Diario de clases – Clases de Jesús Soto

ALG: Ortonormalización de Gram-Schmidt

Posted on 13 de noviembre de 2026

Recordemos que, dado un espacio euclídeo, $(\mathcal{E},\bullet)$, dos vectores se dicen ortogonales si
\[\vec{x}\perp \vec{y} \Leftrightarrow \vec{x}\bullet \vec{y}=0\]
Con esta definición, decimos que $B=\{\vec{v}_1,\vec{v}_2,\ldots,\vec{v}_n\}$ es un conjunto ortogonal si dos a dos sus vectores son ortogonales; es decir, $\vec{v}_i\bullet\vec{v}_j=0\forall i\neq j$

Nuestro propósito será, a partir de un conjunto de vectores, de un subespacio de un espacio euclídeo, $(\mathcal{E},\bullet)$, obtener otro conjunto ortonormal de vectores que genere el mismo subespacio vectorial. Este proceso se denomina ortonormalización de Gram-Schmidt.

El proceso de ortonormalización de Gram–Schmidt nos dice que si $B=\{\vec{v}_1,\vec{v}_2,\ldots,\vec{v}_n\}$, los vectores

$\vec{u}_1=\vec{v}_1$
$\vec{u}_2=\vec{v}_2-\displaystyle{\frac{\vec{u}_1\bullet \vec{v}_2}{||\vec{u}_1||^2}\vec{u}_1}$
$\vec{u}_3=\vec{v}_3-\displaystyle{\frac{\vec{u}_1\bullet \vec{v}_3}{||\vec{u}_1||^2}\vec{u}_1}-\displaystyle{\frac{\vec{u}_2\bullet \vec{v}_3}{||\vec{u}_2||^2}\vec{u}_2}$
$\vec{u}_k=\vec{v}_k-\displaystyle\sum_{i=1}^{k-1}\frac{\vec{u}_i\bullet \vec{v}_k}{||\vec{u}_i||^2}\vec{u}_i$

Forman una base ortogonal del subespacio. De este modo, el siguiente conjunto es una base ortonormal del subespacio \[\left\{\frac{\vec{u}_1}{||\vec{u}_1||},\frac{\vec{u}_2}{||\vec{u}_2||},\ldots,\frac{\vec{u}_n}{||\vec{u}_n||}\right\}\]

Ejemplo: Dada la base de $\mathbb{R}^2$
\[ B = \{ \mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2 \} = \left\{ (1, -2), (1, 1) \right\} \]
construya una base ortonormal $\mathcal{B} = \{ \mathbf{e}_1, \mathbf{e}_2 \}$ para $\mathbb{R}^2$ mediante el proceso de Gram-Schmidt.

1. Construcción de la Base Ortogonal $\{ \mathbf{u}_1, \mathbf{u}_2 \}$

Paso 1: Definir el primer vector ortogonal $\mathbf{u}_1$

El primer vector de la base ortogonal es el primer vector de la base original:

\[
\mathbf{u}_1 = \mathbf{v}_1 = (1, -2)
\]

Paso 2: Calcular el segundo vector ortogonal $\mathbf{u}_2$

El vector $\mathbf{u}_2$ se calcula restando a $\mathbf{v}_2$ su proyección sobre $\mathbf{u}_1$.

Fórmula de Gram-Schmidt:
\[
\mathbf{u}_2 = \mathbf{v}_2 – \frac{\mathbf{v}_2 \cdot \mathbf{u}_1}{\| \mathbf{u}_1 \|^2} \mathbf{u}_1
\]

Cálculo del producto escalar $\mathbf{v}_2 \cdot \mathbf{u}_1$:

\[
\mathbf{v}_2 \cdot \mathbf{u}_1 = (1, 1) \cdot (1, -2) = (1)(1) + (1)(-2) = 1 – 2 = -1
\]

Cálculo de la norma cuadrada de $\mathbf{u}_1$:

\[
\| \mathbf{u}_1 \|^2 = (1)^2 + (-2)^2 = 1 + 4 = 5
\]

