Uno de los ejemplos más habituales es encontrarnos con una función vectorial de una variable real que determina la posición de un punto en el espacio en determinado momento; es decir, una función de la forma
\[\textbf{r}(t)=f(t)\vec{\textbf{i}}+g(t)\vec{\textbf{j}}+h(t)\vec{\textbf{k}}.\]
Esto significa que para cada valor \(t\in D\subset\mathbb{R}\) en el dominio de \(\textbf{r}\) hay un vector único en \(\mathbb{R}^3\) que se denota con \(\textbf{r}(t)\). Si \(f(t)\), \(g(t)\) y \(h(t)\) son las componentes del vector \(r(t)\), entonces \(f\), \(g\) y \(h\) son funciones de valores reales llamadas funciones componentes de \(\textbf{r}\).
Si entendemos \(\textbf{r}(t)\) como un vector de \(\mathbb{R}^3\), \(x=f(t)\), \(y=g(t)\), \(z=h(t)\) reciben el nombre de ecuaciones paramétricas de \(\textbf{r}(t)\), y \(t\) se llama parámetro.
Ejemplo: Trace la curva cuya función vectorial es \(\textbf{r}(t)=[\cos t,\sin t,t]\)
La definición de límite de esta función vectorial se establece usando el límite de cada componente:
\[\lim_{t\to a}\textbf{r}(t)=\lim_{t\to a}f(t)\vec{\textbf{i}}+\lim_{t\to a}g(t)\vec{\textbf{j}}+\lim_{t\to a}h(t)\vec{\textbf{k}},\] de modo que existirá el límite si existe el de cada una de sus componentes. Este el paso previo para definir la continuidad de las funciones reales vectoriales: una función será continua en \(a\in D\) si\[\lim_{t\to a}\textbf{r}(t)=\textbf{r}(a)\]
Que nos equivale a que dada componente sea continua en \(a\).
Este tipo de funciones definen curvas en el espacio, o en el plano si el vector \(\textbf{r}(t)\in\mathbb{R}^2\). Para este tipo de funciones se define su derivada como:
\[\frac{d\textbf{r}}{dt}=\textbf{r}^\prime(t)=\lim_{h\to 0}\frac{\textbf{r}(t+h)-\textbf{r}(t)}{h}\]
Para calcular estas derivadas utilizaremos el siguiente resultado:
Teorema: Sea \(\textbf{r}(t)=f(t)\vec{\textbf{i}} +g(t)\vec{\textbf{j}}+ h(t)\vec{\textbf{k}}\), donde \(f,g,h\in\mathcal{C}[a,b]\) son funciones derivables, entonces
\[\frac{d\textbf{r}}{dt}=\textbf{r}'(t)=f'(t)\vec{\textbf{i}}+g'(t)\vec{\textbf{j}}+h'(t)\vec{\textbf{k}}\]
Genéricamente podemos decir que \(\textbf{r}(t)\) describe una curva en \(\mathbb{R}^n\). Su derivada nos servirá para calcular la tangente a un punto cualquiera de la curva:
Si \(\textbf{r}(t)\) es una función vectorial que describe la curva \(\mathbf{C}\), la recta tangente a \(\mathbf{C}\) en un punto \(\textbf{r}(t_0)\), con \(\textbf{r}'(t_0)\neq 0\), será \[\textbf{rt}(t)=\textbf{r}(t_0)+t\,\textbf{r}'(t_0)\]
Ejemplo: ¿Cuál es la recta tangente a la curva \(\textbf{r}(t)=[2\,\cos(t),\sin(t),t]\), en el punto \([0,1,\frac{\pi}{2}]\)?
Ejemplo: Sea \(\textbf{rt}(t)\) la recta tangente a la curva \(\textbf{r}(t)=[2t^2,t+t^2,3t]\), en el punto \([2,0,-3]\). ¿Cuánto vale \(||\textbf{rt}(1)||\)?
Triedro de Frênet-Serret
El Triedro de Frenet-Serret es un sistema de tres vectores ortonormales que describen la geometría local de una curva en el espacio.
