MathBio: Tasa de multiplicación constate y Ley del enfriamiento de Newton
Posted on 9 de diciembre de 2025
Hoy vamos a tratar dos modelos sencillos: Tasa de multiplicación constate y Ley del enfriamiento de Newton
Tasa de multiplicación constate
Cuando decimos Tasa de multiplicación constate, nos estamos refiriendo que \[\frac{dy}{dx}=a,\]
siendo \(a\in\mathbb{R}\) constante. En nuestros ejemplos, nos referimos que la velocidad de variación de una magnitud depende sólo del tiempo.
Ejercicio: Si el número de bacterias contenidas en 1 litro de leche se duplica en 6 horas, y suponiendo que la tasa de multiplicación es constante, ¿en cuánto tiempo se hará 12 veces mayor?
En general, este tipo de ecuaciones diferencias son de la forma \[\frac{dy}{dt}=a(t),\] donde \(a(t)\) es una función real de variable \(t\). Su solución es \[y(t)=\int a(t)\ dt.\]
Ejercicio: En un experimento de biotecnología, se estudia la concentración \( y(t) \) de un compuesto químico en un medio biológico. Se sabe que la tasa de acumulación del compuesto con respecto al tiempo sigue la relación:
\[y'(t) = \frac{1}{1+t}.\] Inicialmente, cuando \( t = 0 \), la concentración del compuesto es de \( y(0) = 2 \) unidades.
Encuentra la función \( y(t) \) que describe cómo evoluciona la concentración del compuesto en función del tiempo.
Calcula la concentración del compuesto cuando \( t = 3 \) horas.
Interpreta el resultado biológico: ¿cómo varía la acumulación del compuesto con el tiempo? ¿Qué implicaciones tiene para el diseño del experimento?
Vamos a resolver la ecuación diferencial. Reescribimos la ecuación diferencial:
\[
y'(t) = \frac{1}{1+t}.
\]
Integrando ambos lados con respecto a \( t \):
\[
y(t) = \int \frac{1}{1+t} \, dt = \ln|1+t| + C,
\]
donde \( C \) es la constante de integración.
Dado que \( 1 + t > 0 \) en el contexto del problema, podemos simplificar \( \ln|1+t| \) como \( \ln(1+t) \):
\[
y(t) = \ln(1+t) + C.
\]
Determinemos la constante de integración. Usamos la condición inicial \( y(0) = 2 \):
\[
2 = \ln(1+0) + C \implies 2 = \ln(1) + C \implies C = 2.
\]
Por lo tanto, la solución general es:
\[
y(t) = \ln(1+t) + 2.
\]
Ya hemos resuelto el primer apartado.
Para calcular \( y(3) \), sustituimos \( t = 3 \) en la solución:
\[
y(3) = \ln(1+3) + 2 = \ln(4) + 2.
\]
\[
y(3) \approx 1.386 + 2 = 3.386.
\]
Solo nos queda la interpretación: La concentración del compuesto crece de forma logarítmica en el tiempo, es decir, inicialmente aumenta más rápido, pero a medida que pasa el tiempo, el ritmo de acumulación disminuye. Esto podría indicar que el medio se satura gradualmente con el compuesto, limitando su velocidad de acumulación.
Ejercicio: En 1990 se arrojaron a un lago 1000 ejemplares de cierta especie de peces, de la que previamente no había ninguno. En 1997 se estimó que la cantidad de peces de esa especie que había en el lago en aquel momento era de 3000. Suponiendo que la velocidad de crecimiento de la población de peces es constante, calcular la cantidad de peces en los años 2000 y 2010.
Que la velocidad de crecimiento de la población sea constante, significa que, si llamamos
\[
p(t) \equiv \text{número de peces en el instante } t
\]
se tiene que
\[
p'(t) = k \quad \text{(constante)}
\]
El valor de esta constante, \( k \), no lo conocemos, de momento, pero veremos cómo se puede deducir utilizando adecuadamente el resto de la información de que disponemos.