Cálculo de $\mathbf{u}_2$:

Sustituimos los valores:
\[
\mathbf{u}_2 = (1, 1) – \frac{-1}{5} (1, -2)
\]

\[
\mathbf{u}_2 = (1, 1) + \frac{1}{5} (1, -2)
\]

\[
\mathbf{u}_2 = \left( 1 + \frac{1}{5}, 1 – \frac{2}{5} \right) = \left( \frac{5}{5} + \frac{1}{5}, \frac{5}{5} – \frac{2}{5} \right) = \left( \frac{6}{5}, \frac{3}{5} \right)
\]

La base ortogonal obtenida es:
\[
B’ = \left\{ \mathbf{u}_1, \mathbf{u}_2 \right\} = \left\{ (1, -2), \left( \frac{6}{5}, \frac{3}{5} \right) \right\}
\]

2. Normalización de la Base Ortogonal

Dividimos cada vector ortogonal por su norma para obtener una longitud de 1.

Paso 3: Normalizar $\mathbf{u}_1$ (obteniendo $\mathbf{e}_1$)

Cálculo de la norma de $\mathbf{u}_1$:
\[
\| \mathbf{u}_1 \| = \sqrt{5}
\]

Cálculo de $\mathbf{e}_1$:
\[
\mathbf{e}_1 = \frac{\mathbf{u}_1}{\| \mathbf{u}_1 \|} = \frac{1}{\sqrt{5}} (1, -2) = \left( \frac{1}{\sqrt{5}}, – \frac{2}{\sqrt{5}} \right)
\]

Paso 4: Normalizar $\mathbf{u}_2$ (obteniendo $\mathbf{e}_2$)

Cálculo de la norma de $\mathbf{u}_2$:

\[
\| \mathbf{u}_2 \| = \sqrt{\left( \frac{6}{5} \right)^2 + \left( \frac{3}{5} \right)^2} = \sqrt{\frac{36}{25} + \frac{9}{25}} = \sqrt{\frac{45}{25}} = \frac{\sqrt{9}\sqrt{5}}{5} = \frac{3\sqrt{5}}{5} = \frac{3}{\sqrt{5}}
\]

Cálculo de $\mathbf{e}_2$:

\[
\mathbf{e}_2 = \frac{\mathbf{u}_2}{\| \mathbf{u}_2 \|} = \frac{1}{\frac{3}{\sqrt{5}}} \left( \frac{6}{5}, \frac{3}{5} \right)
\]

\[
\mathbf{e}_2 = \frac{\sqrt{5}}{3} \left( \frac{6}{5}, \frac{3}{5} \right) = \left( \frac{\sqrt{5}}{3} \cdot \frac{6}{5}, \frac{\sqrt{5}}{3} \cdot \frac{3}{5} \right)
\]

\[
\mathbf{e}_2 = \left( \frac{2\sqrt{5}}{5}, \frac{\sqrt{5}}{5} \right)
\]
Alternativamente, y sin racionalizar el denominador:
\[
\mathbf{e}_2 = \left( \frac{2}{\sqrt{5}}, \frac{1}{\sqrt{5}} \right)
\]

3. Conclusión

La base ortonormal de $\mathbb{R}^2$ obtenida mediante el proceso de Gram-Schmidt es:

\[
\mathcal{B} = \{ \mathbf{e}_1, \mathbf{e}_2 \} = \left\{ \left( \frac{1}{\sqrt{5}}, – \frac{2}{\sqrt{5}} \right), \left( \frac{2}{\sqrt{5}}, \frac{1}{\sqrt{5}} \right) \right\}
\]

Ejemplo: Dada la base de $\mathbb{R}^3$
\[ B = \{ \mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, \mathbf{v}_3 \} = \left\{ (1, 0, 1), (1, 1, 0), (0, 2, -1) \right\} \]
construya una base ortonormal $\mathcal{B} = \{ \mathbf{e}_1, \mathbf{e}_2, \mathbf{e}_3 \}$ para $\mathbb{R}^3$ mediante el proceso de Gram-Schmidt.

