MathBio: Aproximación numérica para integrales dobles y triples con máxima
Posted on 25 de noviembre de 2025
Aproximación numérica para Integrales Dobles
Regla del Punto Medio (Rectángulo) para Integrales Dobles
Supongamos que tenemos una función escalar \( f(x, y) \) definida y continua en un rectángulo \( R = [a, b] \times [c, d] \). El teorema del punto medio nos permite aproximar la integral doble de \( f\) sobre \( R \) mediante:
Así, la Regla del Punto Medio (o del Rectángulo), consiste en dividir la región de integración \( R \) en una cuadrícula(tambien llamada malla) de \( m \times n \) subrectángulos \( R_{ij} \). Para cada subrectángulo, aproximamos el valor de la función \( f(x, y) \) por su valor en el punto medio de dicho subrectángulo, y multiplicamos este valor por el área del subrectángulo.
Sea \( \Delta x = \frac{b-a}{m} \) y \( \Delta y = \frac{d-c}{n} \). El área de cada subrectángulo es \(\Delta A = \Delta x \Delta y \). Si \(\bar{x}_{i}, \bar{y}_{j}\) es el punto medio del subrectángulo \( R_{ij} \), la integral doble se aproxima por:
Geométricamente, estamos aproximando el volumen bajo la superficie \( z = f(x, y) \) mediante una suma de volúmenes de prismas rectangulares.
Supongamos que la concentración de una sustancia en un tejido está dada por:
\[
f(x, y) = x^2 + y^2
\]
Y queremos estimar la cantidad total de sustancia en el rectángulo \( R = [0, 2] \times [1, 3] \).
1. Punto medio: en este caso calculemos un solo punto medio,
\[
x_m = \frac{0 + 2}{2} = 1, \quad y_m = \frac{1 + 3}{2} = 2
\]
2. Evaluamos la función en el punto medio:
\[
f(1, 2) = 1^2 + 2^2 = 1 + 4 = 5
\]
3. Área del rectángulo:
\[
(b – a)(d – c) = (2 – 0)(3 – 1) = 2 \cdot 2 = 4
\]
4. Aproximación de la integral:
\[
\iint_R f(x, y) \, dx,dy \approx 5 \cdot 4 = 20
\]
Observar que hemos elegido solo un punto medio en \(R = [0, 2] \times [1, 3] \), pero podíamos haber elegido fraccionar el rectángulo en varios rectángulos. Por ejemplo, \(R = ([0, 1] \times [1, 2]) \cup ([1, 2] \times [2, 3]) \). Ahora
1. Puntos medios:
\[
\begin{align*}
x_{m_1} &= \frac{0 + 1}{2} = \frac{1}{2}, &y_{m_1} = \frac{1 + 2}{2} = \frac{3}{2}\\
x_{m_2} &= \frac{1 + 2}{2} = \frac{3}{2}, &y_{m_2} = \frac{2 + 3}{2} = \frac{5}{2}
\end{align*}
\]
Esto nos proporciona los puntos medios:
\[
\begin{align*}
P_{11} &= \left(\tfrac{1}{2},\tfrac{3}{2}\right) &P_{12} = \left(\tfrac{1}{2},\tfrac{5}{2}\right)\\
P_{21} &= \left(\tfrac{3}{2},\tfrac{3}{2}\right) &P_{22} = \left(\tfrac{3}{2},\tfrac{5}{2}\right)
\end{align*}
\]
2. Evaluamos la función en los puntos medios:
\[
f\left(\tfrac{1}{2}, \tfrac{3}{2}\right) = \frac{5}{2},\quad
f\left(\tfrac{1}{2}, \tfrac{5}{2}\right) = \frac{13}{2},\quad
f\left(\tfrac{3}{2}, \tfrac{3}{2}\right) = \frac{9}{2},\quad
f\left(\tfrac{3}{2}, \tfrac{4}{2}\right) = \frac{17}{2}
\]
3. Área del rectángulo: En este caso el de uno de ellos
\[
(b_1 – a_1)(d_1 – c_1) = (1 – 0)(2 – 1) = 1
\]
Por tanto, \( \Delta A = 1 \).
