ALG: Diagonalización de una matriz

Dado \(\mathbf {A} \in M_{n\times n}(\mathbb {K} )\), una matriz cuadrada con valores sobre un cuerpo \(\mathbb {K}\), decimos que \(\mathbf{A}\) es diagonalizable si, y sólo si, \(\mathbf{A}\) se puede descomponer de la forma: \[\mathbf{A}=\mathbf{P}\mathbf{D}\mathbf{P}^{-1},\] donde \(\mathbf{D}\) es una matriz diagonal.

El proceso de diagonalización de una matriz necesita conocer los autovalores y autovectores de la matriz. Sea, por tanto, \(\mathbf{A}\) una matriz cuadrada de orden \(n\), y sean \(\lambda_i\) los autovalores de dicha matriz. Entonces

La matriz \(\mathbf{A}\) es diagonalizable si, y sólo si, se cumple:

1. el número de soluciones de la ecuación característica es igual a \(n\);
2. para todo autovalor \(\lambda_i\), la dimensión del subespacio \(\mathcal{C}_{\lambda_i}\) coincide con la multiplicidad del autovalor \(\lambda_i\) como solución de la ecuación característica de \(\mathbf{A}\); es decir, \(m_g(\lambda_i)= m_a(\lambda)\)

Ejercicio: Es diagonalizable la matriz \[\begin{bmatrix}1 & 0 & 0\\
2 & -1 & 0\\
1 & -1 & 1\end{bmatrix}\]

Solución:

Ejercicio: Para qué valores de \(a\in\mathbb{R}\) no es diagonalizable la matriz \[\begin{bmatrix}4 & 2 & 0\\
3 & 3 & 0\\ 0 & 0 & a\end{bmatrix}\]

Solución:

Así pues si \(\mathbf{A}\) es diagonalizable, será \(\mathbf{D}\) una matriz cuya diagonal principal está formada por los autovalores de \(\mathbf{A}\) pareciendo cada uno tantas veces como indique su multiplicidad algebraica, y \(\mathbf{P}\) es la matriz cuyas columnas son los autovectores; es decir, los vectores que constituyen una base del subespacio propio asociado a cada autovalor siguiendo el orden establecido en \(\mathbf{D}.\)

Ejercicio: Determinar la matriz que diagonaliza la matriz \(\begin{bmatrix}1&0\\6&-1\end{bmatrix}\)

Solución:

Ejercicio: Sean \(P\) y \(D\), diagonal, talque la matriz \[\begin{bmatrix}2&1\\1&2\end{bmatrix}=P.D.P^{-1}.\] ¿Cuál es el determinante de \(P.D\)?

Solución:

Procedimiento para construir \(P\) y \(D\) en una diagonalización

Una vez que sabemos que la matriz \(A\in\mathcal{M}_n(\mathbb{R})\) es diagonalizable, ordenamos los valores propios de menor a mayor, \(\lambda_1\leq\lambda_2\leq\ldots\leq\lambda_n\). La matriz \(D\) será
\[D=\begin{bmatrix}
\lambda _1 & 0 & \cdots & 0 \\
0 & \lambda _2 & \cdots & 0 & \\
\vdots & \vdots & \cdots & \vdots \\
0 & 0 & 0 & \lambda _n \\
\end{bmatrix}.\]
Para construir la matriz \(P\), añadiremos como columnas los vectores propios normalizados asociados a los valores propios en orden.

Ejercicio: Sean \(P\) la matriz de vectores propios normalizados de \[\begin{bmatrix}2 & -1 & 0\\
-4 & 5 & 0\\ 0 & 0 & 2\end{bmatrix}.\] Cuál es la norma de la proyección de \(\begin{bmatrix}3 & -1 & 2\\
-4 & 5 & 1\\ 1 & 2 & 2\end{bmatrix}\) sobre \(P\)

Solución:

Propiedades

Toda matriz simétrica de coeficientes reales es diagonalizable y sus autovalores son reales.

Dadas dos matrices diagonalizables \(\mathbf{A}\) y \(\mathbf{B}\), son conmutables (\(\mathbf{AB}=\mathbf{BA}\)) si y solo si son simultáneamente diagonalizables (comparten la misma base ortonormal).

Toda matriz \(\mathbf{A}\) de dimensión \(n\) y coeficientes reales es diagonalizable si, y sólo si, existe una base de \(\mathbb{R}^{n}\) formada por autovectores de \(\mathbf{A}\)

El resultado anterior nos permite formular la definición de diagonalización ortogonal o matriz ortogonalmente diagonalizable: Una matriz cuadrada se dice que es ortogonalmente diagonalizable si y sólo si es diagonalizable mediante una matriz de \(\mathbf{Q}\) ortogonal. Por tanto, si una matriz es ortogonalmente diagonalizable si y sólo si se puede encontrar una base de \(\mathbb{R}^{n}\) formada por autovectores ortonormales de \(\mathbf{A}\) (que compondrán las columnas de la matriz \(\mathbf{Q}\)).