1. Construcción de la Base Ortogonal $\{ \mathbf{u}_1, \mathbf{u}_2, \mathbf{u}_3 \}$

Paso 1: Definir el primer vector ortogonal $\mathbf{u}_1$

Tomamos el primer vector de la base original:
\[
\mathbf{u}_1 = \mathbf{v}_1 = (1, 0, 1)
\]
Calculamos su norma cuadrada:
\[
\| \mathbf{u}_1 \|^2 = 1^2 + 0^2 + 1^2 = 2
\]

Paso 2: Calcular el segundo vector ortogonal $\mathbf{u}_2$

Restamos a $\mathbf{v}_2$ su proyección sobre $\mathbf{u}_1$:
\[
\mathbf{u}_2 = \mathbf{v}_2 – \frac{\mathbf{v}_2 \cdot \mathbf{u}_1}{\| \mathbf{u}_1 \|^2} \mathbf{u}_1
\]

Cálculos auxiliares:
* Producto escalar: $\mathbf{v}_2 \cdot \mathbf{u}_1 = (1, 1, 0) \cdot (1, 0, 1) = 1$

Sustitución:
\[\begin{split}
\mathbf{u}_2 &= (1, 1, 0) – \frac{1}{2} (1, 0, 1)\\
&= \left( \frac{1}{2}, 1, – \frac{1}{2} \right)
\end{split}
\]
Calculamos la norma cuadrada de $\mathbf{u}_2$:
\[
\| \mathbf{u}_2 \|^2 = \left( \frac{1}{2} \right)^2 + 1^2 + \left( – \frac{1}{2} \right)^2 = \frac{3}{2}
\]

Paso 3: Calcular el tercer vector ortogonal $\mathbf{u}_3$

Usaremos el nuevo vector $\mathbf{v}_3 = (0, 2, -1)$ y la fórmula:
\[
\mathbf{u}_3 = \mathbf{v}_3 – \frac{\mathbf{v}_3 \cdot \mathbf{u}_1}{\| \mathbf{u}_1 \|^2} \mathbf{u}_1 – \frac{\mathbf{v}_3 \cdot \mathbf{u}_2}{\| \mathbf{u}_2 \|^2} \mathbf{u}_2
\]

Cálculos de Productos Escalares con el nuevo $\mathbf{v}_3$:

1. Producto escalar $\mathbf{v}_3 \cdot \mathbf{u}_1$:
\[ \mathbf{v}_3 \cdot \mathbf{u}_1 = (0, 2, -1) \cdot (1, 0, 1) = -1 \]

2. Producto escalar $\mathbf{v}_3 \cdot \mathbf{u}_2$:
\[ \mathbf{v}_3 \cdot \mathbf{u}_2 = (0, 2, -1) \cdot \left( \frac{1}{2}, 1, – \frac{1}{2} \right) = \frac{5}{2} \]

Cálculo de los Coeficientes de Proyección:

* Proyección sobre $\mathbf{u}_1$: $\frac{\mathbf{v}_3 \cdot \mathbf{u}_1}{\| \mathbf{u}_1 \|^2} = \frac{-1}{2}$
* Proyección sobre $\mathbf{u}_2$: $\frac{\mathbf{v}_3 \cdot \mathbf{u}_2}{\| \mathbf{u}_2 \|^2} = \frac{5/2}{3/2} = \frac{5}{3}$

Sustitución y Cálculo de $\mathbf{u}_3$:

\[\begin{split}
\mathbf{u}_3 &= (0, 2, -1) – \left( – \frac{1}{2} \right) \mathbf{u}_1 – \left( \frac{5}{3} \right) \mathbf{u}_2\\
&= (0, 2, -1) + \frac{1}{2} (1, 0, 1) – \frac{5}{3} \left( \frac{1}{2}, 1, – \frac{1}{2} \right)\\
&= \left( – \frac{1}{3}, \frac{1}{3}, \frac{1}{3} \right)
\end{split}
\]

2. Normalización de la Base Ortogonal $\{ \mathbf{u}_1, \mathbf{u}_2, \mathbf{u}_3 \}$

Paso 4: Normalizar $\mathbf{u}_1$ (obteniendo $\mathbf{e}_1$)

Cálculo de la norma de $\mathbf{u}_1$:
\[
\| \mathbf{u}_1 \| = \sqrt{2}
\]
Cálculo de $\mathbf{e}_1$:
\[
\mathbf{e}_1 = \frac{\mathbf{u}_1}{\| \mathbf{u}_1 \|} = \frac{1}{\sqrt{2}} (1, 0, 1)
\]

Paso 5: Normalizar $\mathbf{u}_2$ (obteniendo $\mathbf{e}_2$)

Cálculo de la norma de $\mathbf{u}_2$:
\[
\| \mathbf{u}_2 \| = \sqrt{\frac{3}{2}}
\]
Cálculo de $\mathbf{e}_2$:
\[\begin{split}
\mathbf{e}_2 = \frac{\mathbf{u}_2}{\| \mathbf{u}_2 \|} &= \frac{1}{\sqrt{3/2}} \left( \frac{1}{2}, 1, – \frac{1}{2} \right)\\
&= \sqrt{\frac{2}{3}} \cdot \frac{1}{2} (1, 2, -1) \\ &= \frac{1}{\sqrt{6}} (1, 2, -1)
\end{split}
\]

Paso 6: Normalizar $\mathbf{u}_3$ (obteniendo $\mathbf{e}_3$)

Primero, calculamos la norma cuadrada de $\mathbf{u}_3$:
\[
\| \mathbf{u}_3 \|^2 = \left( – \frac{1}{3} \right)^2 + \left( \frac{1}{3} \right)^2 + \left( \frac{1}{3} \right)^2 = \frac{1}{3}
\]

Cálculo de la norma de $\mathbf{u}_3$:
\[
\| \mathbf{u}_3 \| = \sqrt{\frac{1}{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}}
\]

Cálculo de $\mathbf{e}_3$:
\[\begin{split}
\mathbf{e}_3 = \frac{\mathbf{u}_3}{\| \mathbf{u}_3 \|} &= \frac{1}{1/\sqrt{3}} \left( – \frac{1}{3}, \frac{1}{3}, \frac{1}{3} \right)\\
&= \sqrt{3} \left( – \frac{1}{3}, \frac{1}{3}, \frac{1}{3} \right)\\ &= \left( – \frac{\sqrt{3}}{3}, \frac{\sqrt{3}}{3}, \frac{\sqrt{3}}{3} \right)
\end{split}
\]
(Alternativamente, sin racionalizar, podemos ver que $\mathbf{e}_3 = \frac{1}{\sqrt{3}} (-1, 1, 1)$)

3. Conclusión: Base Ortonormal para $\mathbb{R}^3$

La base ortonormal de $\mathbb{R}^3$, $\mathcal{B} = \{ \mathbf{e}_1, \mathbf{e}_2, \mathbf{e}_3 \}$, es la siguiente.
\[
\mathcal{B} = \left\{ \frac{1}{\sqrt{2}} (1, 0, 1), \frac{1}{\sqrt{6}} (1, 2, -1), \frac{1}{\sqrt{3}} (-1, 1, 1) \right\}
\]

Ejemplo: Dada la base de un susubespacio vectorial de $S \subseteq\mathcal{M}_2(\mathbb{R})$
\[ B = \{ \mathbf{V}_1, \mathbf{V}_2, \mathbf{V}_3 \} = \left\{ \begin{bmatrix} 1 & -1 \\ 0 & 2 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix} \right\} \]
construya una base ortonormal $\mathcal{B} = \{ \mathbf{e}_1, \mathbf{e}_2, \mathbf{e}_3 \}$ para $S$ mediante el proceso de Gram-Schmidt.

Usaremos el producto interno de la traza: $\langle A, B \rangle = \text{tr}(A^t B)= \text{tr}(B^t A)$.

1. Construcción de la Base Ortogonal $\{ \mathbf{U}_1, \mathbf{U}_2, \mathbf{U}_3 \}$

Paso 1: Definir la primera matriz ortogonal $\mathbf{U}_1$

\[
\mathbf{U}_1 = \mathbf{V}_1 = \begin{bmatrix} 1 & -1 \\ 0 & 2 \end{bmatrix}
\]
Calculamos su **norma cuadrada**:
\[
\| \mathbf{U}_1 \|^2 = 1^2 + (-1)^2 + 0^2 + 2^2 = 6
\]

Paso 2: Calcular la segunda matriz ortogonal $\mathbf{U}_2$

Fórmula: $\mathbf{U}_2 = \mathbf{V}_2 – \frac{\langle \mathbf{V}_2, \mathbf{U}_1 \rangle}{\| \mathbf{U}_1 \|^2} \mathbf{U}_1$

Cálculos auxiliares:
* Producto escalar $\langle \mathbf{V}_2, \mathbf{U}_1 \rangle$:
\[
\left\langle \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 1 & -1 \\ 0 & 2 \end{bmatrix} \right\rangle = (1)(1) + (1)(-1) + (0)(0) + (0)(2) = 0
\]

Resultado de $\mathbf{U}_2$:
Puesto que $\langle \mathbf{V}_2, \mathbf{U}_1 \rangle = 0$, la proyección es nula. Esto significa que $\mathbf{V}_1$ y $\mathbf{V}_2$ ya eran **ortogonales** por casualidad.
\[
\mathbf{U}_2 = \mathbf{V}_2 – \frac{0}{6} \mathbf{U}_1 = \mathbf{V}_2 = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}
\]

Calculamos la norma cuadrada de $\mathbf{U}_2$:
\[
\| \mathbf{U}_2 \|^2 = 1^2 + 1^2 + 0^2 + 0^2 = 2
\]

### Paso 3: Calcular la tercera matriz ortogonal $\mathbf{U}_3$

Fórmula: $\mathbf{U}_3 = \mathbf{V}_3 – \frac{\langle \mathbf{V}_3, \mathbf{U}_1 \rangle}{\| \mathbf{U}_1 \|^2} \mathbf{U}_1 – \frac{\langle \mathbf{V}_3, \mathbf{U}_2 \rangle}{\| \mathbf{U}_2 \|^2} \mathbf{U}_2$

Cálculos de Productos Escalares:
1. Producto escalar $\langle \mathbf{V}_3, \mathbf{U}_1 \rangle$:
\[
\left\langle \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 1 & -1 \\ 0 & 2 \end{bmatrix} \right\rangle = (1)(1) + (1)(-1) + (1)(0) + (0)(2) = 1 – 1 + 0 + 0 = 0
\]
2. Producto escalar $\langle \mathbf{V}_3, \mathbf{U}_2 \rangle$:
\[
\left\langle \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 0 \end{bmatrix} \right\rangle = (1)(1) + (1)(1) + (1)(0) + (0)(0) = 1 + 1 + 0 + 0 = 2
\]

Cálculo de los Coeficientes de Proyección:
* Proyección sobre $\mathbf{U}_1$: $\frac{\langle \mathbf{V}_3, \mathbf{U}_1 \rangle}{\| \mathbf{U}_1 \|^2} = \frac{0}{6} = 0$
* Proyección sobre $\mathbf{U}_2$: $\frac{\langle \mathbf{V}_3, \mathbf{U}_2 \rangle}{\| \mathbf{U}_2 \|^2} = \frac{2}{2} = 1$

Sustitución y Cálculo de $\mathbf{U}_3$:
\[
\mathbf{U}_3 = \mathbf{V}_3 – 0 \cdot \mathbf{U}_1 – 1 \cdot \mathbf{U}_2
\]
\[
\mathbf{U}_3 = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix} – \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}
\]
\[
\mathbf{U}_3 = \begin{bmatrix} 1 – 1 & 1 – 1 \\ 1 – 0 & 0 – 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}
\]

La base ortogonal obtenida es:
\[
B’ = \left\{ \mathbf{U}_1, \mathbf{U}_2, \mathbf{U}_3 \right\} = \left\{ \begin{bmatrix} 1 & -1 \\ 0 & 2 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 0 \end{bmatrix} \right\}
\]

2. Normalización de la Base Ortogonal $\{ \mathbf{U}_1, \mathbf{U}_2, \mathbf{U}_3 \}$

Dividimos cada matriz ortogonal por su norma: $\mathbf{E}_i = \frac{\mathbf{U}_i}{\| \mathbf{U}_i \|}$

Paso 4: Normalizar $\mathbf{U}_1$ (obteniendo $\mathbf{E}_1$)

\[
\| \mathbf{U}_1 \| = \sqrt{6}
\]
\[
\mathbf{E}_1 = \frac{1}{\sqrt{6}} \begin{bmatrix} 1 & -1 \\ 0 & 2 \end{bmatrix}
\]

Paso 5: Normalizar $\mathbf{U}_2$ (obteniendo $\mathbf{E}_2$)

\[
\| \mathbf{U}_2 \| = \sqrt{2}
\]
\[
\mathbf{E}_2 = \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}
\]

Paso 6: Normalizar $\mathbf{U}_3$ (obteniendo $\mathbf{E}_3$)

\[
\| \mathbf{U}_3 \| = \sqrt{0^2 + 0^2 + 1^2 + 0^2} = 1
\]
\[
\mathbf{E}_3 = \frac{1}{1} \begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}
\]

3. Conclusión

La base ortonormal de las tres matrices de $\mathbb{R}^{2 \times 2}$ es:

\[
\mathcal{B} = \{ \mathbf{E}_1, \mathbf{E}_2, \mathbf{E}_3 \} = \left\{ \frac{1}{\sqrt{6}} \begin{bmatrix} 1 & -1 \\ 0 & 2 \end{bmatrix} , \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 0 \end{bmatrix} \right\}
\]

Ejemplo: Dada la base de $\mathbb{R}_2[X]$
\[ B = \{ \mathbf{u}_1, \mathbf{u}_2, \mathbf{u}_2 \} = \left\{ 1-X^2,X+1,X+X^2\right\} \]
construya una base ortonormal mediante el proceso de Gram-Schmidt.

Consideremos el espacio vectorial $\mathcal{R}_2[X]$ de los polinomios de grado menor o igual a 2, dotado del producto escalar definido por la integral definida en el intervalo $[0,1]$:

\[\langle p, q \rangle = \int_0^1 p(X) q(X) \, dX\]

Calculamos su norma al cuadrado mediante la integral:

\[\langle u_1, u_1 \rangle = \int_0^1 (1 – X^2)^2 dX = \int_0^1 (1 – 2X^2 + X^4) dX\]
\[\langle u_1, u_1 \rangle = \left[ X – \frac{2}{3}X^3 + \frac{1}{5}X^5 \right]_0^1 = 1 – \frac{2}{3} + \frac{1}{5} = \frac{8}{15}\]

La norma es $\Vert{}u_1\Vert{} = \sqrt{\frac{8}{15}}$. Normalizamos $u_1(X)$ para obtener el primer vector ortonormal:

\[e_1(X) = \frac{u_1(X)}{\Vert{}u_1\Vert{}} = \frac{\sqrt{15}}{2\sqrt{2}} (1 – X^2) = \frac{\sqrt{30}}{4} (1 – X^2)\]

Paso 2: Ortogonalización y normalización del segundo vector $e_2(X)$

Para el vector $v_2(X) = X + 1$, restamos su proyección ortogonal sobre $u_1(X)$:

\[u_2(X) = v_2(X) – \frac{\langle v_2, u_1 \rangle}{\langle u_1, u_1 \rangle} u_1(X)\]

Calculamos el producto escalar $\langle v_2, u_1 \rangle$:

\[\langle v_2, u_1 \rangle = \int_0^1 (X+1)(1-X^2) dX = \int_0^1 (1 + X – X^2 – X^3) dX\]
\[\langle v_2, u_1 \rangle = \left[ X + \frac{X^2}{2} – \frac{X^3}{3} – \frac{X^4}{4} \right]_0^1 = 1 + \frac{1}{2} – \frac{1}{3} – \frac{1}{4} = \frac{11}{12}\]

