-p_r\end{bmatrix}=r\]
Si en vez de una variedad tenemos un subespacio vectorial, el procedimiento sería el mismo, como si el la ecuación anterior las coordenadas \(p_i=0\):
Ejemplo: Determina las ecuaciones implícitas del subespacio vectorial \(\textbf{r}=\mathbf{Gen}\left\{(1,2,3)\right\}\subset\mathbb{R}^3\)
Ejemplo: Determina las ecuaciones implícitas del subespacio vectorial \[\textbf{T}=\left\{\begin{bmatrix}a&-b\\ b&c\end{bmatrix}\in \mathcal{M}_2(\mathbb{R})\right\}\]
Ejemplo: Determina las ecuaciones implícitas del subespacio vectorial \[\textbf{T}=\left\{\begin{bmatrix}a+2b&a-b\\ b-a&b\end{bmatrix}\in \mathcal{M}_2(\mathbb{R})\right\}\]
Este resultado nos proporciona un método muy práctico para encontrar las ecuaciones ecuaciones implícitas:
- Consideremos la matriz \(A=\begin{bmatrix}v_{11}& v_{21}&\cdots &v_{r1} &x_1-p_1\\ v_{12}& v_{22}&\cdots &v_{r2} &x_2-p_2\\ \vdots&\vdots&\cdots & \vdots &\vdots\\ v_{1n}& v_{2n}&\cdots &v_{rn} &x_n-p_n\end{bmatrix}\), donde \(rang(A)=r\)
- Tomemos un menor de orden \(r\) distinto de cero; por ejemplo \(\begin{vmatrix}v_{11}& v_{21}&\cdots &v_{r1}\\ v_{12}& v_{22}&\cdots &v_{r2} \\ \vdots&\vdots&\cdots & \vdots \\ v_{1r}& v_{2r}&\cdots &v_{rn} \end{vmatrix}\neq 0\)
- Realicemos operaciones elementales a la matriz \(A\) de forma que mantengamos el menor anterior y hagamos cero el resto de filas. Esto nos llevará a una matriz semejante: \[\begin{bmatrix}v_{11}& v_{21}&\cdots &v_{r1} &x_1-p_1\\ v_{12}& v_{22}&\cdots &v_{r2} &x_2-p_2\\ \vdots&\vdots&\cdots & \vdots &\vdots\\ v_{1n}& v_{2n}&\cdots &v_{rn} &x_n-p_n\end{bmatrix}\sim \begin{bmatrix}v_{11}& v_{21}&\cdots &v_{r1} &x_1-p_1\\ v_{12}& v_{22}&\cdots &v_{r2} &x_2-p_2\\ \vdots&\vdots&\cdots & \vdots &\vdots\\
v_{1r}& v_{2r}&\cdots &v_{rr} &x_r-p_r \\ 0& 0&\cdots &0&f_1(x_1,\ldots,x_n) \\
0& 0&\cdots &0&f_2(x_1,\ldots,x_n) \\ \vdots&\vdots&\cdots & \vdots &\vdots\\
0& 0&\cdots &0&f_{n-r}(x_1,\ldots,x_n) \end{bmatrix}\] - Las ecuaciones \(f_i(x_1,\ldots,x_n)=0\), \(i\in\{1,\ldots,n-r\}\), definen las ecuaciones implícitas de la variedad afín.
Ejemplo: Determina las ecuaciones implícitas de la variedad lineal \(\textbf{S}=\textbf{Gen}\{1+X\), \(-X^2+2X^3\}\subseteq \mathbb{R}_3[X]\)
Ejemplo: Determina las ecuaciones implícitas de la variedad afín dada por el punto P(1,0,-1,1,0) y el subespacio generado por los vectores \(\textbf{Gen}\{(1,1,2,1,0),(-1,0,0,1,1)\}\)
Ejemplo: Determina las ecuaciones implícitas de la variedad afín \(S=\{(1,-2,3,1)+\textbf{Gen}\{(1,0,1,0)\), \((0,1,0,1)\), \((0,0,1,0)\}\}\)
Ejemplo: Determina las ecuaciones implícitas de la variedad afín dada por el punto P(-1,2,3,1,0) y el subespacio generado por los vectores \(\textbf{Gen}\{(1,0,1,0,-1)\), \((0,1,0,1,1)\), \((0,0,-1,0,1)\}\)
Componente normal
Para algunos ejercicios utilizaremos la siguiente definición:
Definición: Sea \(\lambda_1x_1+\lambda_2x_2+\ldots+\lambda_nx_n+\lambda=0\) una ecuación implícita de una variedad afín. Llamaremos componente normal de la ecuación al vector \((\lambda_1,\lambda_2,\ldots,\lambda_n)\in\mathbb{R}^n\)
Diremos componente normal unitaria a dicho vector multiplicado por el escalar: \[\frac{1}{\sqrt{\lambda_1^2+\ldots+\lambda_n^2}}(\lambda_1,\lambda_2,\ldots,\lambda_n)\]
Ejemplo: ¿Cuánto es el producto escalar de [1,2,3,4] por la componente normal unitaria de la ecuación implícita de la variedad afín \(S=\{(-1,2,3,1)+\textbf{Gen}\{(1,0,1,0)\), \((0,1,0,1)\), \((0,0,1,0)\}\}\)?
Vector de coeficientes
Para algunos ejercicios utilizaremos la siguiente definición:
Definición: Sea \(\lambda_1x_1+\lambda_2x_2+\ldots+\lambda_nx_n+\lambda=0\) una ecuación implícita de una variedad afín. Llamaremos vector de coeficientes de la ecuación al vector \((\lambda_1,\lambda_2,\ldots,\lambda_n,\lambda)\in\mathbb{R}^{n+1}\)
Diremos vector de coeficientes unitario a dicho vector multiplicado por el escalar: \[\frac{1}{\sqrt{\lambda_1^2+\ldots+\lambda_n^2+\lambda^2}}(\lambda_1,\lambda_2,\ldots,\lambda_n,\lambda)\]
Ejemplo: Determinar si [4,7,-3,3,-6,-4] pertenece al subespacio generado por los vectores de coeficientes de las ecuaciones implícitas de la variedad afín \(S=\{[-1,2,3,1,0]+\textbf{Gen}\{([2,1,1,0,2]\), \([-1,1,0,-1,0]\), \([0,0,-1,1,1]\}\}\)
De implícitas a paramétricas
Pasar de las ecuaciones implícitas a las paramétricas será resolver un sistema.
La introducción de las variedades nos lleva a resolver sistemas de ecuaciones lineales. Para resolverlas utilizamos las matrices. Así todo sistema de ecuaciones lineales lo podemos plantear como un sistema matricial de la forma Ax=b, donde A es la matriz de coeficientes del sistema, x es la matriz columna de incógnitas y b es la matriz columna de términos independientes:
Para tratarlos mejor, podemos intentar transformarlos en sistemas escalonados, que es resultado de transformar la matriz ampliada [A b], mediante operaciones elementales de fila, en una matriz escalonada. Este es el método que conocemos como método de Gauss.
Los sistemas de ecuaciones más sencillos resultan aquellos que podemos emplear la regla de Cramer.
La importancia de Teorema de Rouché-Frobenius estriba en que determina cuando un sistema tiene solución o no. Este resultado, junto con el anterior, nos permite resolver con facilidad los sistemas de ecuaciones como los ejercicios que hemos realizado.
| Ejercicio: La distancia al origen de la recta r ≡ 3x – 4y – 25 = 0 es |