Suma e intersección de subespacios
Ejemplo: Sean los subespacios vectoriales \(S=\textbf{Gen}\{[[1,2],[2,1]],\) \([[0,-1],[1,1]]\}\) \(\in\mathcal{M}_2(\mathbb{R})\) y \(T=\textbf{Gen}\{[[-1,0],[3,-1]],\)\([[1,9],[9,-2]]\}\in\mathcal{M}_2(\mathbb{R})\). Determinar las ecuaciones implícitas de \(S\cap T\).
Solución:
Ejemplo: Dados los subespacios anteriores, ¿cuáles son las sumas(en valor absoluto) de las coordenadas de las componentes normales de las ecuaciones implícitas que definen \(S+T\)?
Solución:
Veamos un problema de incidencia y paralelismo:
Ejemplo: Sean \(S=\left\{\begin{bmatrix}1&2\\ 0& -1\end{bmatrix}+\left.\begin{bmatrix}a+b&3a-b\\ b& -a\end{bmatrix}\right|a,b\in\mathbb{R}\right\}\) y \(T=\left\{\begin{bmatrix}0&-1\\ 1& 3\end{bmatrix}+\left.\begin{bmatrix}d&c-2d\\ -c& d+c\end{bmatrix}\right|c,d\in\mathbb{R}\right\}\) ¿Cuál es su posición relativa?
Solución:
El espacio vectorial euclídeo
Ejemplo: Calcular \(\begin{bmatrix}1&2\\ 0& -1\end{bmatrix}\bullet\begin{bmatrix}0&-1\\ 1& 3\end{bmatrix}\)
Solución:
Ejemplo: Calcular \(\left( -3 {{x}^{2}}+2 x+1\right) \bullet \left( {{x}^{2}}-x-2\right)\)
Solución:
Ejemplo: ¿Cuál es el coseno entre los vectores \(x-x^2\) y \(1+x+x^2\)?
Solución:
Ejemplo: Calcular \(\cos\left(\begin{bmatrix}1&2\\ 0& -1\end{bmatrix},\begin{bmatrix}0&-1\\ 1& 3\end{bmatrix}\right)\)
Solución:
Ejemplo: Calcular \(\text{dist}\left(\begin{bmatrix}1&2\\ 0& -1\end{bmatrix},\begin{bmatrix}0&-1\\ 1& 3\end{bmatrix}\right)\)
Solución:
Factorizción QR
Ejercicio: Encontrar la factorización QR de la matriz \[\begin{bmatrix}1 & 2\\
Solución:
(%i2) A : matrix ( [ 1 , 2 ] , [ − 1 , 3 ] ) ; R : matrix ( [ 0 , 0 ] , [ 0 , 0 ] ) $
\[{ }\begin{bmatrix}1 & 2\\-1 & 3\end{bmatrix}\]
(%i4) a1 : transpose ( col ( A , 1 ) ) [ 1 ] ; a2 : transpose ( col ( A , 2 ) ) [ 1 ] ;
\[{ }\left[ 1{,}-1\right] \]
\[{ }\left[ 2{,}3\right] \]
(%i6) v1 : a1 $ R [ 1 , 1 ] : sqrt ( a1 . a1 ) ;
\[{ }\sqrt{2}\]
\[{ }\left[ \frac{1}{\sqrt{2}}{,}-\frac{1}{\sqrt{2}}\right] \]
\[{ }-\frac{1}{\sqrt{2}}\]
\[{ }\left[ \frac{5}{2}{,}\frac{5}{2}\right] \]
(%i10) R [ 2 , 2 ] : sqrt ( v2 . v2 ) ;
\[{ }\frac{5}{\sqrt{2}}\]
\[{ }\left[ \frac{1}{\sqrt{2}}{,}\frac{1}{\sqrt{2}}\right] \]
(%i12) Q : transpose ( matrix ( q1 , q2 ) ) ;
\[{ }\begin{bmatrix}\frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}}\\-\frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}}\end{bmatrix}\]
\[{ }\begin{bmatrix}1 & 2\\-1 & 3\end{bmatrix}\]
Ejemplo: Determina la factorización QR de la matriz \(\begin{bmatrix}1 & 1 & 0 \\
Solución:
(%i3) A : matrix ( [ 1 , 1 , 0 ] , [ 1 , 0 , 1 ] , [ 0 , 1 , 1 ] ) $ R : zeromatrix ( 3 , 3 ) $ a : makelist ( transpose ( col ( A , i ) ) [ 1 ] , i , 1 , 3 ) ;
\[{ }\left[ \left[ 1{,}1{,}0\right] {,}\left[ 1{,}0{,}1\right] {,}\left[ 0{,}1{,}1\right] \right] \]
(%i6) v1 : a [ 1 ] $ R [ 1 , 1 ] : sqrt ( v1 . v1 ) $ q1 : v1 / R [ 1 , 1 ] ;
\[{ }\left[ \frac{1}{\sqrt{2}}{,}\frac{1}{\sqrt{2}}{,}0\right] \]
(%i11) R [ 1 , 2 ] : a [ 2 ] . q1 $ R [ 1 , 3 ] : a [ 3 ] . q1 $ v2 : a [ 2 ] − R [ 1 , 2 ] · q1 $ R [ 2 , 2 ] : sqrt ( v2 . v2 ) $ q2 : v2 / R [ 2 , 2 ] ;
\[{ }\left[ \frac{1}{\sqrt{2} \sqrt{3}}{,}-\frac{1}{\sqrt{2} \sqrt{3}}{,}\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}\right] \]
(%i15) R [ 2 , 3 ] : ratsimp ( a [ 3 ] . q2 ) $ v3 : a [ 3 ] − R [ 1 , 3 ] · q1 − R [ 2 , 3 ] · q2 $ R [ 3 , 3 ] : sqrt ( v3 . v3 ) $ q3 : v3 / R [ 3 , 3 ] ;
\[{ }\left[ -\frac{1}{\sqrt{3}}{,}\frac{1}{\sqrt{3}}{,}\frac{1}{\sqrt{3}}\right] \]
(%i17) Q : transpose ( matrix ( q1 , q2 , q3 ) ) $ print ( A , «=» , Q , «.» , R , «=» , Q . R ) $
\[\begin{align}\begin{bmatrix}1 & 1 & 0\\1 & 0 & 1\\0 & 1 & 1\end{bmatrix}&=\begin{bmatrix}\frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2} \sqrt{3}} & -\frac{1}{\sqrt{3}}\\\frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac{1}{\sqrt{2} \sqrt{3}} & \frac{1}{\sqrt{3}}\\0 & \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}} & \frac{1}{\sqrt{3}}\end{bmatrix}\cdot\begin{bmatrix}\sqrt{2} & \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}}\\0 & \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2} \sqrt{3}}\\0 & 0 & \frac{2}{\sqrt{3}}\end{bmatrix}\\ &=\begin{bmatrix}1 & 1 & 0\\1 & 0 & 1\\0 & 1 & 1\end{bmatrix}\end{align}\]
Ejercicio: ¿Cuál es \(\text{dist}\left( -3 {{x}^{2}}+2 x+1,{{x}^{2}}-x-2\right)\)?
Solución: