En matemáticas una aplicación lineal, es una aplicación entre dos espacios vectoriales, que preserva las operaciones de adición de vectores y multiplicación por un escalar.
Sean \({\displaystyle V}\) y \({\displaystyle W}\) espacios vectoriales sobre el mismo cuerpo \({\displaystyle K}\), aunque en nuestro caso este cuerpo será \(\mathbb{R}\). Una aplicación \({\displaystyle f}\) de \({\displaystyle V}\) en \({\displaystyle W}\), es decir, \({\displaystyle f:V\to W}\), es una transformación lineal si para todo par de vectores \({\displaystyle u,v\in V}\) y para todo escalar \({\displaystyle k\in \mathbb{R}}\), se satisface que:
- \({\displaystyle f(u+v)=f(u)+f(v)\,}\)
- \({\displaystyle f(ku)=kf(u)\,}\).
Así, por ejemplo, podemos definir la aplicación \(\Phi:\mathbb{R}^2\to \mathbb{R}^3\), dada por \(\Phi(x,y)=(x,y,0)\), que es lineal. Las propiedades que cumple \(\Phi\) implican que \(\mathbf{Im}\Phi\) es un subespacio vectorial isomorfo a \(\mathbb{R}^2\) y contenido en \(\mathbb{R}^3\); es decir, \(|\mathbb{R}^2|<|\mathbb{R}^3|\).
Ejercicio: Sea \(\mathbf{det}:\mathcal{M}_n\to\mathbb{R}\) que a cada matriz \(A\in\mathcal{M}_n\) le hace corresponder su determinante, \(\mathbf{det}(A)=|A|\). Probar si es lineal.
Ejercicio: Sea \(\mathbf{tr}:\mathcal{M}_n\to\mathbb{R}\) que a cada matriz \([a_{ij}]\in\mathcal{M}_n\) le hace corresponder su traza, \(\mathbf{tr}([a_{ij}])=\sum_{i=1}^na_{ii}\). Probar si es lineal.
Otra aplicación lineal muy interesante es la que nos relaciona el conjunto de las matrices con las n-tuplas reales. Así la aplicación de \(\Phi:\mathcal{M}_{n\times m}(\mathbb{R})\to \mathbb{R}^{n}\times \overset{m}{\cdots}\times\mathbb{R}^{n}\), ofrece la posibilidad de trabajar las columnas de una matriz como vectores reales.
Además, toda aplicación lineal tiene asociada una matriz, de modo que si \(f:\mathbb{R}^n\to \mathbb{R}^m\), tal que \[f(x_1,x_2,\ldots,x_n)=(y_1,y_2,\ldots,y_m),\] será
\[\mathbf{M}_f \begin{bmatrix}x_1\\ x_2\\ \vdots\\ x_n\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}y_1\\ y_2\\ \vdots\\ y_m\end{bmatrix}.\]
De este modo vemos que la imagen de un vector por una aplicación es el producto de una matriz por el vector. Así se facilita el cálculo de operaciones.
Proposición: Sea \(f:\mathbb{R}^n\to \mathbb{R}^m\) una aplicación lineal y \(B=\{\mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2,\ldots,\mathbf{v}_n\}\) una base de \(\mathbb{R}^n\). Entonces, la columna \(i\) de \(\mathbf{M}_f\) será \(f(\mathbf{v}_i)\).
Ejercicio: ¿Cuál es la matriz asociada a la aplicación lineal: \(f(x,y,z)=(2x-y,x-z,y+2z)\)
La matriz asociada a una aplicación lineal dependerá de la base que elijamos del espacio vectorial. Salvo que digamos lo contrario, siempre nos referiremos con matriz asociada, o matriz canónica, a la matriz asociada respecto de la base canónica del espacio vectorial.
Ejercicio: ¿Cuál es el determinante de la matriz canónica de la aplicación lineal: \(f(x,y,z)=(x-2z,y-3z,2z)\)
Dada una aplicación lineal, \(f\), se define el núcleo (ker) y la imagen (Im) de \(f:V\to W\) como:
- \(\mathbf{ker}(f)=\{\,v\in V:f(v)=0_W\,\}\)
- \(\mathbf{Im}(f)=\{\,w\in W: \exists v\in V:f(v)=w\,\}\)
Estas definiciones son muy importantes; por ejemplo, porque son la base de los sistemas de ecuaciones.
Ejercicio: Sea \(f(x,y,z)=(2x-y,x-z,y+2z)\), determinar \(\mathbf{ker}(f)\)
Dos resultados muy útiles:
Proposición: \(dim(\mathbf{Im}(f))=\mathbf{rank}(\mathbf{M}_f)\)
Es decir, para obtener \(\mathbf{Im}(f)\), basta con determinar el rango de la matriz asociada y elegir un número igual al rango, de vectores columna de la matriz, linealmente independientes. Dicho subconjunto formará una base de \(\mathbf{Im}(f)\)
Ejercicio: Sea \(f(x,y)=(2x-y,x-y,y)\), determinar una base de \(\mathbf{Im}(f)\)
Corolario: Sea \(\mathbf{Im}(f)=\mathbf{Gen}\{\vec{v}_1,\vec{v}_2,\ldots,\vec{v}_r\}\), vectores linealmente independientes. Entonces \(\vec{u}\in\mathbf{Im}(f)\Leftrightarrow \mathbf{rank}(\vec{v}_1,\vec{v}_2,\ldots,\vec{v}_r,\vec{u})=r \)
Esto nos permite deducir si un vector pertenece a la imagen.
Ejercicio: Sea \(f(x,y,z,t)=(2x-y+t,x-z-t,x+y+2z-2t)\), determinar si \([1,0,3]\in\mathbf{Im}(f)\)
Ejercicio: Sea \(f(x,y,z)=(2x-y,x-z,x+y+2z,2y-z)\), determinar si \([1,0,3,-1]\in\mathbf{Im}(f)\)
Así, defenimos el rango de una aplicación lineal como el rango de su matriz asociada: \(\mathbf{rank}(f)=\mathbf{rank}(\mathbf{M}_f)\)
Bibliografía
- Capítulo 2 de Álgebra lineal y sus aplicaciones. 5º edición, David C. Lay. Pearson. 2016.
| Ejercicio: La matriz \(\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&-2\\ 0&1&-1\end{bmatrix}\), es la matriz asociada a la aplicación: |