4. Aproximación de la integral:
\[
\iint_R f(x, y) \, dx,dy \approx \left(\frac{5}{2}+\frac{13}{2}+\frac{9}{2}+\frac{17}{2}\right) \cdot 1 = 22
\]
Observar que el cálculo real es
\[
\iint_R f(x, y) \, dx,dy \approx 22.\overline{6}
\]
Ejercicio: Realizar el ejercicio anterior con una malla de dada por \(x_{i}\in\{0,0.5,1,1.5,2\}\) y \(y_{i}\in\{1,1.5,2,2.5,3\}\)
Recordemos que construimos la malla de la región de integración \( R \) de \( m \times n \) subrectángulos \( R_{ij} \), de modo que, \( \Delta x = \frac{b-a}{m} \) y \( \Delta y = \frac{d-c}{n} \).
Ejercicio: Aproxime la integral \( I = \iint_{R} (x+y) \, dA \) sobre \( R = [0, 2] \times [0, 4] \) usando la Regla del Punto Medio con \( m=2 \) y \( n=2 \).
Nos indican que debemos realizar una malla de 2×2.
Ejercicio: Se sabe que la concentración de glucosa en una placa está dada por \(f(x,y) = 2 + 0.3x + 0.1y\). Estime la concentración en la región \([0,4]\times[0,6]\), usando una malla de 2×3.
La Regla del Trapecio para una variable aproxima el área bajo la curva usando trapecios. Su extensión a dos variables es una suma ponderada de los valores de la función en los nodos de la cuadrícula (las esquinas de los subrectángulos).
Se divide la región \( R \) en \( m \times n \) subrectángulos. Veamos cómo lo hacemos: Para \(R = [a,b]\times [c,d]\), dividimos el rectángulo en una malla de \(m\) divisiones en \(x\) y \(n\) divisiones en \(y\):
Longitudes de paso: \[d_x = \frac{b-a}{m}, \quad d_y = \frac{d-c}{n}\]
Puntos de la malla: \[x_i = a + i d_x, \quad y_j = c + j d_y\]
Evaluamos la función en cada punto: \(f(x_i, y_j)\).
Terminamos computando
\[
\iint_R f(x,y),dA \approx \frac{d_x d_y}{4} \Bigg[\sum_{i=0}^{m} \sum_{j=0}^{n} w_{ij} f(x_i, y_j)\Bigg]
\]
donde los pesos \(w_{ij}\) dependen de la posición del punto:
Los puntos en las cuatro esquinas de la región \( R \) se multiplican por un peso de 1.
Los puntos interiores se multiplican por 4.
Los puntos en los bordes (pero no en las esquinas) se multiplican por 2.
En un cultivo celular en una placa, la densidad celular depende de la posición:
\[f(x,y)=5000+100\sin(x)+50\cos(y)\]
Estimar el número total de células en la región [0,2]×[0,2], considerando una sola celda.
Este es el caso más sencillo, pues solo necesitamos ver que para una sola celda
f00 ┌───────┐ f10
│ │
│ R │
│ │
f01 └───────┘ f11
\[
I_{ij} \approx \frac{f_{00}+f_{10}+f_{01}+f_{11}}{4}\, \Delta x \Delta y
\]
Ejercicio: Una placa de Petri rectangular, denotada como $R$, se utiliza para cultivar una colonia de microorganismos. La región rectangular está definida por los límites \( 0 \le x \le 4 \)cm y \( 0 \le y \le 2 \)cm.
La densidad de población de la colonia bacteriana en cualquier punto \((x, y)\) de la placa está modelada por la función:
\[
\rho(x, y) = 1 + x^2 y
\]
donde \(\rho\) se mide en millones de células por centímetro cuadrado.
