Con los conocimientos trazados estas en condiciones de trazar la gráfica de cualquier función. El siguiente problema es el de optimización. El problema de optimización consiste en maximizar o minimizar una función real, y nuestro mayor dificultad reside en formalizar la función a optimizar. Por ejemplo, queremos saber la forma más económica para la fabricación de una lata teniendo en cuenta los costos de producción.
Ejemplo: El dueño de una piscifactoría ha determinado que si compra \(x\) peces (en millares), entonces, al cabo de un mes tendrá
\[f(x) = \frac{9x}{2x+4}\] peces. ¿Qué número de peces debe comprar para conseguir que la ganancia, \(f(x) – x\), sea máxima?
La cantidad óptima de peces que debe comprar será la que produzca el mayor valor de \(f(x) – x\), es decir, la que produzca el máximo absoluto en el intervalo \([0, +\infty)\), ya que el número de peces a comprar no puede ser negativo (en principio, cabe la posibilidad de que la máxima ganancia se produzca no comprando ninguno).
Luego el problema a resolver es
\[\begin{align*}
\text{Maximizar} \quad g(x) &= f(x) – x = \frac{9x}{2x+4} – x = \frac{5x-2x^2}{2x+4} \\
\text{para} \quad x &\in [0, +\infty).
\end{align*}\]
\(g\) es continua y derivable en \((0, +\infty)\).
Veamos los Puntos críticos de \(g\):
\[g'(x) = 0 \quad \Leftrightarrow \quad -4x^2 – 16x + 20 = 0 \quad \Leftrightarrow \quad x^2 + 4x – 5 = 0\]
Resolviendo la ecuación cuadrática, obtenemos \(x = -5\) y \(x = 1\). El valor \(x = -5\) no interesa, ya que está fuera del intervalo admisible. Por tanto, el único punto crítico de \(f\) en \((0, +\infty)\) es \(x = 1\).
Conocidas sus raíces, \(g'(x)\) se puede escribir \(g'(x) = -4(x+5)(x-1)\); puesto que \((2x+4)^2 > 0\) en \((0, +\infty)\), es evidente que
\[g'(x) \begin{cases}
> 0 & \text{en} \ (0, 1) \\
< 0 & \text{en} \ (1, +\infty)
\end{cases}
\]
y, en consecuencia, \(g\) tiene un máximo local en \(x = 1\), que también es máximo absoluto de \(g\) en \([0, +\infty)\).
Por tanto, el número óptimo de peces es 1 millar.
Ejemplo: La población de una especie sigue la siguiente función
\[
P(t) = a + \frac{t}{e^{t/2}}, \quad t \geq 0,
\]
donde \(P(t)\) es el número de individuos de la población (medidos en miles) y \(t\) el tiempo (medido en meses) y \(\alpha\) es una constante positiva.
a) Calcular \(\alpha\) sabiendo que inicialmente había 3000 individuos.
b) ¿En qué momento la población alcanza el máximo? ¿Cuánto es el valor de dicho máximo?
c) ¿A qué tiende la población en el futuro?
d) Si se sabe que una población está en peligro de extinción cuando el número de individuos es menor que 1000, ¿tiene esta población peligro de extinción?
a) Tenemos que ver para qué valor de \(\alpha\) se tiene
\[
P(0) = 3 \quad \Rightarrow \quad a = 3.
\]
b) El máximo absoluto de \(P(t) = 3 + \frac{t}{e^{t/2}} = 3 + t e^{-t/2}\) en el intervalo \([0, +\infty)\) solo puede ser un máximo relativo o el punto \(t = 0\).
Veamos si \(P\) tiene algún máximo relativo:
\[
P'(t) = e^{-t/2} – \frac{t}{2} e^{-t/2} = e^{-t/2} \left(1 – \frac{t}{2} \right) = 0 \quad \Rightarrow \quad t = 2.
\]
Claramente se tiene, puesto que \(e^{-t/2} > 0 \quad \forall t \in \mathbb{R}\), que
\[
P'(t) \begin{cases}
> 0 & \text{en} \ (0, 2) \Rightarrow P \text{ es creciente en} \ (0, 2) \\
< 0 & \text{en} \ (2, +\infty) \Rightarrow P \text{ es decreciente en} \ (2, +\infty)
\end{cases}
\]
Luego \(P\) tiene un máximo relativo en \(t = 2\), que claramente es también máximo absoluto en \([0, +\infty)\).
El máximo absoluto de \(P\) en \([0, +\infty)\) se alcanza en \(t = 2\) y \(P(2) \approx 3.736\) (3736 individuos).
c) Para ver a qué tiende la población tenemos que calcular
\[
\lim_{t \to +\infty} P(t) = \lim_{t \to +\infty} \left( 3 + \frac{t}{e^{t/2}} \right) = 3 + \lim_{t \to +\infty} \frac{t}{e^{t/2}} = 3
\]
lo que significa que la población tiende a estabilizarse en 3000 individuos.
d) Obviamente, no hay peligro de extinción:
\(P(0) = 3\), y \(P\) es creciente entre \(t = 0\) y \(t = 2\).