El coeficiente de proyección resulta:

\[c_{21} = \frac{\langle v_2, u_1 \rangle}{\langle u_1, u_1 \rangle} = \frac{11/12}{8/15} = \frac{55}{32}\]

Sustituyendo para hallar el vector ortogonal $u_2(X)$:

\[u_2(X) = (X+1) – \frac{55}{32}(1 – X^2) = \frac{55}{32}X^2 + X – \frac{23}{32}\]

Calculamos la norma al cuadrado de $u_2(X)$:

\[\langle u_2, u_2 \rangle = \int_0^1 \left( \frac{55}{32}X^2 + X – \frac{23}{32} \right)^2 dX = \frac{97}{128}\]

Normalizamos para obtener el segundo vector ortonormal $e_2(X)$:

\[e_2(X) = \frac{u_2(X)}{\Vert{}u_2\Vert{}} = \frac{16}{\sqrt{194}} \left( \frac{55}{32}X^2 + X – \frac{23}{32} \right) = \frac{55X^2 + 32X – 23}{2\sqrt{194}}\]

Paso 3: Evaluación del tercer vector $v_3(X) = X + X^2$

Restamos a $v_3(X)$ sus proyecciones sobre $u_1(X)$ y $u_2(X)$:

\[u_3(X) = v_3(X) – \frac{\langle v_3, u_1 \rangle}{\langle u_1, u_1 \rangle} u_1(X) – \frac{\langle v_3, u_2 \rangle}{\langle u_2, u_2 \rangle} u_2(X)\]

Calculando los productos escalares correspondientes:

\[\langle v_3, u_1 \rangle = \int_0^1 (X+X^2)(1-X^2) dX = \int_0^1 (X + X^2 – X^3 – X^4) dX = \frac{23}{60} \implies c_{31} = \frac{23/60}{8/15} = \frac{23}{32}\]
\[\langle v_3, u_2 \rangle = \int_0^1 (X+X^2)\left( \frac{55}{32}X^2 + X – \frac{23}{32} \right) dX = \frac{97}{128} \implies c_{32} = \frac{97/128}{97/128} = 1\]

Sustituyendo en la expresión de $u_3(X)$:

\[u_3(X) = (X+X^2) – \frac{23}{32}(1-X^2) – 1 \cdot \left( \frac{55}{32}X^2 + X – \frac{23}{32} \right) = 0\]

El algoritmo devuelve el vector nulo $u_3(X) = 0$, confirmando matemáticamente que el conjunto original no formaba una base completa para $\mathbb{R}_2[X]$.

Aplicando la ortogonalización de Gram-Schmidt sobre $w_3(X) = X^2$:

\[u_3(X) = X^2 – \frac{\langle X^2, u_1 \rangle}{\langle u_1, u_1 \rangle} u_1(X) – \frac{\langle X^2, u_2 \rangle}{\langle u_2, u_2 \rangle} u_2(X)\]

Integrando los coeficientes de proyección:

\[\langle X^2, u_1 \rangle = \int_0^1 X^2(1-X^2) dX = \frac{2}{15} \implies c_{31}’ = \frac{2/15}{8/15} = \frac{1}{4}\]
\[\langle X^2, u_2 \rangle = \int_0^1 X^2\left(\frac{55}{32}X^2 + X – \frac{23}{32}\right) dX = \frac{17}{48} \implies c_{32}’ = \frac{17/48}{97/128} = \frac{68}{291}\]

Obtenemos el tercer vector ortogonal:

\[u_3(X) = X^2 – \frac{1}{4}(1-X^2) – \frac{68}{291}\left(\frac{55}{32}X^2 + X – \frac{23}{32}\right) = \frac{247}{291}X^2 – \frac{68}{291}X – \frac{25}{291}\]

Normalizando mediante su norma $\Vert{}u_3\Vert{} = \sqrt{\langle u_3, u_3 \rangle}$, se obtiene la base ortonormal completa $\mathcal{B} = \{e_1(X), e_2(X), e_3(X)\}$ para $\mathbb{R}_2[X]$.

Ejercicio: ¿Cuál es el valor de $\begin{bmatrix}1&2\\ 0& -1\end{bmatrix}\bullet\begin{bmatrix}0&-1\\ 1& 3\end{bmatrix}$

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1. Construcción de la Base Ortogonal \(\{ \mathbf{u}_1, \mathbf{u}_2 \}\)

Paso 1: Definir el primer vector ortogonal \(\mathbf{u}_1\)

Paso 2: Calcular el segundo vector ortogonal \(\mathbf{u}_2\)

2. Normalización de la Base Ortogonal

Paso 3: Normalizar \(\mathbf{u}_1\) (obteniendo \(\mathbf{e}_1\))

Paso 4: Normalizar \(\mathbf{u}_2\) (obteniendo \(\mathbf{e}_2\))

3. Conclusión

1. Construcción de la Base Ortogonal \(\{ \mathbf{u}_1, \mathbf{u}_2, \mathbf{u}_3 \}\)

Paso 1: Definir el primer vector ortogonal \(\mathbf{u}_1\)

Paso 2: Calcular el segundo vector ortogonal \(\mathbf{u}_2\)

Paso 3: Calcular el tercer vector ortogonal \(\mathbf{u}_3\)

2. Normalización de la Base Ortogonal \(\{ \mathbf{u}_1, \mathbf{u}_2, \mathbf{u}_3 \}\)

Paso 4: Normalizar \(\mathbf{u}_1\) (obteniendo \(\mathbf{e}_1\))

Paso 5: Normalizar \(\mathbf{u}_2\) (obteniendo \(\mathbf{e}_2\))

Paso 6: Normalizar \(\mathbf{u}_3\) (obteniendo \(\mathbf{e}_3\))

3. Conclusión: Base Ortonormal para \(\mathbb{R}^3\)

La base ortonormal de $\mathbb{R}^3$, \(\mathcal{B} = \{ \mathbf{e}_1, \mathbf{e}_2, \mathbf{e}_3 \}\), es la siguiente. \[ \mathcal{B} = \left\{ \frac{1}{\sqrt{2}} (1, 0, 1), \frac{1}{\sqrt{6}} (1, 2, -1), \frac{1}{\sqrt{3}} (-1, 1, 1) \right\} \]

1. Construcción de la Base Ortogonal \(\{ \mathbf{U}_1, \mathbf{U}_2, \mathbf{U}_3 \}\)

Paso 1: Definir la primera matriz ortogonal \(\mathbf{U}_1\)

Paso 2: Calcular la segunda matriz ortogonal \(\mathbf{U}_2\)

2. Normalización de la Base Ortogonal \(\{ \mathbf{U}_1, \mathbf{U}_2, \mathbf{U}_3 \}\)

Paso 4: Normalizar \(\mathbf{U}_1\) (obteniendo \(\mathbf{E}_1\))

Paso 5: Normalizar \(\mathbf{U}_2\) (obteniendo \(\mathbf{E}_2\))

Paso 6: Normalizar \(\mathbf{U}_3\) (obteniendo \(\mathbf{E}_3\))

3. Conclusión

Paso 2: Ortogonalización y normalización del segundo vector \(e_2(X)\)

Paso 3: Evaluación del tercer vector \(v_3(X) = X + X^2\)

Paso 1: Obtener la traspuesta de la primera matriz $A^T$

Paso 2: Calcular el producto matricial $A^T B$

Paso 3: Calcular la traza del producto

La base ortonormal de $\mathbb{R}^3$, \(\mathcal{B} = \{ \mathbf{e}_1, \mathbf{e}_2, \mathbf{e}_3 \}\), es la siguiente.
\[
\mathcal{B} = \left\{ \frac{1}{\sqrt{2}} (1, 0, 1), \frac{1}{\sqrt{6}} (1, 2, -1), \frac{1}{\sqrt{3}} (-1, 1, 1) \right\}
\]