Ejercicio: Dada la matriz \[A=\begin{bmatrix}
2 & 4 & 1 & 12 \\
-1 & 1 & 0 & 3 \\
0 & -1 & 9 & -3 \\
7 & 3 & 6 & 9
\end{bmatrix}\in\mathcal{M}_4(\mathbb{R}),\] ¿es regular?
Ejercicio: Dada la matriz \[A=\begin{bmatrix}
-\alpha & \alpha-1 & \alpha+1 \\
1 & 2 & 3 \\
2-\alpha & \alpha+3 & \alpha+7
\end{bmatrix}\in\mathcal{M}_3(\mathbb{R}),\] ¿para que valores de \(\alpha\) la matriz no es regular?
Ejercicio: Cuál es el valor de \(\alpha\) para que el vector \([\alpha,2,-2]\) pertenezca al subespacio \(\mbox{Gen}\{[1,-2,-1],[3,2,-1]\}\)
Ejercicio: Justificar si el punto S(2,4,-13) es coplanario con los puntos P(1,-3,-1), Q(2,-2,1) y R(3,2,-4)
Ecuaciones implícitas
Utilizando los determinantes podemos construir la ecuación implícita de la recta en el plano afín que pasa por los puntos \(P(p_1,p_2)\) y \(Q(q_1,q_2)\), esta vendrá dada por:
\[\begin{vmatrix} x & y & 1\\ p_1 & p_2 & 1\\ q_1 & q_2 & 1 \end{vmatrix}=0\]
Ejercicio: Si \(Ax+By+D=0\) es la ecuación implícita de la recta pasa por los puntos \(P(1,3)\), \(Q(-1,2)\), ¿cuál es el valor del producto escalar del vector \([1,1]\) por el vector \(\frac{1}{\parallel[A,B]\parallel}[A,B]\)?
En el caso del espacio afín, la recta \(r:\{P(p_1,p_2,p_3)+\lambda(v_1,v_2,v_3)\}\), vendrá dada por las ecuaciones que plantean dos menores de orden dos de la matriz \[\begin{bmatrix}v_1 &x-p_1\\ v_2 &y-p_2\\ v_3 &z-p_3\\\end{bmatrix}\]
Proposición: Sea la recta \(r:\{P(p_1,p_2,p_3)+\lambda(v_1,v_2,v_3)\}\) y \(v_1\neq 0\) las ecuaciones implícitas que definen a la recta estarán dadas por las dos ecuaciones: \[ \begin{vmatrix} v_1 & x-p_1\\ v_2 & y-p_2 \end{vmatrix}=0\, , \begin{vmatrix} v_1 & x-p_1\\ v_3 & z-p_3 \end{vmatrix}=0\]
Si deseamos la ecuación implícita del plano en el espacio afín que pasa por un punto \(P(p_1,p_2,p_3)\) y que tiene por subespacio director el generado por los vectores \(\vec{v}=(v_1,v_2,v_3)\) y \(\vec{u}=(u_1,u_2,u_3)\), vendrá determinado por el determinante \[\begin{vmatrix} x-p_1 & y-p_2 & z-p_3\\ v_1 & v_2 & v_3 \\ u_1 & u_2 & u_3 \end{vmatrix}=0\]
Definición: Si \[Ax+By+Cz+D=0\] es la ecuación implícita de un plano en el espacio afín, se denomina vector normal al plano al vector \([A,B,C]\).
Si al vector normal lo dividimos por su norma, se denomina vector unitario normal.
Ejercicio: ¿Cuál es el valor del producto escalar del vector \([3,2,1]\) por el vector unitario normal de la ecuación implícita del plano que pasa por los puntos \(P(1,2,3)\), \(Q(-1,0,2)\) y \(R(4,-2,0)\)?
Aplicaciones geométricas de los determinantes
Con la definición de determinante podemos definir una operación especial entre vectores de \(\mathbb{R}^3\): el producto vectorial. El producto vectorial de dos vectores es a su vez un vector de \(\mathbb{R}^3\). El símbolo \(\times\) hace referencia al producto vectorial, que calculamos mediante:
\[\vec{v}\times\vec{u}=\begin{vmatrix}\vec{i} & \vec{j} &\vec{k}\\ v_1 & v_2 & v_3 \\ u_1 & u_2 & u_3\end{vmatrix}=\begin{vmatrix} v_2 & v_3 \\ u_2 & u_3\end{vmatrix}\vec{i}- \begin{vmatrix}v_1 & v_3 \\ u_1 & u_3\end{vmatrix}\vec{j} +\begin{vmatrix}v_1 & v_2 \\ u_1 & u_2 \end{vmatrix}\vec{k}\]
Propiedad: El producto vectorial es perpendicular a los vectores que lo forman:\[\vec{v}\perp (\vec{v}\times\vec{u}) \wedge \vec{u}\perp (\vec{v}\times\vec{u})\]
Ejercicio: ¿Cuál es la norma del vector normal al subespacio vectorial \(\mbox{Gen}\{(1,-1,2),(0,-1,3)\}\)?
Ejercicio: ¿Cuál es, en valor absoluto, el producto escalar del vector \([1,-1,1]\) por el vector unitario de la recta definida por las ecuaciones \(\pi_1:-6z+9y+x-1=0\) y \(\pi_2:15z-18y-4x-5=0\)?
Además, tenemos una fórmula que relación producto vectorial con el seno del ángulo que forman:\[\left \| \vec{v}\times\vec{u} \right \|=\left \|\vec{v} \right \|\, \left \| \vec{u} \right \| \, |\sin(\widehat{\vec{v}\vec{u}})|\]
El producto vectorial permite una definición muy útil: el producto mixto, que se define como:
\[[\vec{v},\vec{u},\vec{w}]=\vec{v}\bullet(\vec{u}\times\vec{w})\]
dado tres vectores \(\vec{v},\vec{u},\vec{w}\in\mathbb{R}^3\)
El producto mixto de tres vectores cumple una propiedad geométrica muy curiosa: es el volumen de un paralepípedo que tiene por lados los vectores indicados. Así se cumple que este volumen es:
\[[\vec{v},\vec{u},\vec{w}]=\begin{vmatrix} v_1 & v_2 & v_3 \\ u_1 & u_2 & u_3\\ w_1 & w_2 & w_3\end{vmatrix}\]
Bibliografía
- Capítulo 4 de Álgebra lineal y sus aplicaciones. 5º edición, David C. Lay. Pearson. 2016.
| Ejercicio: Dada la matriz \(\begin{bmatrix}1&0&0&1\\0&1&2&-1\\ 0&1&-1&0\\ 0&2&0&-1\end{bmatrix}\), ¿cuál es la traza de su inversa? |
El vector de la recta definida por las ecuaciones \(\pi_1:-6z+9y+x-1=0\) y \(\pi_2:15z-18y-4x-5=0\) vendrá dado por el producto vectorial de los vectores normales de cada plano: