La integral definida surge de la necesidad de calcular un área mediante el límite de una suma infinita de rectángulos en los que se divide el área buscada. Esta idea, la formalizó Bernhard Riemann dando la primera definición rigurosa de la integral de una función en un intervalo. A esta forma de definirla se le denomina integración de Riemann, haciendo uso de las sumas de Riemann.
Aplicando la sumas de Riemann, diremos
Si \(f\) es una función continua definida en \(a\leq x \leq b\), dividimos el intervalo \([a, b]\) en \(n\) subintervalos de igual ancho \(\Delta x=(b-a)/n\). Sean \(x_0(=a)\), \(x_1\), \(x_2\),…, \(x_n(=b)\), los puntos extremos de estos subintervalos y sean \(x_1^*\), \(x_2^*\),…, \(x_n^*\) los puntos muestra en estos subintervalos, de modo que \(x_i^*\) se encuentre en el i-ésimo subintervalo \([x_{i-1} , x_i ]\). Entonces la integral definida de \(f\), desde \(a\) hasta \(b\), es
\[\int_a^bf(x)\ dx=\lim_{n\to\infty}f(x_i^*)\Delta x\]
siempre que este límite exista y dé el mismo valor para todos las posibles elecciones de los puntos muestra. Si existe, decimos que \(f\) es integrable sobre [a, b].
Esta definición da pie a definir la función integral:
Si \(f\) es continua sobre [a, b], entonces la función \(g\) definida por
\[g(x)=\int_a^xf(x)\ dx,\quad a\leq x\leq b \]
es continua sobre [a, b] y derivable sobre (a, b), y \(g'(x)=f(x)\).
Nosotros evaluaremos esta integral utilizando el Teorema fundamental del Cálculo:
Si \(f\) es continua sobre [a, b], entonces
\[\int_a^bf(x)\ dx=F(b)-F(a)\]
donde \(F\) es una primitiva de f.
Ejemplo: \({\displaystyle \int _{0}^{1}{\sqrt {x}}\,dx}\)
Ejemplo: \(\int_{2}^{5}\!e^{-x}\, dx\)
Ejemplo: ¿Cuál es el área de la región entre la curva \(y=x^2-x\) y el eje x desde 0 a 2?
Esta definición nos permite el cálculo de áreas encerradas entre dos curvas. Si las funciones \(f(x)\) y \(g(x)\), cumplen que \(g(x)\leq f(x)\), para todo \(x\in[a,b]\), entonces, el área encerrada entre las dos curvas es \[A=\int_a^b[f(x)-g(x)]\ dx.\]
Ejemplo: ¿Cuál es el área de la región comprendida entre las curvas \(y=x^2-x\) y \(y=x\)
En el caso de que alternen deberemos ver los puntos donde \(g(x)\leq f(x)\) o \(f(x)\leq g(x)\) para fraccionar el área de modo que podamos aplicar la fórmula anterior.
Ejemplo: ¿Cuál es el área de la región comprendida entre las curvas \(y=x^2-x\) y \(y=\sqrt{x}\)
Bibliografía
- Capítulo 5 del libro Cálculo de una variable, de James Stewart.
|
Ejercicio: ¿Cuál es el valor de \(\int_0^{\frac{\pi}{4}}e^{\cos x}\sin x\, dx\)? |