\(P\) es decreciente en \((2, +\infty)\), pero no desciende del valor 3, al que tiende asintóticamente.
Es decir, la población no desciende de 3000 individuos.
Ejemplo: La población de una especie sigue la siguiente función:
\[ P(t) = 1 + \frac{(t-\alpha)^2}{1+(t-\alpha)^2}, \quad t \geq 0, \alpha > 0,\]
donde \(P(t)\) es el número de individuos de la población (medido en miles) y \(t\) el tiempo (medido en meses).
(a) Calcula \(\alpha\) sabiendo que inicialmente había 1700 individuos, esto es \(P(0) = 1.7\).
(b) ¿En qué momento la población aumenta? ¿Cuándo disminuye? ¿Cuándo alcanza un mínimo?
(c) ¿A qué tiende la población en el futuro?
(a) Para encontrar el valor de \(\alpha\), sustituimos \(t = 0\) en la ecuación, \(P(0)=1.7\), y resolvemos para \(\alpha\):
\[
1.7 = 1 + \frac{a^2}{1+a^2}
\]
Resolviendo esta ecuación, obtenemos \(\alpha \approx 1.53\).
(b) Para estudiar el crecimiento y decrecimiento de la población, calculamos la derivada de \(P(t)\) respecto a \(t\):
\[
P'(t) = \frac{2(t-a)}{(1+(t-a)^2)^2}
\]
Analizando el signo de \(P'(t)\), podemos concluir que:
La población decrece cuando \(0 \leq t < \alpha\).
La población crece cuando \(t > \alpha\).
Por lo tanto, en \(t = \alpha\) la población alcanza un mínimo.
(c) Para determinar el comportamiento a largo plazo, calculamos el límite de \(P(t)\) cuando \(t\) tiende a infinito:
\[
\lim_{t \to +\infty} P(t) = 1 + \lim_{t \to +\infty} \frac{(t-\alpha)^2}{1+(t-\alpha)^2} = 1 + 1 = 2
\]
Esto significa que la población se estabiliza en 1000 individuos a largo plazo.
Ejemplo: Divida el número 120 en dos partes, tales que el producto \(P\) de una parte y el cuadrado de la otra constituya un máximo.
Sea \(x\) una parte y \(120-x\) la otra. Entonces, \(P = (120-x)x^2\) y \(0<x<120\). Como \(dP/dx = 3x(80-x)\), los puntos críticos son 0 y 80. \(P(0) = 0\), \(P(80) = 256000\) y \(P(120) = 0\). Por tanto, el valor máximo ocurre cuando \(x = 80\), y las partes requeridas son 80 y 40.
Notar que en estos problemas buscamos máximo o mínimos absolutos, de ahí que debamos tener en cuenta, si \(x_0\) es un punto crítico
será un máximo absoluto si \(f'(x)>0\forall\ x<c\) y \(f'(x)<0\forall\ x>c\)
será un mínimo absoluto si \(f'(x)<0\forall\ x<c\) y \(f'(x)>0\forall\ x>c\)
Regla de L’Hôpital
Terminamos con una última aplicación de las derivadas al cálculo de límites:
Regla de L’Hôpital: Sean \(f(x)\) y \(g(x)\) continuas en un intervalo de \(x_0\) salvo en el mismo, donde \(\displaystyle\lim_{x\to x_0}f(x)=\lim_{x\to x_0}g(x)=0\) , y \(g'(x)\neq 0\) para \(x\) suficientemente próximo a \(x_0\), entonces \[\lim_{x\to x_0}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x\to x_0}\frac{f^\prime(x)}{g^\prime(x)}\]
Del mismo modo, si \(\displaystyle\lim_{x\to x_0}f(x)=\lim_{x\to x_0}g(x)=\pm\infty\)\[\lim_{x\to \pm\infty}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x\to \pm\infty}\frac{f^\prime(x)}{g^\prime(x)}\]
Capítulo 4 del libro Cálculo de una variable, de James Stewart.
Ejercicio: El costo total de producir \(x\) compuestos omega-3 por día es \((\frac{1}{4} x^2 + 35x + 25)\)€ y el precio por unidad para la venta es \((50 -12 x )\)€. ¿Cuál debería ser la producción diaria para obtener una rentabilidad total máxima?
10
12
15.5
A.)
Observar que la rentabilidad sobre la venta de \(x\) compuestos omega-3 por día es \(P(x)=x(50 -12 x )-(\frac{1}{4} x^2 + 35x + 25)\)