ALG: Matrices con Maxima – Diario de clases

Matrices

Si queremos utilizar matrices nos bastará con definirla mediante matrix(). Las filas de definimos como vectores:

Ejercicio: Definir las matrices $A=\begin{bmatrix}1 & 2 & 3\\
4 & 5 & 6\end{bmatrix}$ y $B=\begin{bmatrix}1 & 2 \\ 3& 4 \\ 5 & 6\end{bmatrix}$.

(%i2)

A : matrix([ 1, 2, 3],[ 4, 5, 6]) ;
B : matrix([ 1, 2],[ 3, 4],[ 5, 6]) ;

$\begin{matrix} (A) & [\begin{matrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \end{matrix}] \end{matrix}$
$\begin{matrix} (B) & [\begin{matrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \\ 5 & 6 \end{matrix}] \end{matrix}$

La primera, A, sería una matriz de 2×3, B sería una matriz de 3×2. La manera de acceder a los elementos es mediante A[i,j].

Los operadores anteriores comentados para vectores funcionan igual en matrices. En el caso de elevar una matriz a una potencia tendríamos que utilizar "^^".

Otra forma de acceder a submatrices es con los comandos:

col((Matriz,NúmColumna)): Recupera la columna NúmColumna.
row((Matriz,NúmFila)): Recupera la fila NúmFila.
submatrix($i_1,i_2,\ldots,i_p$, Matriz,$j_1,j_2,\ldots,j_q$): Elimina de la Matriz las filas cuyos números son $i_1,i_2,\ldots,i_p$ y las columnas cuyos números son $j_1,j_2,\ldots,j_q$. No es preciso que estén ambas: pueden eliminarse únicamente filas o columnas.
addrow(Matriz, $v_1, \ldots, v_p$): Añade en la base de Matriz las filas dadas por vectores (o matrices) $v_1, \ldots, v_p$. Las longitudes deben ser concordantes.
addcol(Matriz, $v_1, \ldots, v_p$): Añade en la base de Matriz las filas dadas por vectores (o matrices) $v_1, \ldots, v_p$. Las longitudes deben ser concordantes.
matrix_size(Matriz): Proporciona las dimensiones de la matriz.
transpose(Matriz): Proporciona la matriz traspuesta de Matriz.
mat_trace($M$): dada la matriz $M$ nos devuelve su traza.

Algunas matrices interesantes:

diagmatrix(Número,Valor): Genera una matriz cuadrada diagonal cuyo tamaño se establece mediante el valor de Número y en la que todos los elementos de la diagonal tienen el mismo Valor.
diag_matrix($a_1,a_2,\ldots,a_n$): Genera una matriz diagonal cuadrada con $a_1,a_2,\ldots,a_n$ en la diagonal.
ident(Número): Genera la matriz identidad (cuadrada) cuyo tamaño viene dado por el valor Número; es un caso particular del anterior.
zeromatrix(n,m): Genera la matriz de n filas y m columnas en la que todos sus elementos son ceros.

Ejercicio: Construir la matriz \[\begin{pmatrix}2 & 2 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\
2 & 2 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & -1 & 0\\
0 & 0 & 3 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\
0 & 0 & 0 & 3 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\
0 & 0 & 0 & 0 & 3 & 0 & 0 & 0 & 0\\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 4 & 4 & 4 & 4\\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 4 & 4 & 4 & 4\\
0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 4 & 4 & 4 & 4\\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 4 & 4 & 4 & 4\end{pmatrix}\]

Ejercicio: Escribir en forma matricial el sistema \[\begin{matrix}x+2y=10\\ 2x-2y=4\\ 3x+5y=26\end{matrix}\]

Ejercicio: Dadas $A$=[[1,-3],[2,2],[4,1]] y $B$=[[-1,-7], [4,-5]], Si $C=B^t\cdot A^t$, ¿cuánto es $c_{12}$?

(%i4)

A:matrix([1,–3],[2,2],[4,1])$
B:matrix([–1,–7], [4,–5])$
C:transpose(A.B);
C[1,2];

$\begin{matrix} (C) & [\begin{matrix} - 13 & 6 & 0 \\ 8 & - 24 & - 33 \end{matrix}] \end{matrix}$
$\begin{matrix} (%o4) & 6 \end{matrix}$

Ejercicio: Sea $A=\begin{bmatrix} 1 & 3\\ \alpha & 1 \end{bmatrix}$, ¿cuál es el valor de $\alpha$ para el cual A es una raíz del polinomio $f(x)=x^2-2x-8$?

(%i2)

A : matrix([ 1, 3], [ x, 1]) $
A ^ ^ 2 – 2 * A – 8 * ident( 2) ;

$\begin{matrix} (%o2) & [\begin{matrix} 3 x - 9 & 0 \\ 0 & 3 x - 9 \end{matrix}] \end{matrix}$

(%i3)

solve(%[1,1],x);

$\begin{matrix} (%o3) & [x = 3] \end{matrix}$

Operaciones con matrices en maxima

El pasado día vimos como realizar transformaciones elementales para encontrar una matriz escalonada de cualquier matriz. Estas operaciones son fáciles con maxima utilizando estos comandos:

rowswap($M$, i, j): dada la matriz $M$ nos devuelve la misma donde la se han intercambiado las filas i y j, $f_i\leftrightarrow f_j$.
columnswap($M$, i, j): dada la matriz $M$ nos devuelve la misma donde la se han intercambiado las columnas i y j, $c_i\leftrightarrow c_j$.

