Comenzamos definiendo el número binomial \({n\choose k}\) mediante un proceso recursivo: Sea \[{n\choose 0}=1,\ \forall n\in\mathbb{Z}^+,\] definimos el número binomial \({n\choose k}\), para todos los números enteros \(n\geq k\geq 0\) como\[\binom{n}{k} = \binom{n-1}{k-1} + \binom{n-1}{k}\]
El número binomial se puede definir de otra forma, \[{n\choose k} = \frac{ n(n-1)(n-2)\cdots (n-k+1)}{1\cdot 2\cdot 3 \cdots (k-1)\cdot k}.\]
Proposición: \({n\choose m}=\frac{n!}{m!(n-m)!}\)
Proposición: \(C_{n,m}={n\choose m}\)
Ejercicio: Probar que \({n\choose m}={n\choose n-m}\).
Teorema del binomio
Si utilizamos esta definición la primera definición dada es una propiedad muy importante, que podéis ver en el El teorema de Pascal.
Con esto hemos sentados las bases para enunciar el Teorema del Binomio:
\[(x+y)^n=\sum_{k=0}^n {n \choose k}x^{n-k} y^k\]
Ejercicio: Calcular \[{n\choose 0}+{n\choose 1}+{n\choose 2}+\ldots+{n\choose n}\]
Ejercicio: Cuánto suman las cifras del resultado de \[\sum_{i=1}^{\frac{17+1}{2}}{17\choose i}\]
Ejercicio: Calcular \[{n\choose 0}-{n\choose 1}+{n\choose 2}-{n\choose 3}+\ldots+(-1)^n{n\choose n}\]
Un resultado interesante es el siguiente. Utilizando el teorema del binomio podemos ver que
\[(1+x)^n=\sum_{k=0}^n {n \choose k}x^{k}\]
Ejercicio: Calcular \[{n\choose 1}+2{n\choose 2}+3{n\choose 3}+\ldots+n{n\choose n}\]
Podemos extender el teorema del binomio al conocido resultado de la fórmula de Leibniz: Dados \(m\) enteros y un natural \(n\), se tiene
\[(x_1 + x_2 + \cdots + x_m)^n = \sum_{k_1+k_2+\cdots+k_m=n} {n \choose k_1, k_2, \ldots, k_m} \prod_{1\le t\le m}x_{t}^{k_{t}}\]
Aquí definimos los coeficientes multinomiales como \[{n \choose k_1, k_2, \ldots, k_m} =\frac{n!}{k_1!· k_2! \cdots k_m!}\]
donde \(k_1+ k_2+ \ldots+ k_m=n\).
Combinaciones con repetición
El pasado día definimos las combinaciones con repetición siendo \(CR_{n,m}=C_{n+m-1,m}\). Así \[CR_{n,m}={n+m-1 \choose m}.\]
De este modo podemos introducir los coeficientes \(\left(\!{n \choose m}\!\right)\) que hacen referencia a las combinaciones con repetición:\[\left(\!\!\!{n \choose m}\!\!\!\right)={n+m-1 \choose m}\]
Esto nos da pie a deducir que el número de coeficientes multinomiales de la fórmula de Leibniz es
\[{n+m-1 \choose m-1}\] que es coincidente con \[{n+m-1 \choose m-1}=\left(\!\!\!{m \choose n}\!\!\!\right)={m+n-1 \choose n},\]
ya que se corresponde con todos los posibles monomios \(x_1^{k_1} \cdot x_2^{k_2} \cdots x_m^{k_m}\).
Las combinaciones con repetición admiten una fórmula recursiva: \[CR_{n,m}=CR_{n-1,m}+CR_{n,m-1}, \ k\neq 1,\ n\neq 1\] siendo \(CR_{1,m}=1\) y \(CR_{1,m}=1\). Así \[\left(\!\!\!{n \choose m}\!\!\!\right)=\left(\!\!\!{n-1 \choose m}\!\!\!\right)+\left(\!\!\!{n \choose m-1}\!\!\!\right)\]
Como curiosidad, el número de soluciones enteras \(x_i>0\) de la ecuación \[x_1+ x_2+ \ldots+ x_m=n,\] siendo \(n>m\) es \[{n-1 \choose m-1}\]
Otra deducción observamos si consideramos \(x_1 = x_2 = \cdots = x_m=1\), en tal caso la suma de los coeficientes multinomiales de la fórmula de Leibniz es\[\sum_{k_1+k_2+\cdots+k_m=n} {n \choose k_1, k_2, \ldots, k_m}=m^n\]
Ejercicio: ¿Cuántas matriculas para automóviles pueden hacerse si cada matricula consta de tres consonantes y de cuatro dígitos? (considerar 26 letras del alfabeto) |