Ya hemos visto unas aplicaciones de la derivada, hoy veremos sus usos en:
- Determinación de valores máximos y mínimos
- Crecimiento y decrecimiento de una función
- Puntos críticos
- Problemas de optimización
Uno de los problemas del estudio de las funciones es encontrar sus valores máximos y mínimos. Unido al estudio del crecimiento y decrecimiento de la función, nos ayuda comprender mejor el comportamiento de la función y conocer con mayor detenimiento su gráfica. Los puntos críticos serán aquellos que nos sirvan para determinar dónde cambia la función, y, recordad, una de las principales cuestiones que nos planteamos son los cambios.
Podemos considerar un punto crítico de una función continua, \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), como el valor \(x=c\) en el dominio de \(f\) donde \(f'(c)=0\) o \(f'(c)\) no existe. Este punto crítico será un punto donde
- \(f\) tiene una máximo, si \(f'(x)>0\) para \(x\in(c-\epsilon,c)\), y \(f'(x)<0\) para \(x\in(c,c+\epsilon)\)
- \(f\) tiene una mínimo, si \(f'(x)<0\) para \(x\in(c-\epsilon,c)\), y \(f'(x)>0\) para \(x\in(c,c+\epsilon)\)
- \(f\) tiene un punto de inflexión, si \(f'(c-\epsilon)f'(c+\epsilon)>0\)
Como la derivada es la pendiente de la tangente a la curva, vemos que su crecimiento o decrecimiento dependerá de esta:
- \(f\) es creciente en \(x_0\), si \(f'(x_0)>0\)
- \(f\) es decreciente en \(x_0\), si \(f'(x_0)<0\)
Ejemplo: Determinar los puntos críticos de \(f(x)=7x^2-3x + 5\).
Ejemplo: Determinar los puntos críticos de \(f(x)=x^{2/3}\).
Ejemplo: Determinar los puntos críticos de \(f(x)=e^{\sin \left(x^2\right)}\) en el intervalo [-2,2].
Recordad que trabajamos con funciones continuas y que sean derivables al menos en intervalo de trabajo.
La gráfica de una función la concluimos con el estudio de la concavidad y convexidad de la misma. Una función es cóncava en un intervalo cuando dados dos puntos cualesquiera del intervalo el segmento que los une queda por debajo de la curva. Otra forma de comprobarlo es verificar para todo punto del intervalo la recta tangente en ese punto queda por encima de la función; en consecuencia su derivada es monótonamente decreciente en ese intervalo. A menudo también es llamada cóncava hacia abajo.
Por otro lado, un función es convexa en un intervalo, si segmento que une dos puntos cualesquiera en el grafo de la función queda por encima de la función. Como se aprecia concavidad es lo opuesto a la convexidad. Motivo por el cual una función sera convexa en un intervalo sí y solo si su derivada es monótonamente creciente en ese intervalo. A una función convexa también se le llama cóncava hacia arriba.
Acabamos de establecer un criterio para conocer la concavidad que depende del crecimiento o decrecimiento de la derivada y, en consecuencia, de la derivada de la derivada; es decir, de la segunda derivada. Así, si \(f\) es una función continua y dos veces derivable en un intervalo \(I\subset\mathbb{R}\) será
- cóncava en \(x_0\), si \(f’'(x_0)<0\)
- convexa en \(x_0\), si \(f’'(x_0)>0\)
Ejemplo: En qué intervalos la función \(f(x)=x^4-4x^3\), es cóncava.
Esto nos ayuda a clarificar el comportamiento de la función en los puntos críticos: dadas las condiciones necesarias
- Si \(f'(x_0)=0\) y \(f’'(x_0)>0\), \(f\) tendrá un mínimo local en \(x_0\)
- Si \(f'(x_0)=0\) y \(f’'(x_0)<0\), \(f\) tendrá un máximo local en \(x_0\)
Ejemplo: Encuentre los valores absolutos máximo y mínimo de la función \(f(x)=x^3-3x^2+1\), \(\frac{-1}{2}\leq x\leq 4\).
Con los conocimientos trazados estas en condiciones de trazar la gráfica de cualquier función. El siguiente problema es el de optimización. El problema de optimización consiste en maximizar o minimizar una función real, y nuestro mayor dificultad reside en formalizar la función a optimizar. Por ejemplo, queremos saber la forma más económica para la fabricación de una lata teniendo en cuenta los costos de producción.
Ejemplo: Divida el número 120 en dos partes tales que el producto \(P\) de una parte y el cuadrado de la otra constituya un máximo.
Notar que en estos problemas buscamos máximo o mínimos absolutos, de ahí que debamos tener en cuenta, si \(x_0\) es un punto crítico
- será un máximo absoluto si \(f'(x)>0\forall\ x<c\) y \(f'(x)<0\forall\ x>c\)
- será un mínimo absoluto si \(f'(x)<0\forall\ x<c\) y \(f'(x)>0\forall\ x>c\)
Regla de L’Hôpital
Terminamos con una última aplicación de las derivadas al cálculo de límites:
Regla de L’Hôpital: Sean \(f(x)\) y \(g(x)\) continuas en un intervalo de \(x_0\) salvo en el mismo, donde \(\displaystyle\lim_{x\to x_0}f(x)=\lim_{x\to x_0}g(x)=0\) , y \(g'(x)\neq 0\) para \(x\) suficientemente próximo a \(x_0\), entonces \[\lim_{x\to x_0}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x\to x_0}\frac{f^\prime(x)}{g^\prime(x)}\]
Del mismo modo, si \(\displaystyle\lim_{x\to x_0}f(x)=\lim_{x\to x_0}g(x)=\pm\infty\)\[\lim_{x\to \pm\infty}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x\to \pm\infty}\frac{f^\prime(x)}{g^\prime(x)}\]
Ejercicio: \[\lim_{x\to \infty}\frac{\ln\ x}{x}\]
Ejercicio: \[\lim_{x\to 0^+}x\ln\ x\]
Ejercicio: \[\lim_{x\to 0}\frac{x+\sin(2x)}{x-\sin(2x)}\]
Bibliografía
- Capítulo 4 del libro Cálculo de una variable, de James Stewart.
Ejercicio: El costo total de producir \(x\) compuestos omega-3 por día es \((\frac{1}{4} x^2 + 35x + 25)\)€ y el precio por unidad para la venta es \((50 -12 x )\)€. ¿Cuál debería ser la producción diaria para obtener una rentabilidad total máxima? |