Dado una función vectorial \(\textbf{r}(t)\), llamamos vector tangente unitario al vector \[\textbf{T}(t)=\frac{\textbf{r}'(t)}{||\textbf{r}'(t)||}\]
Ejemplo: Encuentra el vector tangente unitario \(\textbf{T}(t)\) en el punto de la función vectorial \(\textbf{r}(t)=[t^3+3t,t^2+1,3t+4]\) con el valor del parámetro \(t=1\)
Ejemplo: Dado el vector tangente unitario \(\textbf{T}(t)\) en el punto de la función vectorial \(\textbf{r}(t)=[t^3+3t,t^2+1,3t+4]\) con el valor del parámetro \(t=1\), ¿cuál es el producto escalar [1,1,1]\(.\textbf{T}(1)\)?
Ejemplo: Dado el vector tangente unitario \(\textbf{T}(t)\) de la función vectorial \(\textbf{r}(t)=[1+t^2,2+5t,-1+6t]\), ¿cuál es el producto escalar [3,5,7]\(.\textbf{T}(1)\)?
Dado una función vectorial \(\textbf{r}(t)\), llamamos vector normal unitario al vector \[\textbf{N}(t)=\frac{\textbf{T}^\prime(t)}{||\textbf{T}^\prime(t)||}\]
Ejemplo: Dado el vector normal unitario \(\textbf{N}(t)\) de la hélice circular \(\textbf{r}(t)=[\cos t,\sin t,t]\), ¿cuál es el producto escalar [1,-2,1]\(.\textbf{N}(\pi)\)?
Una forma de definir el Triedro de Frenet-Serret es como un sistema de referencia móvil que se mueve a lo largo de la curva. El vector tangente \(\textbf{T}\) apunta en la dirección del movimiento, el vector normal \(\textbf{N}\) apunta en la dirección en la que la curva se curva, y el vector binormal \(\textbf{B}\)(del que hablaremos después) que apunta en la dirección de la rotación del triedro.
El Triedro de Frenet-Serret es una herramienta poderosa para el estudio de curvas en el espacio. Proporciona información valiosa sobre la geometría local de la curva, que puede ser utilizada en una variedad de aplicaciones.
Plano osculador
El plano definido por los vectores directores \(\textbf{T}\) y \(\textbf{N}\) se llama plano osculador de la curva en el punto \(P\).
El nombre proviene de la palabra latina osculum, que quiere decir “beso”. Es el plano que está más cerca de contener la parte de la curva cerca de \(P\).
Propiedad: Sea \(\textbf{B}(t)=\textbf{T}(t)\times\textbf{N}(t)\) (vector binormal), el plano osculador de la curva en el punto \(P(t_0)=(p_0,p_1,p_2)\) es el que tiene por ecuación implícita \[(x-p_0,y-p_1,z-p_2).\textbf{B}(t_0)=0.\]
Ejemplo: Sea \(\Pi:Ax+By+Cz+D=0\) la ecuación implícita del plano osculador de la curva \(\textbf{r}(t)=[t,3\cos t,3\sin t]\), en el punto \(P(\pi,-3,0)\). Llamemos vector unitario del plano \(\Pi\) al vector, \(\textbf{u}=\frac{\textbf{v}}{\|\textbf{v}\|}\), siendo \(\textbf{v}=[A,B,C]\) ¿Cuál es el producto escalar [1,1,1]\(.\textbf{u}\)?
Como hemos visto en el ejemplo anterior para encontrar el plano no necesitamos utilizar los vectores tangente y normal unitarios, para trabajar más cómodamente podemos trabajar con sus proporcionales no normalizados, así los cálculos serán más sencillos. De este modo: \[\textbf{t}(t)={\textbf{r}^\prime(t)}\mbox{, y, } \textbf{n}(t)={\textbf{r}^{\prime\prime}(t)}.\]
Ejemplo: Sea \(\textbf{u}\) el vector unitario del plano osculador de la curva \(\textbf{r}(t)=[t, (1/2)t^2, t^2]\), en el punto \(P(0,0,0)\). ¿Cuál es el producto escalar [1,1,1]\(.\textbf{u}\)?
Bibliografía
- Capítulo 13 del libro Cálculo de varias variables, de James Stewart.
Ejercicio: Sea \(\textbf{u}\) el vector normal unitario del plano osculador de la curva \(\textbf{r}(t)=[t, e^t, e^{-t}]\), en el punto \(t_0=0\). ¿Cuál es el producto escalar [4,3,2]\(.\textbf{u}\)? |