ALG: El espacio afín euclídeo $\mathbb{R}^3$ y sistemas de ecuaciones con maxima

El espacio afín euclídeo

Ejemplo: ¿Cuál es la norma del vector perpendicular al subespacio generado por $\vec{v}:(1,-1,5)$ y $\vec{u}:(2,3,-1)$?

Lo que buscamos es $\|\vec{v}\times\vec{u}\|$.

(%i6)

fpprintprec:6$
v:[1,–1,5]$
u:[2,3,–1]$
vu:rat(determinant(matrix([i,j,k],v,u)),k,j,i);
vu:[coeff(vu,i),coeff(vu,j),coeff(vu,k)]$
print(«La norma de «,vu,«es»,float(sqrt(vu.vu)))$

$\begin{matrix} (vu) & - 14 i + 11 j + 5 k \\ La norma de [- 14, 11, 5] es 18.4932 \end{matrix}$

Ejemplo: Sean $\vec{v}=(1,-2,3)$ y $\vec{u}=(2,1,-1)$, ¿cuál es la segunda cifra decimal del $\cos(\vec{v},\vec{u})$?

(%i5)

fpprintprec:6$
v:[1,–2,3]$
u:[2,1,–1]$
cos:v.u/(sqrt(v.v)*sqrt(u.u))$
print(«El coseno es «,float(cos))$

$\begin{matrix} El coseno es - 0.327327 \end{matrix}$

Ejemplo: Cuál es el producto escalar del vector [1,-1,1] por la proyección de $\vec{u}=(2,1,-1)$ sobre $\vec{v}=(1,-2,3)$?

(%i5)

fpprintprec:6$
v:[1,–2,3]$
u:[2,1,–1]$
proy:(v.u/(v.v))*v$
[1,–1,1].proy,numer;

$\begin{matrix} (%o5) & - 1.28571 \end{matrix}$

Ejemplo: Cuál es el producto escalar del vector [1,2,3] por el vector normal unitario del plano que pasa por los puntos $P(4,-2,3)$, $Q(2,-1,1)$ y $R(0,2,5)$?

(%i9)

P:[4,–2,3]$Q:[2,–1,1]$R:[0,2,5]$
eq:rat(determinant(matrix([x,y,z]–P,Q–P,R–P)))$
print(«Ecuación del plano 0=»,eq)$
n:[coeff(eq,x),coeff(eq,y),coeff(eq,x)]$
print(«Vector normal del plano: «,n)$
print(«Producto escalar»)$
print([1,2,3],«.»,n/sqrt(n.n),«=»,[1,2,3].n/sqrt(n.n))$

$\begin{matrix} Ecuación del plano 0= - 4 z + 12 y + 10 x - 4 \\ Vector normal del plano: [10, 12, -4] \\ Producto escalar \\ [1, 2, 3] . [\frac{5}{\sqrt{65}}, \frac{6}{\sqrt{65}}, \frac{-2}{\sqrt{65}}] = \frac{11}{\sqrt{65}} \end{matrix}$

Ejemplo: Cuánto suman las coordenadas del punto que se encuentra a dos unidades del punto P(2,-5,3), sobre la recta que pasa por los puntos P y Q(1,3,4)

Ejercicio: ¿Cuál es, en valor absoluto, el producto escalar del vector $[1,-1,1]$ por el vector normal unitario de la recta definida por las ecuaciones $\pi_1:-6z+9y+x-1=0$ y $\pi_2:15z-18y-4x-5=0$?

El vector normal de la recta definida por las ecuaciones $\pi_1:-6z+9y+x-1=0$ y $\pi_2:15z-18y-4x-5=0$ vendrá dado por el producto vectorial de los vectores normales de cada plano:

(%i4)

p1:[1,9,–6]$
p2:[–4,–18,15]$
eq:determinant(matrix([i,j,k],p1,p2));
vn:[coeff(eq,i),coeff(eq,j),coeff(eq,k)];

$\begin{matrix} (eq) & 18 k + 9 j + 27 i \end{matrix}$ $\begin{matrix} (vn) & [27, 9, 18] \end{matrix}$

Ahora normalizamos el vector:

(%i5)

(1/sqrt(vn.vn)).vn;

$\begin{matrix} (%o5) & [\frac{3}{\sqrt{14}}, \frac{1}{\sqrt{14}}, \frac{2}{\sqrt{14}}] \end{matrix}$

Por último, multiplicamos según el enunciado:

(%i6)

abs([1,–1,1].%);

$\begin{matrix} (%o6) & \frac{4}{\sqrt{14}} \end{matrix}$

Sistemas de ecuaciones

Hoy abordamos la solución de sistemas, que es el paso de las ecuaciones implícitas a ecuaciones paramétricas. Veámoslo con los siguientes ejemplos.

linsolve($[eq_1, …, eq_m], [x_1, …, x_n]$): Solves the list of simultaneous linear equations for the list of variables. The expressions must each be polynomials in the variables and may be equations.

Ejemplo: Resolver el sistema de ecuaciones \[\begin{matrix}2x+y-z=1 \\x-3y+2z=1 \\ -x+2y-4z=2\end{matrix}\]

El sistema puede tener infinitas soluciones, en cuyo caso estas se dan en forma paramétrica:

Ejemplo: Cuánto suman, en valor absoluto, las coordenadas del vector director unitario de la recta afín definida por las ecuaciones implícitas\[\begin{matrix}3x-y-z=2 \\ x+y-2z=1\end{matrix}\]

Ejemplo: Sea $\pi:2x-3y+z=5\in\mathbb{R}^3$ y $(a,3,1)$ perteneciente al subespacio director de $\pi$, ¿cuál es el valor de $a$?

Si el sistema no tiene solución linsolve devuelve una lista vacía. Veamos más ejemplos de su utilización.

Ejercicio: Determinar la suma de $a+b$ para que la solución sistema \[\begin{array}{l}8x-2y-z=1 \\ 9x-4y+bz=-2 \\ 2x+y+az=2\end{array}\] sea (1/3,1,-1/3)

Ejemplo: ¿Cuáles son las ecuaciones paramétricas de la variedad $\{(x,y,z,t,u)\in\mathbb{R}^5;x-2=y+3=z-1=t+2u\}$?

El sistema puede tener infinitas soluciones, en cuyo caso estas se dan en forma paramétrica:

Ejemplo: Resolver el sistema de ecuaciones \[\begin{matrix}3x-y-z+t=2 \\ x+y-2z-5t=1 \end{matrix}\]

Ejemplo: Sea $\pi:3x-y-z+t=2\in\mathbb{R}^4$ y $(a,3,2,1)$ perteneciente al subespacio director de $\pi$, ¿cuál es el valor de $a$?

Si el sistema no tiene solución linsolve devuelve una lista vacía.

Ejemplo: Determinar el núcleo de la aplicación $f:\mathbb{R}^3\to\mathcal{M}_2(\mathbb{R})$, dada por \[f(a,b,c)=\begin{bmatrix}-2c+b+a& -c-b\\ b+c & c-2b-a\end{bmatrix}\]

Ejercicio: Sea $f:\mathbb{R}^4\to\mathcal{M}_2(\mathbb{R})$, dada por \[f(a,b,c,d)=\begin{bmatrix}a+b-2d& a-3d\\ b+2c-2d & -d+2c-b-a\end{bmatrix}\] y $\vec{v}\in\mathbf{Ker}\,f$, entonces la suma, en valor absoluto, de las coordenadas de dicho vector normalizado es

L	M	X	J	V	S	D
						1
2	3	4	5	6	7	8
9	10	11	12	13	14	15
16	17	18	19	20	21	22
23	24	25	26	27	28