ALG: Complemento ortogonal – Diario de clases

Si tenemos un espacio vectorial euclídeo de dimensión finita, $\mathcal{E}$, definimos el complemento ortogonal (a veces simplemente ortogonal) de un subespacio $S$ de $\mathcal{E}$ a \[S^\bot=\{\vec{v}\in \mathcal{E}|\;\vec{v}\bullet\vec{u}=0\,\forall \vec{u}\in S\}\]

Proposición. Si $S\subset E$ es un subespacio de un espacio vectorial euclídeo de dimensión finita, entonces $S^\bot$ es un subespacio vectorial.

Ejemplo: Sea $A=\left\{\begin{bmatrix}a&b\\ c& 0\end{bmatrix}\in\mathcal{M}_2(\mathbb{R})\right\}$, ¿cuál es su complemento ortogonal?

Ejemplo: Hallar el complemento ortogonal de la variedad lineal de $\mathbb{R}^4$, que resulta de la intersección de los hiperplanos $x+5y-2z=0$, y, $x+y-z+u=0$.

Ejemplo: Sea $A=\left\{\begin{bmatrix}2a+b&b\\ -b& a-b\end{bmatrix}\in\mathcal{M}_2(\mathbb{R})\right\}$, ¿cuál es su complemento ortogonal?

Ejemplo: Sea $S=\mathbf{Gen}\{X^2-2\}\subset (\mathbb{R}_2[X],\bullet)$, ¿cuál es una base de su ortogonal?

Sabemos que el ortogonal de un subespacio generado por un vector, $S=\mathbf{Gen}\{\vec{v}\}\subset (\mathcal{E},\bullet)$, es el que tiene por ecuación implícita el producto escalar de un vector genérico por dicho vector: \[S^\perp=\{\vec{u}\in \mathcal{E}|\;\vec{v}\bullet\vec{u}=0\,\forall \vec{u}\in S\} \]

En nuestro caso deberá verificarse:

(%i3)

p:x^2–2$
q:[a,b,c].[1,x,x^2]$
pq:integrate(p*q,x,0,1)=0;

$\begin{matrix} (pq) & - \frac{28 c + 45 b + 100 a}{60} = 0 \end{matrix}$

Resolvamos el sistema formado por esta sola ecuación:

(%i4)

sol:linsolve(pq,[a,b,c]);

$\begin{matrix} (sol) & [a = - \frac{45 %r2 + 28 %r1}{100}, b = %r2, c = %r1] \end{matrix}$

Por tanto, asignando valores a los parámetros, obtendremos los dos vectores l.i. de la base del ortogonal:

(%i7)

id:ident(length(%rnum_list))$
vt:[]$
for i:1 thru length(%rnum_list) do(
l1:makelist(%rnum_list[j]=id[i,j],j,1,2),
vt:append(vt,[ev([a,b,c],ev(sol,l1))]),
print(vt[i])
)$

$\begin{matrix} [- \frac{7}{25}, 0, 1] \\ [- \frac{9}{20}, 1, 0] \end{matrix}$

Ejemplo: Sea la variedad lineal de $\mathbb{R}^4$, que resulta de la intersección de los hiperplanos $2x+y-z=0$, y, $x-y+3t=0$, y $u:[-1,a,-1,-9]$. ¿cuál es el valor de $a$ para que $u$ perteneca al ortogonal de la variedad lineal?.

Ejemplo: Sea $\pi=\mathbf{Gen}\left\{\begin{bmatrix}1&2\\ 0& -1 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix}0&-1\\ 1& 3 \end{bmatrix}\right\}$. Dados $a$ y $b$ con $\begin{bmatrix}a&1\\ 4& b\end{bmatrix}\in\pi^\bot$. ¿Cuánto es $\begin{bmatrix}a&1\\ 4& b\end{bmatrix}\bullet\begin{bmatrix}2&5\\ 1& -3\end{bmatrix}$?

Ejemplo: Sea $S=\mathbf{Gen}\left \{ X^2-2,\ X-X^2 \right \}\in\mathbb{R}_2[X]$,¿cuál es el producto escalar de $(X-1)$ por el vector unitario del complemento ortogonal de S?

Propiedades

Proposición. Si $S,T\subset \mathcal{E}$ son subespacios de un espacio vectorial euclídeo de dimensión finita, y $T\subset S$entonces $S^\bot \subset T^\bot$.

Proposición. Si $S,T\subset \mathcal{E}$, son subespacios de un espacio vectorial euclídeo de dimensión finita, entonces

$(S+T)^\bot=S^\bot \cap T^\bot$

$(S\cap T)^\bot=S^\bot + T^\bot$

Proposición. Si $S\subset \mathcal{E}$ es un subespacio de un espacio vectorial euclídeo de dimensión finita, entonces $$\mathcal{E}=S\oplus S^{\bot}$$

Corolario. Si $S\subset \mathcal{E}$ es un subespacio de un espacio vectorial euclídeo de dimensión finita, entonces $$dim(\mathcal{E})=dim(S)+ dim(S^{\bot})$$

Esta última Proposición nos dice que $\mathcal{E}$ es suma directa de $S$ y $S^{\bot}$; es decir, para todo $\vec{v}\in \mathcal{E}$ existen dos únicos vectores $\vec{s}_1\in S$ y $\vec{s}_2\in S^{\bot}$, tales que $$\vec{v}=\vec{s}_1+\vec{s}_2.$$

Ejercicio:Sea B={(2,1,1),(1,0,10),(2,-3,11)} una base de $\mathbb{R}^3$, ¿cuál es el la suma de las normas al cuadrado de una base ortogonal obtenida por un proceso de ortogonalización de Gram–Schmidt?

L	M	X	J	V	S	D
						1
2	3	4	5	6	7	8
9	10	11	12	13	14	15
16	17	18	19	20	21	22
23	24	25	26	27	28