Hoy empezamos con el cálculo integral. Explicamos un poco de historia del calculo integral y comenzamos la integral indefinida, el cálculo de primitivas. Este cálculo parte de la necesidad de encontrar las funciones que son base del teorema fundamental del cálculo:
Dada una función \({\displaystyle f}\) integrable sobre el intervalo \({\displaystyle [a,b],}\) definimos \({\displaystyle F}\) sobre \({\displaystyle [a,b]}\) por \({\displaystyle F(x)={\int _{a}^{x}f(t)\mathop {} \!\mathrm {d} t}.}\) Si \({\displaystyle f}\) es continua en \({\displaystyle c\in (a,b)}\), entonces \(F\) es derivable en \(c\) y \({\displaystyle F^{\prime }(c)=f(c).}\)
Si la función \(F\) existe sobre cualquier intervalo, \(I\subset\mathbb{R}\), simplemente decimos que \(F\) es la primitiva de \(f\), y notamos \[F(x)=\int f(x)dx.\] Nuestro propósito será encontrar dichas primitivas.
Para encontrarlas necesitamos conocer los métodos de integración más usuales para nosotros. Nos centraremos en cuatro: integración directa, cambio de variable, método de integración por partes y las integrales racionales.
Además utilizaremos la propiedad de linealidad de la integración que nos dice:
Si \(f\) y \(g\) son funciones que verifican el resultado anterior para toda la recta real, entonces se cumple:
- \({\displaystyle \int (f+g)\ dx=\int f\ dx +\int g\ dx}\)
- \({\displaystyle \forall k\in\mathbb{R};\ \int kf\ dx=k\int f\ dx}\)
Como hemos comentado primero veremos el cálculo de primitivas básicas, que podemos obtener en cualquier manual.
Integración por sustitución o por cambio de variable
El método de integración por sustitución o por cambio de variable, se basa en realizar un reemplazo de variables adecuado que permita convertir el integrando en algo sencillo con una integral o antiderivada simple. Podemos resumirlo así:\[\int g'(f(x))f'(x)dx=(g\circ f)(x)+c\]
Ejemplo: Calcular \(\displaystyle\int\,2x\cos(x^2)dx\)
Ejemplo: Calcular \(\int \frac{\sin \sqrt{x}}{\sqrt{x}}\ dx\)
Veamos otra forma de expresarlo.
Ejemplo: Calcular \({\displaystyle \int x^{2}(2x^{3}+1)^{7}dx}\)
Ejemplo: Calcular \(\int e^x\cos (e^x+1)\ dx\)
Ejemplo: Calcular \(\int xe^{-x^2}\ dx \)
Integración por partes
Sean \(\displaystyle f’\) y \(\displaystyle g’\) son funciones continuas entonces \[{\displaystyle \int f(x)g'(x)dx=f(x)g(x)-\int f'(x)g(x)dx}\]
Si llamamos \(u:f(x)\) y \(v:g(x)\) tenemos la conocida expresión \[{\displaystyle \int udv=uv-\int vdu}.\]
Ejemplo: Calcular \({\displaystyle \int \ln x\ dx}\)
Ejemplo: Calcular \({\displaystyle \int \frac{\ln x}{x}\ dx}\)
Ejemplo: Calcular \(\int x^2\ln x\ dx\)
Ejemplo: Calcular \(\int \frac{x}{e^x}\ dx\)
Bibliografía
- Capítulo 5 del libro Cálculo de una variable, de James Stewart.
|
Ejercicio: Sin tener en cuenta la constante, ¿cuál es el valor de la primitiva de \(f(x)=e^{\cos x}\sin x\) en \(x=\frac{\pi}{2}\)? |