Recordad que todos los sistemas de ecuaciones los podemos formular mediante una ecuación matricial \[AX=B,\] donde \(A\) es la matriz de coeficientes y \(B\) la matriz de términos independientes. Llamamos matriz ampliada del sistema a la matriz que concatena \(A\) y \(B\), (\(A|B\)).
El teorema de Rouché-Fröbenius nos afirma que existen soluciones para el sistema si y solo si el rango de la matriz de coeficientes es igual al rango de la matriz ampliada.
Así un sistema será:
\[\left\{\begin{array}{l}
\begin{array}{c}
Compatible \\
rang(A)=rang(A|B)
\end{array}\left\{\begin{array}{l}
\begin{array}{c}
Determinado \\
rang(A)=\mbox{Número de incógnitas}
\end{array} \\
\begin{array}{c}
Indeterminado \\
rang(A)<\mbox{Número de incógnitas}
\end{array} \\
\end{array}\right.\\
\begin{array}{c}
Incompatible \\
rang(A)\neq rang(A|B)
\end{array}\\
\end{array}\right.\]
Para resolver un sistema compatible, solo tenemos que encontrar un menor de \(A\) distinto de cero y del mismo orden que el rango de \(A\). Supongamos que \(\bar{A}\) es la submatriz de \(A\) cuyo menor es el que buscamos. Entonces \(A|B\) se puede transformar mediante operaciones elementales por filas en una matriz
\[(A|B)\sim\left(\begin{array}{c}
\bar{A}\,\bar{P}\\
0\end{array}\left|\begin{array}{c}
\bar{B}\\
0\end{array}\right.\right)\]
Donde \(\bar{P}\) son o \(0\) o las columnas de la matriz \(A\) tales que \[rang(A)+\mbox{nºcolumnas}(\bar{P})=\mbox{Número de incógnitas}.\]
De este modo, el sistema tendrá por solución
\[\bar{X}=inv(\bar{A})\cdot (\bar{B}-\bar{P}K),\]
donde \(K\) son las variables, en forma de parámetros, que faltan en el menor de \(\bar{A}\), y tales que \(X^t=(\bar{X}^t K^t)\).
Ejemplo: Determina las ecuaciones paramétricas del hiperplano de \(\mathbb{R}^4\), \(x+2y-z-t=1\).
Como tenemos una ecuación, habrá 3 parámetros. Elijamos un menor de orden 1 distinto de cero y consideremos parámetros el resto de variables: \[x=1-2y+z+t,\]
Luego \[\begin{array}{l} x=-2\lambda +\mu +\eta \\ y=\lambda\\ z=\mu\\t=\eta \end{array}\]
Ejemplo: Determina las ecuaciones paramétricas del plano de \(\mathbb{R}^4\) dado por las ecuaciones implícitas \(x+2y-z-t=1\), \(y+2z=t\).
Si planteamos la matriz ampliada \[\begin{bmatrix} 1&2 &-1 &-1 &1 \\ 0& 1& 2 & -1 & 0 \end{bmatrix}\] vemos que el rango es dos y coincide con el rango de la matriz de coeficientes. Luego es un sistema compatible indeterminado. Solo necesitamos establecer un menor de orden dos distinto de cero; por ejemplo, \[\begin{vmatrix} 1&2 \\ 0& 1 \end{vmatrix}\] De este modo, consideramos parámetros \(z=\lambda\) y \(t=\mu\) y tendremos el sistema: \[\begin{align*} x+2y&=1+\lambda+\mu \\ y&=-2\lambda+\mu \end{align*}\]
Las ecuaciones paramétricas que buscamos son:\[\begin{align*} x&=1+5\lambda-\mu \\ y&=-2\lambda+\mu\\ z&=\lambda\\ t&=\mu \end{align*}\]
Ejemplo: Verificar si [1,1,1,-1,1] pertenece al subespacio director de la variedad \[\{(x,y,z,t,u)\in\mathbb{R}^5;\ x-2=y+3=z-1=t+2u\}\]
Ejemplo: Determinar las ecuaciones paramétricas del \(\mathbf{Ker} f\) de la aplicación lineal dada por \[f(x,y,z,t)=(2y+2x+t,2y-3x+z)\]
Utilizar las ecuaciones implícitas nos sirve para encontrar con más facilidad la intersección de dos subespacios: \(S\cap T\) estará formado por las ecuaciones implícitas de \(S\) más la de \(T\).
Ejemplo: Sean las variedades afines \[\begin{align*}r_1&:\{(x,y,z,t)\in\mathbb{R}^4;\ x+y=0,\ y+2z=1,\ z+3t=1\}\\ r_2&:\{(x,y,z,t)\in\mathbb{R}^4;\ \frac{x-1}{-5}=y+1=z-1=t\}\end{align*}\] ¿\(r_1\cap r_2\)?
Para considerar las ecuaciones que definen la intersección, debemos tener las ecuaciones implícitas de \(r_2\), que está dada en forma continua. Estas ecuaciones las tendremos considerando un lado de la igualdad fijo e igualándolo al resto; es decir, \[\begin{multline*}r_2:\{(x,y,z,t)\in\mathbb{R}^4;\ \frac{x-1}{-5}=y+1=z-1=t\}=\\ \{(x,y,z,t)\in\mathbb{R}^4;\ \frac{x-2}{-5}=t,\ y+1=t,\ z-1=t\}\end{multline*}\]
Ahora vemos que \(r_1\cap r_2\) vendrá dada por el sistema que forman todas las ecuaciones conjuntas; es decir, \((x,y,z,t)\in r_1\cap r_2\) si \[\begin{align*} x+y&=0\\ y+2z&=1\\ z+3t&=1\\ x+5t&=1\\ y-t&=-1\\ z-t&=1\end{align*}\]
Este sistema tendrá solución si el rango de la matriz ampliada coincide con la matriz de coeficientes:
\[\mathbf{rank}\begin{bmatrix}1 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 2 & 0 \\
0 & 0 & 1 & 3 \\
1 & 0 & 0 & 5 \\
0 & 1 & 0 & -1 \\
0 & 0 & 1 & -1 \end{bmatrix}=\mathbf{rank}\begin{bmatrix}1 & 1 & 0 & 0 & 0\\
0 & 1 & 2 & 0 & 1\\
0 & 0 & 1 & 3 & 1\\
1 & 0 & 0 & 5 & 1\\
0 & 1 & 0 & -1 & -1\\
0 & 0 & 1 & -1 & 1\end{bmatrix}=4\]
Luego, la solución será única y vendrá dada por el sistema formado por cuatro ecuaciones linealmente independientes; por ejemplo, las cuatro primeras, ya que el determinante de esta submatriz de coeficientes es distinto de cero. Elegidas estas cuatro ecuaciones, la solución será:
\[\begin{bmatrix}x\\
y\\
z\\
t\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1 & 1 & 0 & 0\\
0 & 1 & 2 & 0\\
0 & 0 & 1 & 3\\
1 & 0 & 0 & 5\end{bmatrix}^{-1}\begin{bmatrix}0\\
1\\
1\\
1\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}-5 & 5 & -10 & 6\\
6 & -5 & 10 & -6\\
-3 & 3 & -5 & 3\\
1 & -1 & 2 & -1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}0\\
1\\
1\\
1\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1\\
-1\\
1\\
0\end{bmatrix}\]
Ejemplo: Sean las variedades afines \[\begin{align*}r_1&:\{(x,y,z,t)\in\mathbb{R}^4;\ x-2y+z-t=4,\ 2x-3y+2z-3t=-1\}\\ r_2&:\{(x,y,z,t)\in\mathbb{R}^4;\ 3x-5y+3z-4t=3,\ -x+y-z+2t=5\}\end{align*}\] ¿\(r_1\cap r_2\)?
La intersección, \(r_1\cap r_2\), vendrá dada por el sistema que forman todas las ecuaciones conjuntas; es decir, \((x,y,z,t)\in r_1\cap r_2\) si \[\begin{align*} x-2y+z-t&=4\\ 2x-3y+2z-3t&=-1 \\ 3x-5y+3z-4t&=3\\ -x+y-z+2t&=5\end{align*}\]
Y tendrá solución si
\[\mathbf{rank}\begin{bmatrix}1 & -2 & 1 & -1\\
2 & -3 & 2 & -3\\
3 & -5 & 3 & -4\\
-1 & 1 & -1 & 2\end{bmatrix}\overset{?}{=}\mathbf{rank}\begin{bmatrix}1 & -2 & 1 & -1 & 4\\
2 & -3 & 2 & -3 & -1\\
3 & -5 & 3 & -4 & 3\\
-1 & 1 & -1 & 2 & 5\end{bmatrix}\]
Como ambos rangos coinciden, tiene solución. Esta se consigue cogiendo un menor de orden igual al rango distinto de cero y considerando el resto de variables como parámetros.
Como se observa, el menor \[\begin{vmatrix}1 & -2 \\
0 & 1 \end{vmatrix}=1\] es distinto de cero, y nos plantea el sistema con parámetro \(z=\lambda\) y \(t=\mu\),
\[\begin{bmatrix}1 & -2\\
0 & 1
\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x\\
y\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}4\\
-9\end{bmatrix}-\begin{bmatrix}1&-1\\
0&-1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}\lambda\\
\mu\end{bmatrix}\]
Lo que implica que
\[\begin{bmatrix}x\\
y\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1 & -2\\
0 & 1
\end{bmatrix}^{-1}\begin{bmatrix}4-\lambda+\mu\\
-9+\mu\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1 & 2\\0 & 1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix}4-\lambda+\mu\\
-9+\mu\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}-14-\lambda+3\mu\\
-9+\mu\end{bmatrix}\]
Las ecuaciones paramétricas son \[\begin{align*}x=&-14-\lambda+3\mu\\
y=&-9+\mu\\ z=&\lambda \\ t=&\mu\end{align*}\]
Ejemplo: Sean las variedades afines \[\begin{align*}r_1&:\{(x,y,z,t)\in\mathbb{R}^4;\ x-2y+z-t=4,\ 2x-3y+2z-3t=-1\}\\ r_2&:\{(x,y,z,t)\in\mathbb{R}^4;\ 3x-5y+3z+4t=3,\ -x+y-z+2t=5\}\end{align*}\] ¿\(r_1\cap r_2\)?
Ejercicio: Dados los vectores normales de las ecuaciones implícitas de la imagen de la aplicación lineal \(f:\mathbb{R}^3\to M_2(\mathbb{R})\) dada por \[f(x,y,z)=\begin{bmatrix} x-y& y-z\\ z-x& x-y\end{bmatrix},\] ¿cuál de los siguientes vectores pertenece al subespacio generado por ellos?
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