La ecuación anterior se puede resolver (dejando la constante \( k \) como un parámetro) y se tiene
\[
p(t) = kt + C, \quad C \in \mathbb{R} \text{ arbitraria}
\]
Ahora tenemos dos constantes “desconocidas”: \( k \) y \( C \). Pero también tenemos dos informaciones que utilizar: sabemos que
\[
\begin{aligned}
1. \quad &p(0) = 1000 \quad \text{(inicialmente había 1000 peces)} \\
2. \quad &p(7) = 3000 \quad \text{(7 años después había 3000 peces)}
\end{aligned}
\]
Sustituyendo estos valores, para conocer la constante \(C\), se tiene:
\[
\begin{cases}
1000 = p(0) = k \cdot 0 + C \implies C = 1000, \\
3000 = p(7) = k \cdot 7 + C = 7k + 1000 \implies 7k = 2000 \implies k = \frac{2000}{7}.
\end{cases}
\]
Con esto ya se tiene la expresión exacta de la función que nos da el número de peces que hay en el lago en cualquier instante \( t \):
\[
p(t) = \frac{2000}{7}t + 1000
\]
y, con ella, ya se puede calcular lo que nos piden:
\[
p(10) = \frac{2000}{7} \cdot 10 + 1000 = \frac{27000}{7} \approx 3857,
\]
\[
p(20) = \frac{2000}{7} \cdot 20 + 1000 = \frac{47000}{7} \approx 6714.
\]
Ley del enfriamiento de Newton
El pasado día comentamos un caso particular del de variables separadas. Consideramos una EDO de variables separadas cuando \[\frac{dy}{dx}=\frac{f(x)}{g(y)}.\] Pues veamos un ejemplo de este tipo de EDO.
Ley del enfriamiento de Newton: La velocidad de enfriamiento de un cuerpo cálido cuya temperatura es \(T\), en un ambiente más frío \({\displaystyle T_{m}}\), es proporcional a la diferencia entre la temperatura instantánea del cuerpo y la del ambiente: \[\frac{T(t)}{dt}=-k(T-T_m)\]
Esta expresión no es muy precisa y se considera tan solo una aproximación válida para pequeñas diferencias entre \(T\) y \( T_{m}\). En todo caso, la expresión superior es útil para mostrar como el enfriamiento de un cuerpo sigue aproximadamente una ley de decaimiento exponencial: \[{\displaystyle T(t)=T_{{m} }+(T_{ {0} }-T_{ {m} })\ e^{-kt}}\]
Ejercicio: Un pequeño matraz con una disolución, cuya temperatura inicial es de 20º, se introduce en agua hirviendo, aumentando su temperatura 2º en un segundo. ¿Cuánto tiempo tarda en alcanzar 98ºC?
Utilizando la ley de Newton, sabemos que la temperatura inicial, \(T(0)=T_{0}=20ºC\), la temperatura del medio es \( T_{m}=100ºC\), y la temperatura en un segundo tras la inmersión es de \(T(1)=22ºC\). Luego \[{\displaystyle T(1)=22=T_{{m} }+(T_{ {0} }-T_{ {m} })\ e^{-r}}=100+(20-100)e^{-k},\] esto implica que \[\frac{22-100}{20-100}=e^{-k}\to k=\ln \tfrac{80}{78}=0.0253\]
Ya tenemos la función de enfriamiento que nos afecta: \[T(t)=100-80\ e^{-0.0253t}\] si queremos alcanzar los 98ºC, tendremos \[98=100-80\ e^{-0.0253t}\Rightarrow \frac{2}{80}=e^{-0.2025t}\Rightarrow t=\frac{1}{0.0253}\ln\frac{80}{2}=145.8\]
Bibliografía
Capítulo 7 del libro Biocalculus: Calculus for Life Sciences, de James Stewart.