El gradiente
Consideremos \(f:D\subseteq \mathbb{R}^2\;\longrightarrow\;\mathbb{R}\,\) un campo escalar de dos variables, entonces el gradiente de \(f\) es la función vectorial \(\nabla f : D\subseteq \mathbb{R}^2\;\longrightarrow\;\mathbb{R}^2\) definida por \[\nabla f(x, y) = (f_x(x, y),f_y(x, y)) = \displaystyle{\frac{\partial f}{\partial x}}\, \mathbf{i} + \frac{\partial f}{\partial y}\, \mathbf{j}.\]
El vector gradiente apunta en la dirección en la que el campo escalar aumenta más rápidamente en un punto dado. Es decir, si te desplazas en la dirección del gradiente, experimentarás el mayor incremento en el valor del campo. Así, por ejemplo, si hablamos de una magnitud física como el campo escalar, la tasa o ritmo de crecimiento de esta nos lo proporciona su gradiente.
Ejemplo: La temperatura (en ºC) en la superficie de una placa metálica está dada por el campo escalar \(T(x,y)=20-4x^2-y^2\), donde \(x\) e \(y\) se miden en cm. ¿Cuál es la tasa o ritmo de crecimiento, desde (2,-1), de mayor aumento de la temperatura?
Ejemplo: Considerando el mismo campo escalar anterior, ¿cuál es el producto escalar del vector [-1,4] por el vector que nos proporciona la dirección de máximo crecimiento, a partir de (2,-1), de la temperatura?
Ejemplo: Sabemos que la distribución de humanos infectados por Cordyceps en una región cercada, está dada por \(P(x,y)=10^3{{e}^{x {{y}^{2}}}}\), donde \(x\) e \(y\) son las coordenadas en un mapa de escala 1:5000. Un equipo de paracaidistas se deja en el punto (1,3), para eliminar el mayor número de infectados. Sea \(\mathbf{u}\) la dirección que debe tomar el equipo, ¿cuál es el cuadrado del producto escalar del vector [-4,1] por \(\mathbf{u}\)?
De manera análoga, si \(f\) es una función escalar de tres variables su gradiente está dado por
\[\,\nabla f(x, y, z) = (f_x(x, y, z), f_y(x, y, z),f_z(x, y,z)) = \displaystyle{\frac{\partial f}{\partial x}} \,\mathbf{i}
+ \frac{\partial f}{\partial y}\, \mathbf{j} + \frac{\partial f}{\partial z}\,\mathbf{k}.\]
Ejemplo: Determinar el vector gradiente de \(f(x,y,z)=x\,\sin^2(y)+z\,\cos^2(y)\)
Ejemplo: Sea \(f(x,y,z)=x\,\sin^2(y)+ze^{2x}\). ¿Cuánto vale \(\left \|\nabla f\left(1,\tfrac{\pi}{4},0\right) \right \|\) ?
Propiedades del gradiente que más utilizamos son:
- Dirección de mayor incremento: El gradiente de una función \( f(x, y, \ldots) \), denotado como \( \nabla f \), apunta en la dirección de mayor incremento de la función.
- Magnitud del gradiente: La magnitud del gradiente \( \|\nabla f\| \) indica la tasa de cambio más rápida de la función en la dirección del gradiente.
- Ortogonalidad a las curvas de nivel: El gradiente de una función en un punto es ortogonal (perpendicular) a la curva de nivel de la función que pasa por ese punto. Es decir, es ortogonal a las curvas de nivel, o las superficies equiescalares.
