MathBio: Álgebra con Maxima – Diario de clases

Hoy nos iniciamos en un sistema para la manipulación de expresiones simbólicas y numéricas, Maxima. Un herramienta informática que nos ayudará a resolver problemas de la asignatura de forma sencilla y aplicada.

Para comenzar nos iniciaremos en la definición de vectores y matrices, y las operaciones que podemos hacer con ellos.

Vectores

Un vector se define utilizando [] y los elementos del vector separados por comas. Con los vectores podemos hacer las operaciones básicas de suma y multiplicación por escalar.

v:[1,2,3]; 3.v+(-2).u;

Ejercicio: Sean los vectores $\mathbf{u}=[2,-1,5,0]$, $\mathbf{v}=[4,3,1,-1]$ y $\mathbf{w}=[-6,2,0,3]$. Si $\mathbf{x}+\mathbf{v}+3\mathbf{w}=2\mathbf{u}$, ¿cuánto suman las coordenadas de $\mathbf{x}$?

Ejercicio: Sean los vectores $u$=[2,-1], $u$=[1,1] y $w$=[-1,3], ¿cuánto es $\textbf{proy}_{w}(u)\bullet\textbf{proy}_{w}(v)$?

Matrices

Si queremos utilizar matrices nos bastará con definirla mediante matrix(). Las filas de definimos como vectores:

A:matrix([1,2,3],[4,5,6]); B:matrix([1,2],[3,4],[5,6]);

La primera, A, sería una matriz de 2×3, B sería una matriz de 3×2. La manera de acceder a los elementos es mediante A[i,j].

Ejercicio: Sea $A$=[[4,-1,6],[2,1,6],[2,-1,8]] y $B$=[[0,-1,5],[1,6,2],[1,8,0]]. ¿Cuál es la suma de los elementos de la diagonal principal de $2A-3B$?

(%i4)

A:matrix([4,–1,6],[2,1,6],[2,–1,8])$
B:matrix([0,–1,5],[1,6,2],[1,8,0])$
C:2*A–3*B;
C[1,1]+C[2,2]+C[3,3];

$\begin{matrix} (C) & [\begin{matrix} 8 & 1 & - 3 \\ 1 & - 16 & 6 \\ 1 & - 26 & 16 \end{matrix}] \end{matrix}$ $\begin{matrix} (%o4) & 8 \end{matrix}$

Otros comandos:

col((Matriz,NúmColumna)): Recupera la columna NúmColumna.
row((Matriz,NúmFila)): Recupera la fila NúmFila.
submatrix($i_1,i_2,\ldots,i_p$, Matriz,$j_1,j_2,\ldots,j_q$): Elimina de la Matriz las filas cuyos números son $i_1,i_2,\ldots,i_p$ y las columnas cuyos números son $j_1,j_2,\ldots,j_q$. No es preciso que estén ambas: pueden eliminarse únicamente filas o columnas.
addrow(Matriz, $v_1, \ldots, v_p$): Añade en la base de Matriz las filas dadas por vectores (o matrices) $v_1, \ldots, v_p$. Las longitudes deben ser concordantes.
addcol(Matriz, $v_1, \ldots, v_p$): Añade en la base de Matriz las filas dadas por vectores (o matrices) $v_1, \ldots, v_p$. Las longitudes deben ser concordantes.
matrix_size(Matriz): Proporciona las dimensiones de la matriz.
transpose(Matriz): Proporciona la matriz traspuesta de Matriz.

Las operaciones con matrices son semejantes a las utilizadas con los vectores.

Algunas matrices interesantes:

diagmatrix(Número,Valor): Genera una matriz cuadrada diagonal cuyo tamaño se establece mediante el valor de Número y en la que todos los elementos de la diagonal tienen el mismo Valor.
diag_matrix($a_1,a_2,\ldots,a_n$): Genera una matriz diagonal cuadrada con $a_1,a_2,\ldots,a_n$ en la diagonal.
ident(Número): Genera la matriz identidad (cuadrada) cuyo tamaño viene dado por el valor Número; es un caso particular del anterior.
zeromatrix(n,m): Genera la matriz de n filas y m columnas en la que todos sus elementos son ceros.

