Si deseamos dibujar una función en un eje coordenado, necesitamos saber su dominio, sus valores máximos y mínimos, el estudio del crecimiento y decrecimiento de la función, para que nos ayude a comprender mejor el comportamiento de la función y su gráfica.
En principio sabemos que toda función continua en un intervalo cerrado verifica el Teorema de Weierstrass:
Teorema: Si una función \(\displaystyle f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} \) es continua en un intervalo cerrado y acotado \([a,b]\), entonces \(f\) alcanza sus extremos absolutos, es decir, existen dos puntos \(x_{1},x_{2}\in [a,b]\) tales que \(f(x_{1})\leq f(x)\leq f(x_{2})\) para cualquier \(x\in [a,b]\).
Ahora necesitamos encontrar los máximos y mínimos de una función, conocidos colectivamente como extremos de una función; es decir, los valores más grandes (máximos) o más pequeños (mínimos), que toma una función en un punto situado ya sea dentro de una región en particular de la curva (extremo local o relativo) o en el dominio de la función en su totalidad (extremo global o absoluto).
Extremos relativos o locales
\( f:D\subset \mathbb {R}\longrightarrow \mathbb {R} \), sea \( x_{0}\in D\) y sea \( P=\,(x_{0},f(x_{0}))\) un punto perteneciente a la gráfica de la función. Se dice que \( P\) es un máximo local de \( f\) si existe un entorno reducido de centro \( x_{0}\), \( [x_{0}-\epsilon,x_{0}+\epsilon ]\), donde para todo elemento \( x\in[x_{0}-\epsilon,x_{0}+\epsilon ]\subset D\) se cumple \( f(x)\leq f(x_{0})\). Para que esta propiedad posea sentido estricto debe cumplirse \( f(x)<f(x_{0}).\)
Análogamente se dice que el punto \( P\) es un mínimo local de \( f\) si existe un entorno reducido de centro \( x_{0}\), \( [x_{0}-\epsilon,x_{0}+\epsilon ]\), donde para todo elemento \( x\in[x_{0}-\epsilon,x_{0}+\epsilon ]\subset D\) se cumple \( f(x)\geq f(x_{0}).\)
Extremos absolutos o globales
Sea \(f:D\subset \mathbb {R} \longmapsto \mathbb {R} \), sea \(x_{0}\in D\) y sea \(P=\,(x_{0},f(x_{0}))\) un punto perteneciente a la gráfica de la función.
Se dice que P es un máximo absoluto de \(f\) si, para todo \(x\) distinto de \(x_{0}\) perteneciente al subconjunto \(D\), su imagen es menor o igual que la de \(x_{0}\). Esto es: \(P=\,(x_{0},f(x_{0}))\) máximo absoluto de \(f\iff \forall x\neq x_{0},x\in D,f(x_{0})\geq f(x).\)
Análogamente, \(P\) es un mínimo absoluto de \(f\) si, para todo \(x\) distinto de \(x_{0}\) perteneciente al subconjunto \(D\), su imagen es mayor o igual que la de \(x_{0}\). Esto es: \(P\,(x_{0},f(x_{0}))\) mínimo absoluto de \(f\iff \forall x\neq x_{0},x\in D,f(x_{0})\leq f(x).\)
Determinación de puntos críticos
Podemos considerar un punto crítico de una función continua, \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), como el valor \(x=c\) en el dominio de \(f\) donde \(f'(c)=0\) o \(f'(c)\) no existe. Este punto crítico será un punto donde
- \(f\) tiene un máximo, sí \(f'(x)>0\) para \(x\in(c-\epsilon,c)\), y \(f'(x)<0\) para \(x\in(c,c+\epsilon)\)
- \(f\) tiene un mínimo, sí \(f'(x)<0\) para \(x\in(c-\epsilon,c)\), y \(f'(x)>0\) para \(x\in(c,c+\epsilon)\)
- \(f\) tiene un punto de inflexión, sí \(f'(c-\epsilon)f'(c+\epsilon)>0\)
Como la derivada es la pendiente de la tangente a la curva, vemos que su crecimiento o decrecimiento dependerá de esta:
- \(f\) es creciente en \(x_0\), sí \(f'(x_0)>0\)
- \(f\) es decreciente en \(x_0\), sí \(f'(x_0)<0\)
Ejemplo: Determinar los puntos críticos de \(f(x)=7x^2-3x + 5\).
Ejemplo: Determinar los puntos críticos de \(f(x)=x^{2/3}\).
Ejemplo: Determinar los puntos críticos de \(f(x)=e^{\sin \left(x^2\right)}\) en el intervalo [-2,2].
Ceros de una función real
Método de bisección
Uno de los problemas a la hora de determinar los puntos críticos es resolver la ecuación \(f^{\prime}(x)=0\), para ello, podemos utilizar el Teorema de Bolzano.
