Ejercicio: Dado un grafo representado por la matriz de adyacencia \[\begin{bmatrix}0&1&0&1&1\\ 1&0&1&0&0\\ 0&1&0&1&1\\ 1&0&1&0&1\\1&0&1&1&0\end{bmatrix}\] ¿Cuál de las siguientes afirmaciones no es cierta?
El grafo es conexo
El grafo es euleriano
El grafo es hamiltoniano
B.)
Si elevamos al cuadrado la matriz vemos que tiene 4 vértices con grado impar y por tanto no admite un circuito euleriano.
Ejercicio: Sea \(K_n\) el grafo completo con n vértices, n, \(( 3\leq n\)). ¿Cuál de las siguientes afirmaciones siempre es cierta?
\(K_n\) es hamiltoniano
\(K_n\) es euleriano
\(K_n\) es bipartido
A.)
Observemos que \(K_3\) es un triángulo, por tanto no puede ser bipartido. Si \(n\) es par los vértices de \(K_n\) tiene grado impar, luego no pueden ser eulerianos. Por último, si a \(K_n\) eliminamos todas sus diagonales nos queda un circuito que recorre todos los vértices.
Ejercicio: ¿Cuánto suman las cifras del mayor número primo de tres cifras que incluye un 3?
22
21
20
C.)
Si es un número de tres cifras el mayor será 999; por tanto, tiene que ser un primo menor de 999. Consideremos los números entre 990 y 999, solo son primos 991 y 997, ninguno tiene un 3 como cifra. Veamos ahora los primos entre 980 y 990. En este caso resulta el 983, que cumple nuestro propósito. Por tanto, \[9+8+3=20.\]