El plano \(\mathbb{R}^2\)
En álgebra lineal, un espacio vectorial (o también llamado espacio lineal) es una estructura algebraica creada a partir de un conjunto no vacío, una operación interna (llamada suma, definida para los elementos del conjunto) y una operación externa (llamada producto por un escalar, definida entre dicho conjunto y otro conjunto, con estructura de cuerpo) que satisface 8 propiedades fundamentales.
A los elementos de un espacio vectorial se les llama vectores y a los elementos del cuerpo se les conoce como escalares.
Nosotros trabajaremos con el plano, \(\mathbb{R}^2=\{(x,y)|x,y\in\mathbb{R}\}\), y el espacio euclídeo, \(\mathbb{R}^3=\{(x,y,z)|x,y,z\in\mathbb{R}\}\). En el plano podemos definir \[(x_1,x_2)+(y_1,y_2)=(x_1+y_1,x_2+y_2),\quad \forall(x_1,x_2),(y_1,y_2)\in\mathbb{R}^2\] y \[\lambda\cdot(x_1,x_2)=(\lambda x_1,\lambda x_2)\in\mathbb{R}^2,\quad \forall \lambda\in\mathbb{R},(x_1,x_2)\in\mathbb{R}^2.\]
Para abreviar la notación, se suele poner \(\mathbf{x}=(x_1,x_2)\in\mathbb{R}^2\).
Como sabemos, esta definición es extensible a tres o más dimensiones.
\(\mathbb{R}^2\) es un \(\mathbb{R}\)-e.v.f.g. y \(B=\{\vec{e}_1=(1,0),\vec{e}_2=(0,1)\}\) es su base canónica. En \(\mathbb{R}^2\) solo podemos encontrar un tipo de subespacio vectorial:
Si \(S\subset\mathbb{R}^2\) es un subespacio vectorial, entonces existe un vector \(\vec{v}=(v_1,v_2)\in \mathbb{R}^2\) tal que \[S=\mbox{Gen}\{\vec{v}\}=\{\lambda(v_1,v_2):\lambda\in \mathbb{R}\}\]
De este modo, cualquier \(\vec{x}=(x_1,x_2)\in S\subset\mathbb{R}^2\) cumplirá \[\begin{align*}x_1&=\lambda v_1\\ x_2&=\lambda v_2 \end{align*}\]
A estas ecuaciones se les denomina ecuaciones paramétricas de la recta en el plano.
Ejemplo: Sean los vectores \(\vec{u}=(-1,-1)\), \(\vec{v}=(-2,-1)\), ¿generan el mismo subespacio vectorial?
Ejemplo: Determina las ecuaciones paramétricas del subespacio \(U=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2;\ x+y=0\}\)
Ejemplo: Determina una base dada por un vector unitario de subespacio \(U=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2;\ x-2y=0\}\)
El espacio \(\mathbb{R}^3\)
\(\mathbb{R}^3\) es un \(\mathbb{R}\)-e.v.f.g. y \(B=\{\vec{e}_1=(1,0,0),\vec{e}_2=(0,1,0),\vec{e}_3=(0,0,1)\}\) es su base canónica. En \(\mathbb{R}^3\) podemos encontrarnos con dos tipos de subespacios: las rectas y los planos.
Si \(S\subset\mathbb{R}^2\) es un subespacio vectorial de dimensión uno, entonces existe un vector \(\vec{v}=(v_1,v_2,v_3)\in \mathbb{R}^3\) tal que \[S=\mbox{Gen}\{\vec{v}\}=\{\lambda(v_1,v_2,v_3):\lambda\in \mathbb{R}\}\] y sus ecuaciones paramétricas son:\[\begin{align*}x_1&=\lambda v_1\\ x_2&=\lambda v_2\\ x_3&=\lambda v_3 \end{align*}\]
Ejercicio: Determinar el vector director unitario que deducimos de las ecuaciones paramétricas del subespacio vectorial \(r:\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3;2x-y=0,\, 3x-z=0\}\)
Los planos de \(\mathbb{R}^3\) los constituirán los subespacios:
\(S\subset\mathbb{R}^2\) tal que \[S=\mbox{Gen}\{\vec{v},\vec{u}\}=\{\lambda(v_1,v_2,v_3)+\mu(u_1,u_2,u_3):\lambda,\mu\in \mathbb{R}\}\] y sus ecuaciones paramétricas son:\[\begin{align*}x_1&=\lambda v_1+\mu u_1\\ x_2&=\lambda v_2+\mu u_2\\ x_3&=\lambda v_3+\mu u_3 \end{align*}\]
El plano y el espacio afin
Intentamos definir un espacio donde podamos fijar los vectores de \(\mathbb{R}^2\) o \(\mathbb{R}^3\) de forma que en vez de vectores libres tengamos vectores fijos. Eso se conseguirá en el espacio afín.
Podemos definir el plano afín \(\mathbb{R}^2\) como el conjunto \(\mathbb{R}^2\), considerado como puntos en el plano cartesiano, y el conjunto \(\mathbb{R}^2\), como \(\mathbb{R}\)-espacio vectorial, más una aplicación especial \(\phi\). Para notar los elementos de \(\mathbb{R}^2\), considerados como puntos en el plano cartesiano, escribimos \(P=(x,y)\in\mathbb{R}^2\), y les denominamos puntos del plano. Para notar los elementos del espacio vectorial \(\mathbb{R}^2\) escribimos como habitualmente hacemos, \(\vec{v}=(v_1,v_2)\in\mathbb{R}^2\), y les denominamos vectores del plano. La aplicación \(\phi\) irá del producto cartesiano \(\mathbb{R}^2\times\mathbb{R}^2\) de los puntos en el espacio vectorial \(\mathbb{R}^2\); es decir, relacionará dos puntos con un vector.