Aproximar la población total \(P\) de la colonia bacteriana presente en toda la placa de Petri.
Nota: Para calcular la población total \( P \), debemos integrar la función de densidad \(\rho(x, y)\) sobre la región \( R \). Aproximese con una malla de 4×2.
Necesitamos resolver la integral
\[
P = \int_0^4 \int_0^2 (1 + x^2 y) \, dy \, dx
\]
La población total de la colonia bacteriana en la placa de Petri es aproximadamente a \( 52 \) millones de células.
Regla del Simpson (2D)
La Regla de Simpson mejora la precisión de las reglas anteriores al aproximar la función \( f(x, y) \) por polinomios de segundo grado (cuádricas) en lugar de constantes (Punto Medio) o planos (Trapecio). Requiere que el número de subintervalos en ambas direcciones (\( m \) y \( n \)) sea par.
Para aproximar:
\[
I = \int_a^b \int_c^d f(x,y), dy, dx
\]
sobre el rectángulo \( [a,b]\times[c,d] \), dividimos ambos intervalos en número par de subintervalos (por ejemplo, \(m\) en \(x\) y \(n\) en \(y\)).
Paso en \(x\): \( d_x = \dfrac{b-a}{m} \)
Paso en \(y\): \( d_y = \dfrac{d-c}{n} \)
Los puntos son \( x_i = a + i d_x \) y \( y_j = c + j d_y \).
De este modo:
\[
I \approx \frac{d_x d_y}{9} \sum_{i=0}^{m} \sum_{j=0}^{n} w_{ij} f(x_i, y_j)
\]
donde los pesos \(w_{ij}\) siguen este patrón:
Las esquinas tienen peso 1
Los bordes impares tienen peso 4
Los bordes pares tienen peso 2
Los nodos interiores impares tienen peso 16
Los nodos interiores pares tienen peso 8
En un estudio de transferencia de calor en un tejido biológico, la distribución de temperatura ( T(x,y) ) en una región rectangular se modela mediante la función:
\[
T(x,y) = 20 + 2x^2 + 3y^2
\]
donde:
\( x \) representa la posición horizontal en centímetros,
\( y \) representa la posición vertical en centímetros,
\( T(x,y) \) está en grados Celsius.
Se desea calcular la energía térmica aproximada en la región rectangular:
\[
0 \le x \le 2 \text{ cm}, \quad 0 \le y \le 1 \text{ cm}
\]
suponiendo que la densidad y el calor específico son constantes e iguales a 1 (para simplificar, la energía será proporcional al área bajo la función).
Necesitamos calcular
\[
I = \int_{0}^{2} \int_{0}^{1} T(x,y), dy, dx
\]
y para ello, utilizaremos la regla de Simpson con \( m = 2 \) subdivisiones en \( x \) y \( n = 2 \) subdivisiones en \( y \).
Primero determinamos
\[
d_x = \frac{2-0}{2} = 1, \quad d_y = \frac{1-0}{2} = 0.5
\]
para calcular los puntos:
\[
x = {0, 1, 2}, \quad y = {0, 0.5, 1}
\]
A continuación vemos los valores de la función y el patrón de pesos.
\[
\begin{array}{|c|c|c|}
\hline
x & y & T(x,y) \\
\hline
0 & 0 & 20 \\
0 & 0.5 & 20.75 \\
0 & 1 & 23 \\
1 & 0 & 22 \\
1 & 0.5 & 22.75 \\
1 & 1 & 25 \\
2 & 0 & 28 \\
2 & 0.5 & 28.75 \\
2 & 1 & 31 \\
\hline
\end{array}
\]
que se disponen como
El patrón de pesos nos lo proporciona una matriz de 3×3:
\[
\begin{bmatrix}
1 & 4 & 1 \\
4 & 16 & 4 \\
1 & 4 & 1
\end{bmatrix}
\]
Una manera sencilla de aplicar los pesos multiplicar, elemento a elemento, esta matriz con la matriz de los valores:
\[
\begin{bmatrix}
f(0,0)&f(0,0.5)&f(0,1)\\
f(1,0)&f(1,0.5)&f(1,1)\\
f(2,0)&f(2,0.5)&f(2,1)
\end{bmatrix}=
\begin{bmatrix}
20 & 20.75 & 23 \\
22 & 22.75 & 25 \\
28 & 28.75 & 31
\end{bmatrix}
\]
Multiplicando elemento a elemento:
\[
\begin{bmatrix}
20 & 20.75 & 23 \\
22 & 22.75 & 25 \\
28 & 28.75 & 31
\end{bmatrix}*
\begin{bmatrix}
1 & 4 & 1 \\
4 & 16 & 4 \\
1 & 4 & 1
\end{bmatrix}=
\begin{bmatrix}20 & 83.0 & 23\\
88 & 364.0 & 150\\
28 & 115.0 & 31\end{bmatrix}\]
Ahora sumamos todos los elementos de esta matriz
\[
\text{Suma} = 20 + 83 + 23 + 88 + 364 + 100 + 28 + 115 + 31 = 852
\]
Por último, aplicamos la fórmula
\[
I \approx \frac{d_x d_y}{9} \cdot \text{Suma} = \frac{(1)(0.5)}{9} \cdot 852 = \frac{426}{9} \approx 47.33
\]
Ejercicio: En un cultivo bacteriano bidimensional, la densidad de población de bacterias E. coli en una placa de Petri rectangular viene dada por la función:
\[
f(x,y) = 100 e^{-0.1(x^2 + y^2)}
\]
donde \(x\) e \(y\) se miden en centímetros desde el centro de la placa, y \(f(x,y)\) representa el número de bacterias por cm² en el punto \((x,y)\).
Se desea calcular el número total de bacterias en la región rectangular \(R = [0, 2] \times [0, 2]\) utilizando el método de Simpson compuesto 1/3 con \(n = 2\) subintervalos en cada dirección.
El número total estimado de bacterias en la región rectangular de \(2 \times 2\) \(cm^2\) es aproximadamente 311 bacterias.
Este resultado tiene sentido biológico ya que la densidad es máxima en el centro de la placa (100 bacterias/\(cm^2\)) y disminuye exponencialmente hacia los bordes debido al factor \(e^{-0.1(x^2+y^2)}\), simulando condiciones de crecimiento óptimas en el centro y limitación de nutrientes en la periferia.
El método de Simpson proporciona una excelente aproximación para funciones suaves como la distribución exponencial. Para mayor precisión, se podría aumentar el número de subintervalos (por ejemplo, \(n = 4\) o \(n = 6\)), lo que reduciría el error de aproximación.
Ejercicio: En un estudio de difusión de oxígeno en un tejido muscular, la concentración de oxígeno (en mmol/L) en una sección rectangular del tejido viene dada por la función:
donde \(x\) e \(y\) se miden en milímetros. Se desea calcular la cantidad total de oxígeno en la región rectangular \(R = [0, 1] \times [0, 1]\) utilizando el método de Simpson compuesto 1/3 con \(n = 4\) subintervalos en cada dirección.
La cantidad total de oxígeno en la región \(R\) viene dada por:
\[
I = \iint_R f(x,y) \, dA = \int_0^1 \int_0^1 50(1 + \cos(\pi x))(1 + \sin(\pi y)) \, dx \, dy
\]
Para aplicar el método de Simpson compuesto 1/3 con \(n = 4\) subintervalos en cada dirección, necesitamos \(a = 0\), \(b = 1\), \(n_x = 4\)
La cantidad total de oxígeno en la región de 1×1 \(mm^2\) del tejido muscular es aproximadamente 82 mmol (valor analítico exacto). La distribución espacial muestra una variación sinusoidal que podría modelar gradientes de concentración debido a la estructura vascular del tejido, con zonas de mayor oxigenación cerca de los capilares sanguíneos y menor concentración en áreas alejadas de los vasos.
El patrón coseno-seno representa oscilaciones naturales en la perfusión tisular, típicas de tejidos con irrigación periódica o pulsátil.
Aproximación numérica para Integrales Triples
Integración Triple con el Método de Simpson
El método de Simpson para integrales triples es una extensión natural del método bidimensional. Permite aproximar integrales de la forma:
\[
I = \iiint_V f(x,y,z) \, dV = \int_a^b \int_c^d \int_e^f f(x,y,z) \, dz \, dy \, dx
\]
sobre un dominio rectangular \(V = [a,b] \times [c,d] \times [e,f]\).
Fórmula del Método de Simpson 1/3 para Integrales Triples
Dividimos cada dirección en \(n\) subintervalos (donde \(n\) debe ser par):
Dirección \(x\): \(d_x = \frac{b-a}{n_x}\), con puntos \(x_i = a + i \cdot d_x\), \(i = 0, 1, \ldots, n_x\)
Dirección \(y\): \(d_y = \frac{d-c}{n_y}\), con puntos \(y_j = c + j \cdot d_y\), \(j = 0, 1, \ldots, n_y\)
Dirección \(z\): \(d_z = \frac{f-e}{n_z}\), con puntos \(z_k = e + k \cdot d_z\), \(k = 0, 1, \ldots, n_z\)
donde los pesos \(w_i\) siguen el patrón unidimensional de Simpson:
\[
w_i = \begin{cases}
1 & \text{si } i = 0 \text{ o } i = n \\
4 & \text{si } i \text{ es impar} \\
2 & \text{si } i \text{ es par y } i \neq 0, n
\end{cases}
\]
En un estudio farmacológico, la concentración de un antibiótico (en μg/mL) en un bloque de tejido hepático viene dada por:
\[
f(x,y,z) = 100 e^{-(x^2 + y^2 + z^2)}
\]
donde \(x\), \(y\), \(z\) se miden en centímetros. Se desea calcular la cantidad total del fármaco en el volumen rectangular \(V = [0, 1] \times [0, 1] \times [0, 1]\) cm³ utilizando el método de Simpson compuesto 1/3 con \(n = 2\) subintervalos en cada dirección.
Solución Detallada
Paso 1: Planteamiento de la integral
La cantidad total del fármaco en el volumen \(V\) viene dada por:
\[
I = \iiint_V f(x,y,z) \, dV = \int_0^1 \int_0^1 \int_0^1 100 e^{-(x^2 + y^2 + z^2)} \, dz \, dy \, dx
\]
Máxima concentración (100 μg/mL) en el origen (punto de inyección o fuente)
Disminución exponencial radial debido a la difusión del fármaco
Menor concentración en las esquinas alejadas del origen
Este modelo es realista para describir la farmacocinética espacial de un fármaco administrado localmente en tejido, donde la concentración decrece según la distancia euclidiana desde el punto de administración.
Observaciones sobre el Método
Ventajas del Método de Simpson para integrales triples:
Mayor precisión que el método del trapecio con el mismo número de puntos
Error de orden \(O(d^4)\) para funciones suficientemente suaves
Fácil implementación computacional
Limitaciones:
Requiere que \(n\) sea par en cada dirección
El número de evaluaciones de función crece como \((n+1)^3\), lo que puede ser costoso para \(n\) grande
Solo aplicable a dominios rectangulares (para otros dominios se necesitan transformaciones)
Complejidad computacional: Para este ejemplo con \(n=2\), evaluamos la función en \(3 \times 3 \times 3 = 27\) puntos. Para \(n=4\), necesitaríamos \(5 \times 5 \times 5 = 125\) evaluaciones.