Ejercicio: Dar las matrices de paso, por la izquierda y por la derecha, que verifica la semejanza \[\begin{bmatrix}
0 & 0 & 1 & 2 \\
0 & 0 & 2 & 1 \\
3 & 4 & 0 & 0 \\
4 & 3 & 0 & 0 \\
\end{bmatrix}\sim \begin{bmatrix}
0 & 0 & 3 & 4 \\
0 & 0 & 4 & 3 \\
1 & 2 & 0 & 0 \\
2 & 1 & 0 & 0
\end{bmatrix}\]

rowop($M$, i, j, $\alpha$): dada la matriz $M$ nos devuelve la misma donde la $f_i\leftarrow f_i-\alpha f_j$.
columnop($M$, i, j, $\alpha$): dada la matriz $M$ nos devuelve la misma donde la $c_i\leftarrow c_i-\alpha c_j$.

Con estos comandos podemos realizar las operaciones elementales que tratamos en clases anteriores. Sin embargo, una de las operaciones tiene un procedimiento más delicado: la multiplicación de una fila por un escalar. Imaginemos que el elemento $a_{ic}=\gamma$ de una matriz queremos que su valor sea $\beta$, necesitamos saber qué escalar $\alpha$ debemos multiplicar a la fila $f_i$ para que el comando rowop($M$, i, i, $\alpha$) transforme $a_{ic}=\gamma$ en $a_{ic}=\beta$. Luego \[\beta f_i={\gamma}f_i \ -\ {\gamma}{\alpha}f_i\to \alpha=1-\frac{\beta}{\gamma}.\]
De esta forma, solo necesitamos sustituir para encontrar el $\alpha$ apropiado que nos proporcione $\beta$.

Ejercicio: Dada $\begin{bmatrix}2 & \operatorname{-}4 & 3\\ 6 & \operatorname{-}8 & 5\\ 6 & 1 & 7\end{bmatrix}$. Encontrar una matriz triangular superior que sea semejante por operaciones elementales.

Ejercicio: Dada la matriz propuesta en el video, realizar las mismas operaciones con maxima para concluir con la matriz escalonada que proporciona.

Ejercicio: Realizar como anteriormente con la matriz dada en:

A veces, podemos necesitar comandos que nos ayuden a simplificar expresiones, algunos son:

expand(expr): Expande la expresión expr. Los productos de sumas y de sumas con exponentes se multiplican, los numeradores de las expresiones racionales que son sumas se separan en sus respectivos términos, y las multiplicaciones (tanto las que son conmutativas como las que no) se distribuyen sobre las sumas en todos los niveles de expr.
radcan(expr): Simplifica la expresión expr, que puede contener logaritmos, exponenciales y radicales, convirtiéndola a una forma canónica, lo que significa que todas las expresiones funcionalmente equivalentes se reducen a una forma única.
ratsimp(expr): Simplifica la expresión expr y todas sus subexpresiones, incluyendo los argumentos de funciones no racionales.
fullratsimp(expr): Aplica repetidamente ratsimp a una expresión, seguida de simplificaciones no racionales, hasta que no se obtienen más transformaciones; entonces devuelve el resultado.

Podéis ver más en Funciones y variables para simplificación

Rango de una matriz

Tenemos una función que nos permite calcular el rango de una matriz:

rank(M): Calcula el rango de la matriz M.

Ejercicio: Verifica el resultado del ejercicio

Ejercicio: Sea A:[[1,2,-3], [-2,0,4], [0,4,-2], [-2,-4,a]]. ¿Cuál es el valor de a para que el rango de la matriz sea par?

Ejercicio: Sea A:[[1,a,b,0], [2,2a,b,1], [2,3,b,0], [0,1,0,1]], con a,b$\in\mathbb{R}$. ¿Cuál es el rango de la matriz según los parámetros dados?

Inversa de una matriz

Recordad que para calcular la inversa de una matriz utilizaremos:

Sea $A$ matriz cuadrada de orden $n$. Si conseguimos mediante semejanza por transformaciones elementales una matriz tal que \[[A\, |\, I_n] \sim [I_n\, |\, B],\]entonces $B$ es la inversa de $A$.

Ejercicio: Dada la matriz A=[[1,1,0,0], [-1,1,-1,0], [0,1,1,1], [0,0,1,1]], ¿cuánto es $\mathbf{tr}(A^{-1})$

Inversa mediante los comandos de maxima

invert($M$): dada la matriz $M$ nos devuelve su inversa.
invert($M$),detout: dada la matriz $M$ nos devuelve su inversa con el determinante fuera.

Ejercicio: Utiliza estos comandos para encontrar la matriz $X$ tal que \[\begin{bmatrix}1&2\\ 3& 4\end{bmatrix}X=\begin{bmatrix}6&3\\ 19& 2\end{bmatrix}\]

Ejercicio: Sea A=[[-1,1,3], [1,-2,0], [1,-2,1], [1,0,1]], y $L$ su pseudoinversa. ¿cuánto es el valor de $\sum L[i,j]$

Bibliografía

Arriaza Gómez A. J., del Águila Garrido L., Rambla Barreno F., Redondo Neble M. V., Rodríguez Galván J. R., Viglialoro G. Manual de prácticas de Matemáticas con Máxima. Cádiz: Editorial UCA; 2015.

Ejercicio: Sea $A=\begin{bmatrix}1&1&-1\\ 2&0&1\end{bmatrix}$, ¿cuál es la suma de todos los elementos de su pseudoinversa?

L	M	X	J	V	S	D
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2	3	4	5	6	7	8
9	10	11	12	13	14	15
16	17	18	19	20	21	22
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