- Linealidad: Si \( f \) y \( g \) son funciones diferenciables y \( a \) y \( b \) son constantes, entonces:
\[ \nabla (a f + b g) = a \nabla f + b \nabla g \] - Producto de funciones: Si \( f \) y \( g \) son funciones diferenciables, entonces:
\[ \nabla (f g) = f \nabla g + g \nabla f \] - Cociente de funciones: Si \( f \) y \( g \) son funciones diferenciables y \( g \neq 0 \), entonces:
\[ \nabla \left( \frac{f}{g} \right) = \frac{g \nabla f – f \nabla g}{g^2} \] - Regla de la cadena: Si \( f \) es una función de \( u \) y \( v \), y \( u \) y \( v \) son funciones de \( x \) y \( y \), entonces: \[ \nabla f = \frac{\partial f}{\partial u} \nabla u + \frac{\partial f}{\partial v} \nabla v \]
- Se anula en los puntos estacionarios.
Derivada direccional
Observamos que el gradiente es un vector que, evaluado en un punto genérico \(x\) del dominio de \(f\), \(\nabla f(x)\), indica la dirección en la cual el campo \(f\) varía más rápidamente y su módulo representa el ritmo de variación de \(f\) en la dirección de dicho vector. Es decir, si \(f\) es una función escalar de dos variables, \(\nabla f(x_0,y_0)\) nos indica la dirección en un eje centrado en \((x_0,y_0)\) donde la función \(f\) varía más rápidamente, y \(||\nabla f(x_0,y_0)||\) sería la magnitud con la que varía.
El gradiente nos permite redefinir la derivada direccional en la dirección de cualquier vector unitario como
\[D_{\mathbf{u}}f(x, y)\, = \, \nabla f(x,y)\bullet \mathbf{u}.\]
Ejemplo: calcular la derivada direccional de \(f(x,y,z)=x\,\sin(y)+yz^2\) en el punto P(1,\(\frac{\pi}{2}\),-1) y en la dirección del vector u=(4,3,0).
Propiedades de la derivada direccional
- Linealidad: La derivada direccional es lineal respecto a la dirección. Si \( \mathbf{u} \) y \( \mathbf{v} \) son vectores y \( a \) y \( b \) son constantes, entonces:
\[ D_{a\mathbf{u} + b\mathbf{v}} f(\mathbf{a}) = a D_{\mathbf{u}} f(\mathbf{a}) + b D_{\mathbf{v}} f(\mathbf{a}) \] - Relación con el gradiente: La derivada direccional en la dirección del gradiente es igual a la norma del gradiente:
\[ D_{\mathbf{u}} f(\mathbf{a}) = \|\nabla f(\mathbf{a})\| \]
cuando \( \mathbf{u} \) es un vector unitario en la dirección del gradiente. - Máximo valor: La derivada direccional alcanza su valor máximo cuando \( \mathbf{u} \) es paralelo al gradiente \( \nabla f(\mathbf{a}) \). En este caso, la derivada direccional es igual a la norma del gradiente.
- Ortogonalidad: La derivada direccional es cero en cualquier dirección ortogonal al gradiente.
- Producto de funciones: Si \( f \) y \( g \) son funciones diferenciables, entonces:
\[ D_{\mathbf{u}} (fg) = f D_{\mathbf{u}} g + g D_{\mathbf{u}} f \] - Cociente de funciones: Si \( f \) y \( g \) son funciones diferenciables y \( g \neq 0 \), entonces:
\[ D_{\mathbf{u}} \left( \frac{f}{g} \right) = \frac{g D_{\mathbf{u}} f – f D_{\mathbf{u}} g}{g^2} \] - Regla de la cadena: Si \( f \) es una función de \( u \) y \( v \), y \( u \) y \( v \) son funciones de \( x \) y \( y \), entonces: \[ D_{\mathbf{u}} f = \frac{\partial f}{\partial u} D_{\mathbf{u}} u + \frac{\partial f}{\partial v} D_{\mathbf{u}} v \]
Bibliografía
- Capítulo 14 del libro Cálculo de varias variables, de James Stewart.
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Ejercicio: ¿Cuál es el ritmo máximo de variación de \(z=x^3-2y^2\) en el punto (1,1)? Aproximadamente |