Uno de los ejercicios más comunes que realizaremos será el cálculo de rango, determinantes, menores e inversa de una matriz. Primero aprenderemos a realizarlo mediante operaciones elementales, consiguiendo una matriz escalonada o una matriz triangular. No obstante, tenemos los comandos que nos los proporcionan:

rank($M$): dada la matriz $M$ nos devuelve su rango.
determinant($M$): dada la matriz $M$ nos devuelve su determinante.
mat_trace($M$): dada la matriz $M$ nos devuelve su traza.
adjoint($M$): dada la matriz $M$ nos devuelve su adjunta.
minor($M,i,j$): dada la matriz $M$ nos devuelve el menor (i,j), esto es, elimina la fila i y la columna j de la matriz.
invert($M$): dada la matriz $M$ nos devuelve su inversa.
invert($M$),detout: dada la matriz $M$ nos devuelve su inversa con el determinante fuera.
ratsimp(expr): Simplifica la expresión expr y todas sus subexpresiones, incluyendo los argumentos de funciones no racionales.

Ejercicio: Cuál es el valor de x para que el rango de la matriz sea 2 \[\begin{bmatrix}
5 & -5 & -6\\
-5 & 3 & -1 \\
0 & x &7
\end{bmatrix}\]

Ejercicio: ¿Qué valores de $x$ hacen que la matriz no sea regular? \[\begin{bmatrix}
x & 1 & -1\\
0 & 2 & x \\
4 & 0 & -x
\end{bmatrix}\]

Ejercicio: ¿Cuál es la ecuación implícita del plano que pasa por los puntos $P(1,2,3)$, $Q(-1,0,2)$ y $R(4,-2,0)$?

(%i4)

P:[1,2,3]$Q:[–1,0,2]$R:[4,–2,0]$
ratsimp(determinant(matrix([x,y,z]–P,Q–P,R–P))=0);

$\begin{matrix} (%o4) & 14 z - 9 y + 2 x - 26 = 0 \end{matrix}$

Ejercicio: Justificar si el punto S(2,4,-13) es coplanario con los puntos P(1,-3,-1), Q(2,-2,1) y R(3,2,-4)

Ejercicio: ¿Cuál es el valor del producto escalar del vector $[1,-2,3]$ por el vector unitario normal de la ecuación implícita del plano que pasa por los puntos $P(1,-3,-1)$, $Q(2,-2,1)$ y $R(3,2,-4)$?

(%i6)

P:[1,–3,–1];Q:[2,–2,1];R:[3,2,–4]$
pq:Q–P$
pr:R–P$
rat(determinant(matrix([x,y,z]–P,pq,pr))=0);

$\begin{matrix} (P) & [1, - 3, - 1] \end{matrix}$ $\begin{matrix} (Q) & [2, - 2, 1] \end{matrix}$ $\begin{matrix} (%o6)/R/ & 3 z + 7 y - 13 x + 37 = 0 \end{matrix}$

(%i8)

vn:[–13,7,3]$
(vn.[1,–2,3])/sqrt(vn.vn),numer;

$\begin{matrix} (%o8) & - 1.19470196087995 \end{matrix}$

Ejercicio: ¿Cuál es la norma del vector perpendicular a los vectores $\vec{v}:[1,-2,3]$ y $\vec{u}:[3,1,-1]$?

(%i4)

v:[1,–2,3]$u:[3,1,–1]$
A:matrix([1,1,1],v,u)$
vxu:[determinant(minor(A,1,1)),
–determinant(minor(A,1,2)),
determinant(minor(A,1,3))];

$\begin{matrix} (vxu) & [- 1, 10, 7] \end{matrix}$

(%i5)

sqrt(vxu.vxu),numer;

$\begin{matrix} (%o5) & 12.24744871391589 \end{matrix}$

Ejercicio: ¿Cuál es la traza de la inversa de la matriz $A$=[[3,0,-1,1], [1,1,2,-1],[0,1,-1,0], [1,2,0,-1]]?

(%i3)

A:matrix([3,0,–1,1],[1,1,2,–1],
[0,1,–1,0],[1,2,0,–1])$
invA:invert(A);
mat_trace(A);

$\begin{matrix} (invA) & [\begin{matrix} \frac{1}{4} & - \frac{1}{4} & - \frac{3}{4} & \frac{1}{2} \\ 0 & 1 & 2 & - 1 \\ 0 & 1 & 1 & - 1 \\ \frac{1}{4} & \frac{7}{4} & \frac{13}{4} & - \frac{5}{2} \end{matrix}] \\ 0 errores, 0 advertencias \end{matrix}$ $\begin{matrix} (%o3) & 2 \end{matrix}$

Bibliografía

Arriaza Gómez A. J., del Águila Garrido L., Rambla Barreno F., Redondo Neble M. V., Rodríguez Galván J. R., Viglialoro G. Manual de prácticas de Matemáticas con Máxima. Cádiz: Editorial UCA; 2015.

Ejercicio: Sea la matriz [[1,2,-3],[-2,0,4],[0,4,-2],[-2,-4,$a$]], ¿cuál es el valor de $a$ para que el rango de la matriz sea par?