Teorema: Una matriz cuadrada y real es ortogonalmente diagonalizable si, y solo si, es simétrica.

Observemos que, aunque podemos hacer ortogonales los autovectores conseguidos, no nos garantiza que la matriz formada por ellos sea ortogonal. Eso solo se producirá en el caso de ser una matriz simétrica.

Ejercicio:Diagonalizar ortogonalmente la matriz
\[
A=
\begin{bmatrix}
3 & -2 & 4\\
-2 & 6 & 2\\
4 & 2 & 3
\end{bmatrix}.
\]

Solución:

En general, la diagonalización ortogonal de una matriz real simétrica no es única, pero la matriz diagonal resultante sí lo es salvo por el orden de los autovalores. Lo que no es único es la matriz ortogonal de cambio de base, que puede variar dentro de cada subespacio propio.

Caso con autovalores simples

Si la matriz simétrica tiene todos los autovalores reales y distintos (multiplicidad geométrica 1), entonces:

• Cada autovalor determina una recta propia, pero hay dos posibles autovectores unitarios en esa recta, \(\mathbf{u}\) y \(-\mathbf{u}\).
• Por tanto, la matriz ortogonal \(\mathbf{Q}\) que diagonaliza \(A\) es única salvo por cambios de signo en sus columnas y permutación del orden de los autovalores (y columnas asociadas).

Autovalores con multiplicidad mayor

Si algún autovalor tiene multiplicidad geométrica mayor que 1, la no unicidad es mayor:

• Dentro de cada subespacio propio de dimensión \(k>1\) se puede elegir cualquier base ortonormal; todas producen matrices ortogonales \(Q\) distintas pero la misma matriz \(\mathbf{D}\) salvo permutación de bloques.
• En consecuencia, la diagonalización \(A = \mathbf{Q}\mathbf{D}\mathbf{Q}^{T}\) no es única: existen infinitas matrices ortogonales \(\mathbf{Q}\) que diagonalizan \(A\), todas obtenidas por rotaciones ortogonales independientes dentro de cada subespacio propio.

Qué es realmente “único”

• El conjunto de autovalores (con multiplicidad) está completamente determinado por \(A\).
• La matriz diagonal \(\mathbf{D}\) está determinada salvo reordenar los autovalores en la diagonal.
• La matriz ortogonal \(\mathbf{Q}\) nunca es única; en el mejor caso, solo es única salvo signos y permutaciones de columnas, y en el caso con autovalores múltiples, también salvo cualquier cambio ortogonal dentro de cada subespacio propio.

Potencias de una matriz

Diagonalizar una matriz nos ayuda a calcular potencias de una matriz \({\displaystyle A}\), si \({\displaystyle n\in \mathbb {N} }\) entonces \[{\displaystyle A^{n}=PD^{n}P^{-1}}\]

Ejercicio: Determinar \(\begin{bmatrix}1&0\\6&-1\end{bmatrix}^{19}\)

Solución:

Ejercicio: Determinar \(\begin{bmatrix}1&2\\2&1\end{bmatrix}^{9}\)

Solución:

Ideas clave para el repaso

• Los valores propios de \( A \) son las raíces reales del polinomio característico de \( A \).
• Matrices semejantes(por transformaciones de similaridad) tienen los mismos valores propios.
• Una matriz \( A \) de \( n \times n \) es diagonalizable si y sólo si tiene \( n \) vectores propios linealmente independientes. En este caso, \( A \) es semejante a una matriz diagonal \( D \), con \( D = P^{-1}AP \), cuyos elementos en la diagonal son los valores propios de \( A \), mientras que \( P \) es una matriz cuyas columnas son los \( n \) vectores propios linealmente independientes de \( A \).
• Todas las raíces del polinomio característico de una matriz simétrica son números reales.
• Si \( A \) es una matriz simétrica, los vectores propios correspondientes a valores propios distintos de \( A \) son ortogonales.
• La matriz \( A \) de \( n \times n \) es ortogonal si y sólo si las columnas de \( A \) forman un conjunto ortonormal de vectores en \( \mathbb{R}^n \).
• Si \( A \) es una matriz simétrica de \( n \times n \), existe una matriz ortogonal \( P \) (\( P^{-1} = P^t \)) tal que \( P^{-1}AP = D \), una matriz diagonal. Los valores propios de A están sobre la diagonal principal de D.

Solución: