El último día abordamos los campos vectoriales, hoy nos adentraremos en los campos escalares y cómo calcular sus derivadas.
Como las derivadas en una variable, las derivadas parciales están definidas como el límite. Donde U es un subconjunto abierto de \(\mathbb{R}^n\) y \(f:U\to\mathbb{R}\) una función. Definimos derivada parcial de f en el punto \(\mathbf{{a}}=(a_1,a_2,\ldots,a_n)\) con respecto a la \(i-\)ésima variable xi como:
\[\frac{ \partial }{\partial x_i }f(\mathbf{a}) = \lim_{h \rightarrow 0}{ f(a_1, \dots , a_{i-1}, a_i+h, a_{i+1}, \dots ,a_n) – f(a_1, \dots ,a_n) \over h }\]
En realidad, las parciales es una particularización de las derivadas direccionales, ya que estas son derivadas direccionales en los vectores paralelos a los ejes.
Ejemplo: Sea \(f(x,y)=x^2+xy+y^3\), ¿cuál es el valor de \(\frac{\partial f}{\partial y}(1,1)\) ?
Ejemplo: Sea \(f(x,y)=\frac{x}{(x+y)^2}\). ¿Cuánto vale \(f_x(1,1)+f_y(1,1)\)?
Derivación implícita
Ahora una curva que define a \(y\) en forma nos permite obtener la derivada de una función implícita como una función derivable de \(x\), es decir, \(y=f (x)\), donde \(F(x, f (x))=0\) para toda \(x\) en el dominio de \(f\), es fácilmente derivable utilizando la derivación implícita: \[\frac{\partial F}{\partial x}\frac{dx}{dx}+\frac{\partial F}{\partial y}\frac{dy}{dx}=0,\] si \(\frac{\partial F}{\partial y}\neq 0\), tendremos \[\frac{dy}{dx}=-\frac{\partial_x F}{\partial_y F },\]
con siempre que \(\partial_y F\neq 0\).
Ejemplo: Sea \(x^2-xy+2y^3=0\), ¿cuál es el valor de \(y^\prime(x_0)\) en (1,-1)?
Ejemplo: Sea \(f(x,y)=\frac{x}{(x+y)^2}\). ¿Cuánto vale \(\frac{dy}{dx}(1,0)\)?
En el caso \(F(x, y, f(x, y)) = 0\) si \(z = f(x, y)\) define una función implícita para \(z\) en términos de \(x\), \(y\) entonces podemos calcular sus derivadas parciales de la siguiente manera, usando la regla de la cadena
\[\frac{\partial F}{\partial x }\ \frac{\partial x}{\partial x }+
\frac{\partial F}{\partial y }\ \frac{\partial y}{\partial x }+
\frac{\partial F}{\partial z }\ \frac{\partial z}{\partial x }=0\Rightarrow \]
\[\frac{\partial F}{\partial x }\ \frac{\partial x}{\partial x }+
\frac{\partial F}{\partial z }\ \frac{\partial z}{\partial x }=0\]
ya que \(\frac{\partial y}{\partial x }=0\). Luego
\[\frac{\partial z}{\partial x }= -\frac{\partial_x F}{\partial_z F },\]
siempre que \(\partial_z F\neq 0\).
Ejemplo: Sea \(f(x,y,z)=x^2+y^2+z^2-3\), ¿cuál es el valor de \(\frac{\partial z}{\partial y}(1,1,1)\) ?
Plano tangente a una superficie
Como en el caso de las funciones reales que la derivada nos proporcionaba la tangente a un curva, ahora las parciales nos proporcionan el plano tangente a una superficie:
Supongamos que las derivadas parciales de \(f\) son continuas. Una ecuación del planto tangente a la superficie \(z=f(x,y)\) en el punto \((x_0,y_0,z_0)\) es \[z-z_0=f_x(x_0,y_0)(x-x_0)+f_y(x_0,y_0)(y-y_0)\]
Ejemplo: Determinar la ecuación de la recta tangente a la curva \(xy-y^2-2y^3=0\), en el punto (1,-1)
Bibliografía
- Capítulo 14 del libro Cálculo de varias variables, de James Stewart.
Ejercicio: Cuál es el plano tangente al paraboloide elíptico \(z=2x^2+y^2\) en el punto (1,1,3)? |