MathBio: Integración numérica con maxima

Regla del trapecio

Muchas veces calcular la primitiva de una función resulta tremendamente difícil, cuando no imposible. En esos casos lo que hacemos en encontrar una aproximación mediante métodos de integración numérica.

La idea es aproximar la integral por trapecios. La más sencilla es la regla del trapecio simple, pero la que se utiliza es la compuesta, pues da una aproximación mejor. Sea $f$ una función real definida en $[a,b]$, entonces \[\int_a^b f(x) dx = \frac{h}{2} \left[ f(a) + f(b) + 2\sum_{k=1}^{n-1} f\left(a + k h\right) \right]-\frac{(b-a)h^2}{12}f^{(2)}(\xi),\, \xi\in (a,b)\]

Ejemplo: ¿Cuál es el área aproximada de la función $f(x)=\frac{\sin(x^2)}{\sqrt{x}}$ en el intervalo $[1,2]$?

Reglas simples de Simpson

Regla simple de Simpson

\[\int_{x_0}^{x_2} f(x) dx =\frac{h}{3}(f(x_0)+4f(x_1)+f(x_2)) -\frac{h^5}{90}f^{(4)}(\xi),\, \xi\in (x_0,x_2) \]

Ejercicio: ¿Cuál es el valor de $\int_{0}^{\frac{\pi}{4}}e^{\cos x}\sin x\ dx$?

Ejercicio: ¿Cuál es el área de la región entre la curva $y=x^2-x$ y el eje x desde 0 a 2?

El área encerrada entre la curva y el eje x es la dada en la gráfica:

(%i2)

f(x):=x^2–x$
wxdraw2d(filled_func=0,fill_color=grey,explicit(f(x),x,0,2),
filled_func=false,color=blue, line_width=3,explicit(f(x),x,0,2),xaxis=true);

$\begin{matrix} 0 errores, 0 advertencias \end{matrix}$ $\begin{matrix} (%i2) \end{matrix}$ (Gráficos)
$\begin{matrix} (%o2) \end{matrix}$

Como una parte de la función es negativa, para calcular el área debemos integrar en dos intervalos [0,1] y [1,2]:

Utilicemos la regla de Simpson de 1/3 en cada intervalo.

(%i5)

fpprintprec:5$
h:(1−0)/2$
p:makelist(0+i·h,i,0,2);

\[\operatorname{ }\left[ 0\operatorname{,}\frac{1}{2}\operatorname{,}1\right] \]

Recordemos que la función es negativa, luego cambiamos el signo:

(%i6)

S1:−(h/3)·(makelist(f(p[i]),i,1,3).[1,4,1]),numer;

\[\operatorname{ }0.16666\]

Para el intervalo [1,2]

(%i9)

h:(2−1)/2$
p:makelist(1+i·h,i,0,2);
S2:(h/3)·(makelist(f(p[i]),i,1,3).[1,4,1]),numer;

\[\operatorname{ }\left[ 1\operatorname{,}\frac{3}{2}\operatorname{,}2\right] \]

\[\operatorname{ }0.83333\]

El resultado que buscamos es:

(%i10)

S1+S2;

\[\operatorname{ }0.99999\]

Regla $\frac{3}{8}$ de Simpson

\[\int_{x_0}^{x_3} f(x) dx =\frac{3h}{8}(f(x_0)+3f(x_1)+3f(x_2)+f(x_3))-\frac{3h^5}{80}f^{(4)}(\xi),\, \xi\in (x_0,x_3) \]

Ejercicio: ¿Cuál es el área de la región comprendida entre las curvas $y=x^2-x$ y $y=\sqrt{x}$

Regla $\frac{2}{45}$ de Simpson

\[\begin{multline*}\int_{x_0}^{x_4} f(x) dx =\frac{2h}{45}(7f(x_0)+32f(x_1)+12f(x_2)+32f(x_3)+7f(x_4))\\ -\frac{8h^7}{945}f^{(6)}(\xi),\, \xi\in (x_0,x_4) \}\end{multline*}\]

Ejemplo: ¿Cuál es volumen aproximado de la función $f(x)=x\ \sin(x^2)$ alrededor de $0X$, entre 0 y el corte con $x=0$?

Regla de Simpson compuesta

\[\begin{multline*}\int_a^b f(x) \, dx=\frac{h}{3}\left[f(x_0)+2\sum_{j=1}^{n/2-1}f(x_{2j})+ 4\sum_{j=1}^{n/2}f(x_{2j-1})+f(x_n)\right]\\ -(b-a)\,\frac{h^4}{180}\,f^{(4)}(\xi),\,\xi\in (a,b)\end{multline*}\]

Ejemplo: ¿Cuál es la longitud del arco aproximada de la función $f(x)=x\ \sin(x^2)$ en el intervalo $[0,\sqrt{\pi}]$?

Nota: Para este ejercicio utilizaremos que, si una curva, definida por una función ${\displaystyle f(x)}$, y su respectiva derivada que son continuas en un intervalo ${\displaystyle [a,b]}$, la longitud ${\displaystyle s}$ del arco delimitado por $a$ y $b$ esta dada por la ecuación \[{\displaystyle s=\int _{a}^{b}{\sqrt {1+\left[f’\left(x\right)\right]^{2}}}\,{\text{d}}x}\]

Regla de Simpson 3/8 compuesta

Es más exacta que la regla de Simpson 3/8 simple, ya que divide el intervalo de integración en más subintervalos. Necesitamos la condición de que $n$ sea múltiplo de 3.

\[\int_a^b f(x) \, dx\approx {\frac {3h}{8}}\left[f(x_{0})+3\sum _{i=0}^{{\frac {n}{3}}-1}f(x_{3i+1})+3\sum _{i=0}^{{\frac {n}{3}}-1}f(x_{3i+2})+2\sum _{i=0}^{{\frac {n}{3}}-2}f(x_{3i+3})+f(x_{n})\right]\]

Ejemplo: ¿Cuál es la superficie del volumen del sólido que se genera por la revolución sobre el eje OX de la curva $f(x)= \cos(x^2)$, entre y=0 y x=0?