Abordemos una de los procesos más importantes en este tema:
Ejemplo: Dar una base ortogonal de la variedad \(S=\left\{\begin{bmatrix}1&2\\ 0& -1\end{bmatrix}+\left.\begin{bmatrix}a+b&3a-b\\ b& -a\end{bmatrix}\right|a,b\in\mathbb{R}\right\}\)
Ejemplo: Cuál sería la traza de la matriz producto de una base ortogonal obtenida de las matrices: \(\begin{bmatrix}1&2\\ 0& -1\end{bmatrix}\) y \(\begin{bmatrix}0&-1\\ 1& 3\end{bmatrix}\)
Ejemplo: Cuál sería la norma de la suma de los vectores de una base ortogonal obtenida de los polinomios: \(\left( -3 {{x}^{2}}+2 x+1\right)\) y\(\left( {{x}^{2}}-x-2\right)\) en \(\mathbb{R}_2[x]\)
Ejercicio: Sea B={(2,1,1),(1,0,10),(2,-3,11)} una base de \(\mathbb{R}^3\), ¿cuál es el la suma de las normas al cuadrado de una base ortogonal obtenida por un proceso de ortogonalización de Gram–Schmidt?
Complemento Ortogonal
Ejemplo: Sea \(\pi:\{(x,y,z,t)\in\mathbb{R}^4;\ 2x+y-z=0,\ x-y+3t=0\}\) un plano en \(\mathbb{R}^4\) y \(u\):[\(a\), 3, -2, -3]. ¿Cuál es el valor de \(a\) para que \(u\in S^\perp\)?
Ejemplo: Sea \(S=\{[[3a+2b,-2a-b],[b,a]]\in \mathcal{M}_2(\mathbb{R})\}\). Sean \(x,y\in\mathbb{R}\), tales que \(A=[[2,x],[y,-2]]\in S^\bot\), ¿cuál es \(\|A\|^2\)?
Ejemplo: Sea \(\pi:\{(x,y,z,t)\in\mathbb{R}^4;\ 2x+3y-z=0,\ y+2z-t=0\}\). ¿Cuál de los vectores a:[8,13,-2,-1], b:[8,-13,2,-1] y c:[-8,13,-2,1], pertenece a su ortogonal?
Ejemplo: Sea \(S:\{(x,y,z,t)\in\mathbb{R}^4;\ 2x+y-z=0,\ x-y+3t=0\}\). ¿Cuál es la \(\|\textbf{proy}_S([-1,0,2,1])\|\)?