Con estos dos conjuntos, la aplicación \(\phi\) debe verificar:
- \(\phi(P,Q)+\phi(Q,R)=\phi(P,R)\) para todo \(P,Q,R\in\mathbb{R}^2\)
- Dado cualquier punto \(P\in\mathbb{R}^2\), y cualquier vector \(\vec{v}\in\mathbb{R}^2\), existe un único punto \(Q\in\mathbb{R}^2\) tal que \(\phi(P,Q)=\vec{v}\).
Estas propiedades nos definen a \(\mathbb{R}^2\) como un espacio afín sobre el espacio vectorial \(\mathbb{R}^2\), que denominamos el plano afín.
Esta definición podemos trasladarla sin problemas al \(\mathbb{R}^3\) definiendo el espacio afín.
Recta afin en \(\mathbb{R}^2\)
Con esta definición podemos abordar las variedades afines dadas por la recta en el plano afín, y la recta y el plano en el espacio afín.
Así veremos que las ecuaciones paramétricas de una recta en el plano afín que pasa por un punto \(P(p_1,p_2)\) y que tiene por subespacio director el generado por el vector \(\vec{v}=(v_1,v_2)\), vendrá dada de la forma: \[r=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2;(x,y)=(p_1,p_2)+\lambda(v_1,v_2),\lambda\in\mathbb{R}\}\]
Ejercicio: Probar que la ecuación de la recta del plano, \(\mathbb{R}^2\), que pasa por los puntos \(A(a_1,a_2)\) y \(B(b_1,b_2)\), viene dada por la ecuación \[\begin{vmatrix}1 & x & y\\ 1 & a_1 & a_2 \\ 1 & b_1 & b_2 \end{vmatrix}=0\]
Ejemplo: ¿Cuánto suman los coeficientes que multiplican a \(x\) e \(y\) en la ecuación implícita de la recta del plano afín que pasa por los puntos P(4,1) y Q(7,-4)?
Ejemplo: Determinar si los puntos P(4,1), Q(3,-4) y R(2,-1) son colineales.
Recta afín en \(\mathbb{R}^3\)
Trasladar lo anterior al espacio afín resulta sencillo. Una recta en el espacio afín que pasa por un punto \(P(p_1,p_2,p_3)\) y que tiene por subespacio director el generado por el vector \(\vec{v}=(v_1,v_2,v_3)\), vendrá dada de la forma: \[r=\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3;(x,y,z)=(p_1,p_2,p_3)+\lambda(v_1,v_2,v_3),\lambda\in\mathbb{R}\}\]
Ejercicio: Determinar el vector director unitario que deducimos de las ecuaciones paramétricas del subespacio vectorial \(r:\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3;x=1-2y+3z,\, y=2+2z\}\)
Ejemplo: Determinar las ecuaciones paramétricas de la recta que pasa por los puntos P(4,1,2) y Q(3,-4,0)
Ejemplo: Determinar las ecuaciones implícitas de la recta que pasa por los puntos P(4,1,2) y Q(3,-4,0)
Plano afín en \(\mathbb{R}^3\)
Si lo que deseamos es determinar un plano afín, necesitamos un punto y un subespacio director formado por dos vectores. \[\pi=\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3;(x,y,z)=(p_1,p_2,p_3)+\lambda(v_1,v_2,v_3)+\mu(u_1,u_2,u_3),\lambda,\mu\in\mathbb{R}\}\]
Sus ecuaciones paramétricas serán \[\begin{align*}x_1&=p_1+\lambda v_1+\mu u_1\\ x_2&=p_2+\lambda v_2+\mu u_2\\ x_3&=p_3+\lambda v_3+\mu u_3 \end{align*}\]
Ejemplo: Determina las ecuaciones paramétricas del plano que pasa por el punto \(P(1,0,1)\) y tiene por vectores directores \(\vec{u}=(-1,-1,0)\), \(\vec{v}=(-2,0,-1)\)
También podemos utilizar el resultado que nos dice que la ecuación implícita del plano en el espacio afín que pasa por un punto \(P(p_1,p_2,p_3)\) y que tiene por subespacio director el generado por los vectores \(\vec{v}=(v_1,v_2,v_3)\) y \(\vec{u}=(u_1,u_2,u_3)\), vendrá determinado por el determinante \[\begin{vmatrix} x-p_1 & y-p_2 & z-p_3\\ v_1 & v_2 & v_3 \\ u_1 & u_2 & u_3 \end{vmatrix}=0\]
Ejemplo: Determinar la ecuación implícita del plano que pasa por el punto P(4,1,2) y tiene por vectores directores \(\vec{v}(1,5,3)\) y \(\vec{u}(3,-2,1)\)
Ejemplo: Sea S(\(x\),4,-3), ¿existe algún valor de \(x\) que hace a S coplanario con P(0,-2,1), Q(1,-2,-3) y R(1,-3,1)?
Ejemplo: Determina las ecuaciones paramétricas del plano que verifica que los puntos \(P(1,0,1)\), \(Q(-1,2,1)\) y \(R(1,2,-1)\). El punto \(S(-1,3,2)\) es coplanario con los tres puntos anteriores.
Ejemplo: Determina un vector en la dirección del subespacio \(U=\mbox{Gen}\{(2,0,1)\}\) de longitud 6.
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Ejercicio: ¿Sea la aplicación lineal \(f:\mathbb{R}^3\to\mathcal{M}_2(\mathbb{R})\) dada por \[f(x,y,z)= |
La solución se mostrará más adelante.
Dados estos dos puntos la recta vendrá dada por uno de ellos, por ejemplo P, y el vector director obtenido de la resta de ambos, \(\overrightarrow{PQ}\)