Hoy abordamos las solución de sistemas, que es el paso de las ecuaciones implícitas a ecuaciones paramétricas. Veamoslo con los siguientes ejemplos.
- linsolve(\([eq_1, …, eq_m], [x_1, …, x_n]\)): Solves the list of simultaneous linear equations for the list of variables. The expressions must each be polynomials in the variables and may be equations.
Ejemplo: Resolver el sistema de ecuaciones \[\begin{matrix}2x+y-z=1 \\x-3y+2z=1 \\ -x+2y-4z=2\end{matrix}\]
El sistema puede tener infinitas soluciones, en cuyo caso estas se dan en forma paramétrica:
Ejemplo: Cuánto suman, en valor absoluto, las coordenadas del vector director unitario de la recta afín definida por las ecuaciones implícitas\[\begin{matrix}3x-y-z=2 \\ x+y-2z=1\end{matrix}\]
Ejemplo: Sea \(\pi:2x-3y+z=5\in\mathbb{R}^3\) y \((a,3,1)\) perteneciente al subespacio director de \(\pi\), ¿cuál es el valor de \(a\)?
Si el sistema no tiene solución linsolve devuelve una lista vacía. Veamos más ejemplos de su utilización.
Ejercicio: Determinar la suma de \(a+b\) para que la solución sistema \[\begin{array}{l}8x-2y-z=1 \\ 9x-4y+bz=-2 \\ 2x+y+az=2\end{array}\] sea (1/3,1,-1/3)
Ejemplo: ¿Cuáles son las ecuaciones paramétricas de la variedad \(\{(x,y,z,t,u)\in\mathbb{R}^5;x-2=y+3=z-1=t+2u\}\)?
El sistema puede tener infinitas soluciones, en cuyo caso estas se dan en forma paramétrica:
Ejemplo: Resolver el sistema de ecuaciones \[\begin{matrix}3x-y-z+t=2 \\ x+y-2z-5t=1 \end{matrix}\]
Ejemplo: Sea \(\pi:3x-y-z+t=2\in\mathbb{R}^4\) y \((a,3,2,1)\) perteneciente al subespacio director de \(\pi\), ¿cuál es el valor de \(a\)?
Si el sistema no tiene solución linsolve devuelve una lista vacía. Veamos más ejemplos de su utilización.
Ahora estamos en condiciones de poder calcular el núcleo y la imagen de una aplicación lineal: \[\mathbf{Ker}\,f=\{\vec{v}\in V; M_fC_\vec{v}=C_0\}\] \[\mathbf{Im}\,f=\mathbf{Gen}\{M_fB\},\] donde \(B\) es una base de \(V\).
Ejemplo: Determinar el núcleo de la aplicación \(f:\mathbb{R}^3\to\mathcal{M}_2(\mathbb{R})\), dada por \[f(a,b,c)=\begin{bmatrix}-2c+b+a& -c-b\\ b+c & c-2b-a\end{bmatrix}\]
Ejemplo: Determinar las ecuaciones implítas de la imagen de la aplicación \(f:\mathbb{R}^3\to\mathcal{M}_2(\mathbb{R})\), dada por \[f(a,b,c)=\begin{bmatrix}-2c+b+a& -c-b\\ b+c & c-2b-a\end{bmatrix}\]
Ejercicio: Sea \(f:\mathbb{R}^4\to\mathcal{M}_2(\mathbb{R})\), dada por \[f(a,b,c,d)=\begin{bmatrix}a+b-2d& a-3d\\ b+2c-2d & -d+2c-b-a\end{bmatrix}\] y \(\vec{v}\in\mathbf{Ker}\,f\), entonces la suma, en valor absoluto, de las coordenadas de dicho vector normalizado es |