El pasado día comentábamos que si buscamos una tangente a la curva, dada por la función \(f(x)\), en \(x_0\), esta tendrá la ecuación
\[y-f(x_0)=\tan\phi_0(x-x_0)\]
Y bastaba con observar que
\[\lim_{x\to x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}=\tan\phi_0.\]
Este es el concepto derivada.
Sea \(f\) una función definida en un punto \(x_0\) de un intervalo \((a,b)\), denominaremos derivada de \(f\) en \(x_0\) al valor del límite, cuando exista,
\[\displaystyle\lim_{x\to x_0}\dfrac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}\]
En ese caso lo notaremos mediante \(f'(x_0)\).
Esta definición es equivalente a \[\displaystyle\lim_{h\to 0}\dfrac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}=f'(x_0),\] y más apropiada para definir la función derivada.
Llamamos función derivada de la función \(f\) en el intervalo \([a,b]\) a la función
\[f'(x)=\lim_{h\to 0}\dfrac{f(x+h)-f(x)}{h},\; \forall x\in[a,b]\]
cuando este existe.
Una función es derivable si existe su derivada en todos los puntos de su dominio. Recordemos que para esto debe existír y coincidir los límites laterales. Esto nos lleva a observar que una función puede ser continua en un punto, pero no derivable; por ejemplo, la función \(f(x)=|x|\) es continua en \(x=0\), pero no derivable. Sin embargo, toda función derivable es continua.
El paso siguientes es conocer las reglas de derivación para poder derivar cualquier función conocida. Recordemos que
\[\begin{array}{l}
\forall \;\lambda,\mu\in\mathbb{R} ,\ (\lambda f\pm \mu g)’ =\lambda f’\pm \mu g’ \\
(f\cdot g)’ =f’g+fg’, \\
\dfrac{f}{g}=\dfrac{f’g-fg’}{g^2}, \mbox{ si } g(x)\neq 0 \\
\end{array}\]
Podemos ver más propiedades de las funciones continuas en la bibliografía referenciada.
Regla de la cadena: Si \(h(x)=f(g(x))\) entonces \[h^\prime(x)=f(^\prime g(x))g\prime()\]
Ejemplo: Determinar el valor de \(f^\prime(1)\) donde \[f(x)=e^{\sin \left(x^2\right)}\]
Ejemplo: Determinar el valor de \(f^\prime(1)\) donde \[f(x)=\sin \left(x^2+\frac{1}{x}\right)\]
Ejemplo: Determinar el valor de \(f^\prime(1)\) donde \[f(x)=\log \left(\sqrt{x+2}+2x\right)\]
Derivación implícita
Hemos visto cómo calculamos la derivada de una función \(y=f(x)\), pero en muchos casos la función no está dada de forma explícita. Por ejemplo, consideremos el folium de Descartes, \(x^3+y^3=6xy\)
En este caso, para derivar la función podemos utilizar el concepto de diferencial, \(dy=f'(x)dx=y’dx\), y la regla de la cadena. De modo que \[d(x^3+y^3)=d(6xy)\Rightarrow 3x^2dx+3y^2(y’dx)=6ydx+6x(y’dx)\]
Simplificando \(dx\) estaremos en condiciones de despejar \(y’\).
A este proceso se le denomina derivación implícita.
Ejemplo: Determinar el valor de \(y^\prime(3)\) en el punto \((3,-9)\) de la curva \(y^2-x^3+2xy=0\)
Ejemplo: Determinar el valor de \(y^\prime(1)\) en el punto \((1,1)\) de la curva \(xy^2+y=2x\)
Si hemos planteado la derivada para encontrar la recta tangente, esta nos permite determinar la normal.
La recta tangente en un punto \(x_0\) a una curva \(y=f(x)\) vendrá dada por
\[y-f(x_0)= f'(x_0)(x-x_0),\]
con lo cual, (\(-f'(x_0),1\)) es el vector director de la recta como subespacio vectorial en el plano real.
Ejemplo: ¿Cuál es la recta tangente a la curva \(xy^2+y=2x\) en el punto (1,1)?
La normal es perpendicular a la recta tangente, por tanto \((1/f'(x_0),1)\) será su vector director, y la recta quedará definida mediante:
\[y-f(x_0)= \frac{-1}{f'(x_0)}(x-x_0).\]
Ejemplo: ¿Cuál es la recta normal a la curva \(xy^2+y=2x\) en el punto (1,1)?
Ejemplo: Sea \(n(x)\) la recta normal a la curva \(xy^2+y=2x\) en el punto (-1,2), ¿cuál es el valor de \(n(1)\)?
Bibliografía
- Capítulo 3 del libro Biocalculus: Calculus for Life Sciences, de James Stewart.
Ejercicio: ¿Cuál es la recta tangente a la curva \(y=\frac{x^2-1}{x^2+x+1}\) en el punto (1,0)? |