Teorema de Bolzano: Si una función continua, \(f(x)\), toma valores con signos opuestos en dos puntos \(a\) y \(b\) (es decir, \(f(a)·f(b)< 0\), entonces existe al menos un punto \(c\) en el intervalo \((a, b)\) donde \(f(c) = 0\)
Este teorema lo podemos utilizar para encontrar una aproximación a un cero de una función.
Método de bisección: El método consiste en lo siguiente:
- Debe existir seguridad sobre la continuidad de la función \( f\) en el intervalo \( [a,b]\)
- A continuación se verifica que \( f(a)\cdot f(b)<0\)
- Se calcula el punto medio \( m\) del intervalo \( [a,b]\) y se evalúa \( f(m)\) si ese valor es igual a cero, ya hemos encontrado la raíz buscada
- En caso de que no lo sea, verificamos si \( f(m)\) tiene signo opuesto con \( f(a)\) o con \( f(b)\)
- Se redefine el intervalo \( [a,b]\) como \( [a,m]\) o \( [m,b]\) según se haya determinado en cuál de estos intervalos ocurre un cambio de signo
- Con este nuevo intervalo se continúa sucesivamente encerrando la solución en un intervalo cada vez más pequeño, hasta alcanzar la precisión deseada
Ejemplo: Determinar los ceros de la ecuación \(x^4 + 2 x^3 – 3 x^2 + 2 x – 3=0\).
Método de Newton
Sea \({\displaystyle f:[a,b]\to \mathbb {R} }\) una función derivable definida en el intervalo real \({\displaystyle [a,b]}\). Si \(f({\displaystyle x_{0}})\) es un valor cercano al cero, entonces el proceso \[{\displaystyle x_{n+1}=x_{n}-{\frac {f(x_{n})}{f^{\prime}(x_{n})}}} \] genera una sucesión \(x_n\) que verifica \({\displaystyle\lim_{n\to\infty} f(x_n)=0}\).
Este método nos garantiza, que en determinadas condiciones, la sucesión converge rápidamente a una solución con la precisión que deseemos.
Ejemplo: Determinar \(\sqrt{2}\) con al menos 5 cifras decimales exactas.
Ejemplo: Determinar el cero de la ecuación \(x^4 + 2 x^3 – 3 x^2 + 2 x – 3=0\) en el intervalo (1,2).
Concavidad y convexidad
Recordad que trabajamos con funciones continuas y que sean derivables al menos en intervalo de trabajo.
Una función es cóncava en un intervalo (a,c), si para todo punto b del intervalo la recta tangente en ese punto queda por encima de la función. Otra forma de comprobarlo es verificar para todo punto del intervalo la recta tangente en ese punto queda por encima de la función; en consecuencia, su derivada es monótonamente decreciente en ese intervalo. A menudo también es llamada cóncava hacia abajo.
De Dnu72 – Trabajo propio, CC BY-SA 4.0, Enlace
Por otro lado, una función es convexa en un intervalo, si segmento que une dos puntos cualesquiera en el grafo de la función queda por encima de la función. Como se aprecia concavidad es lo opuesto a la convexidad. Motivo por el cual una función será convexa en un intervalo si y solo si su derivada es monótonamente creciente en ese intervalo. A una función convexa también se le llama cóncava hacia arriba.
De NalesnikLD – Trabajo propio, Dominio público, Enlace
Propiedad: Una función \(f\) es cóncava si la función \(-f\) es convexa.
Acabamos de establecer un criterio para conocer la concavidad que depende del crecimiento o decrecimiento de la derivada y, en consecuencia, de la derivada de la derivada; es decir, de la segunda derivada. Así, si \(f\) es una función continua y dos veces derivable en un intervalo \(I\subset\mathbb{R}\) será
- cóncava en \(x_0\), si \(f’'(x_0)<0\)
- convexa en \(x_0\), si \(f’'(x_0)>0\)
Ejemplo: En qué intervalos la función \(f(x)=x^4-4x^3\), es cóncava.
Esto nos ayuda a clarificar el comportamiento de la función en los puntos críticos: dadas las condiciones necesarias
- Si \(f'(x_0)=0\) y \(f’'(x_0)>0\), \(f\) tendrá un mínimo local en \(x_0\)
- Si \(f'(x_0)=0\) y \(f’'(x_0)<0\), \(f\) tendrá un máximo local en \(x_0\)
Ejemplo: Encuentre los valores absolutos máximo y mínimo de la función \(f(x)=x^3-3x^2+1\), \(\frac{-1}{2}\leq x\leq 4\).
Bibliografía
- Capítulo 4 del libro Cálculo de una variable, de James Stewart.
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Ejercicio: Sea la función \(f(x)=-3 + 4 x + 2 x^2 – 4 x^3 + x^4\), ¿cuántos puntos críticos tiene? |