Ecuación de congruencias Recordemos, para resolver la ecuación \(aX\equiv b {\pmod {n}}\), \((aX \equiv b (n))\), cuando \(\mathbf{mcd}(a,n)=1\), utilizamos bien solución de Bézout, bien la función \(\varphi\) de Euler. Ejemplo: Resolver la…
MAD: Anexo a la Teoría de números
Para terminar la Unidad de Teoría de Números abordaremos dos problemas: Test de primalidad y los sistemas de congruencias. Test de Primalidad El segundo problema de los que añadimos como apéndice a…
MAD: Ecuación diofántica
Ecuación diofántica Observemos que \[aX\equiv b \pmod{n}\Leftrightarrow aX-b=kn,\] para algún \(k\in\mathbb{Z}\). Es decir, las soluciones de \(aX\equiv b \pmod{n}\), están relacionadas con las soluciones de la ecuación lineal \[ax+ny=b.\] Esta última ecuación…
MAD: Congruencias con maxima
Restos potenciales Veamos el siguiente ejercicio: Ejemplo: Dado \(n=71\cdots 71\), donde la pareja 71 se repite 10 veces, ¿cuál es su resto al dividirlo por 17? Solución: El número en cuestión es…
MAD: Números primos y congruencias
En la clase de hoy trataremos los números primos. Llamaremos número primo a todo número entero \(p\in\mathbb{Z}\), \(p>1\), que no tiene divisores más que el 1 y el mismo. El siguiente resultado…
MAD: El mcd con maxima
El pasado día vimos que el algoritmo de Euclides se fundamenta en el teorema: Teorema: Si \(a\) y \(b\) son números enteros, \[\mathbf{mcd}(a,b)=\mathbf{mcd}(b,r),\] donde \(r\) es el resto del algoritmo de la…
MAD: Máximo común divisor y Ecuación diofántica de 2 variables
Máximo común divisor Consideremos dos números enteros Si \(a\) y \(b\) distintos de cero, decimos que \(c\) es un divisor común de \(a\) y \(b\) si \(c|a\) y \(c|b\). Cuando existen, únicamente,…
El algoritmo de la división con maxima
1. El algoritmo de la división Dados dos números enteros \(a\) y \(b\), con \(a\) no nulo, la división euclídea asocia un cociente \(q\in\mathbb{Z}\) y un resto \(r\in\mathbb{Z}\), únicos, que verifican: \[b=q\,a+r,\quad…
MAD: Divisibilidad y Algoritmo de la división
Divisibilidad El concepto de divisibilidad es uno de los más importantes que veremos en Teoría de números. Con él pretendemos dar una sustitución de la división que no siempre es posible en…
MAD: Presentación
En la presentación del día de hoy hemos visto Presentación Objetivos de la asignatura Metodología y Evaluación Bibliografía Objetivos, Metodología y Evaluación El contenido de la asignatura está centrado en tres bloques:…