Hoy vamos a tratar las funciones reales de una varias variables y el cálculo diferencial. Primero aprenderemos definir una función y realizar su gráfica.
Funciones
Una función ordinaria es aquella que ha sido construida mediante cualquiera de los métodos define o := y que es invocada utilizando paréntesis.
Ejemplo: Determina la suma de los valores de la función \(f(x)=x\,e^{1-x^2}\) para \(x_i=\frac{i}{4}\) para \(i\in\{1,\ldots,5\}\)
- define(\(f(x_1,\ldots, x_n)\), expr): Define una función de nombre \(f\) con argumentos \(x_1,\ldots, x_n\) y cuerpo expr. define evalúa siempre su segundo argumento, a menos que se indique lo contrario con el operador de comilla simple.
Esta función la utilizaremos más adelante.
Gráfica de una función
- wxplot2d(expresión, [variable,mínimo,máximo],opciones): La función wxplot2d representa uno o más gráficos en dos dimensiones. Las expresiones o nombres de funciones que se utilicen para definir curvas deben depender todas ellas de una única variable var, siendo obligatorio utilizar x_range para nombrar la variable y darle sus valores mínimo y máximo usando la siguiente sintaxis: [variable, min, max].
Ejemplo: Dibuja la función \(f(x)=x\,e^{1-x^2}\) para \(x\in[-3,3]\)
Límites
Si queremos calcular un limite utilizaremos:
- limit(expr)
- limit(expr, x, val)
- limit(expr, x, val, dir): Calcula el límite de expr cuando la variable real x se aproxima al valor val desde la dirección dir. El argumento dir puede ser el valor plus para un límite por la derecha, minus para un límite por la izquierda o simplemente se omite para indicar un límite en ambos sentidos.
Ejemplo: Calcular \[\lim_{x\to 0}\frac{3^x-3^{-x}}{3^x+3^{-x}}\]
Ejemplo: Calcular \[\lim_{x\to \pm \infty}\frac{3^x-3^{-x}}{3^x+3^{-x}}\]
Ejemplo: Estudiar la continuidad de la función \(f(x)=\frac{x-1}{\sqrt{x^2-3x+2}}\)
Ejemplo: Estudiar la continuidad de la función \(f(x)=\frac{x^2-4x-21}{x-7}\)
Ejemplo: Calcular los límites de la función \(f(x)=\frac{x^2+2x-1}{(x-1)e^x}\), en 0, \(\pm \infty \) y los laterales en 1.
Propiedades de las funciones continuas
En muchos casos tendremos que buscar un cero de una función, aunque veremos métodos para encontrar las soluciones de una ecuación, vamos a trabajar con un resultado que nos ayudará a practicar más con maxima.
TeoremaSea \(\displaystyle f:[a,b]\to \mathbb{R}\) una función real continua en \([a,b]\) con \(f(a)<0<f(b)\) \(c\in (a,b)\) tal que \(f(c)=0\).
Este resultado nos proporciona el conocido método de bisección: dado un intervalo, es suficiente con verificar la diferencia de signo de la función entre los extremos y el punto medio, para determinar en qué subintervalo se encuentra la solución.
Ejemplo: Encontrar el cero de \(f(x)=x^3+x^2-x-2\) con el método de bisección.