Antes de comenzar con El plano afín \(\mathbb{R}^2\) y el espacio afín \(\mathbb{R}^3\) veamos una aplicación más de maxima con las aplicaciones lineales.
Composición de aplicaciones lineales con maxima
Dadas dos aplicaciones lineales \(f:V\to V’\) y \(g:V’\to W\) se define la aplicación lineal \(f\) compuesto con \(g\), \((g\circ f):V\to W\), como \[(g\circ f)(\vec{v})=g(f(\vec{v})),\quad \forall\vec{v}\in V.\]
De este modo la composición de aplicaciones se puede realizar mediante multiplicación de matrices
\[(g\circ f)(\vec{v})=g(f(\vec{v}))\Leftrightarrow M_g(M_f\vec{v})\Leftrightarrow (M_g\cdot M_f)\vec{v}\]
Ejemplo: Sean las aplicación lineales \(f:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}_3[X]\) dada por \(f(a,b,c)=a+(b-a)X+(c-a)X^2+(2a-b)X^3\), y \(g:\mathbb{R}_3[X]\to\mathcal{M}_2(\mathbb{R})\) dada por \(g(p_0+p_1X+p_2X^2+p_3X^3)=\begin{bmatrix}p_0& p_2-p_1\\ p_1-p_2 & p_3\end{bmatrix}\). Determinar la matriz asociada de la composición \(g\circ f\) y su expresión en función de \([a,b,c]\).
Ejemplo: Aplicar el ejemplo anterior para determinar \((g\circ f)(-1,3,1)\)
El plano afín \(\mathbb{R}^2\)
En la pasada clase definimos el plano, veamos cómo expresamos las variedades que contienen dichos espacios mediante sus ecuaciones implícitas y paramétricas.
Vimos que las ecuaciones paramétricas de una recta en el plano afín que pasa por un punto \(P(p_1,p_2)\) y que tiene por subespacio director el generado por el vector \(\vec{v}=(v_1,v_2)\), vendrá dada de la forma: \[r=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2;(x,y)=(p_1,p_2)+\lambda(v_1,v_2),\lambda\in\mathbb{R}\}\]
Ejemplo: Determinar si los puntos P(4,1), Q(3,-4) y R(2,-1) son colineales.
Un resultado más práctico nos dice que la ecuación implícita de la recta en el plano afín que pasa por los puntos \(P(p_1,p_2)\) y \(Q(q_1,q_2)\) vendrá dada por el determinante:
\[\begin{vmatrix} x & y & 1\\ p_1 & p_2 & 1\\ q_1 & q_2 & 1 \end{vmatrix}=0\]
Ejemplo: ¿Cuánto suman los coeficientes que multiplican a \(x\) e \(y\) en la ecuación implícita de la recta del plano afín que pasa por los puntos P(4,1) y Q(7,-4)?
El espacio afín \(\mathbb{R}^3\)
En el espacio afín una recta que pasa por un punto \(P(p_1,p_2,p_3)\) y que tiene por subespacio director el generado por el vector \(\vec{v}=(v_1,v_2,v_3)\), vendrá dada de la forma: \[r=\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3;(x,y,z)=(p_1,p_2,p_3)+\lambda(v_1,v_2,v_3),\lambda\in\mathbb{R}\}\]
Ejemplo: Determinar las ecuaciones paramétricas de la recta que pasa por los puntos P(4,1,2) y Q(3,-4,0)
Ejemplo: Determinar las ecuaciones implícitas de la recta que pasa por los puntos P(4,1,2) y Q(3,-4,0)
También podemos utilizar el resultado que nos dice que la ecuación implícita del plano en el espacio afín que pasa por un punto \(P(p_1,p_2,p_3)\) y que tiene por subespacio director el generado por los vectores \(\vec{v}=(v_1,v_2,v_3)\) y \(\vec{u}=(u_1,u_2,u_3)\), vendrá determinado por el determinante \[\begin{vmatrix} x-p_1 & y-p_2 & z-p_3\\ v_1 & v_2 & v_3 \\ u_1 & u_2 & u_3 \end{vmatrix}=0\]
Ejemplo: Determinar la ecuación implícita del plano que pasa por el punto P(4,1,2) y tiene por vectores directores \(\vec{v}(1,5,3)\) y \(\vec{u}(3,-2,1)\)
Ejemplo: Sea S(\(x\),4,-3), ¿qué valor de \(x\) hace que S sea coplanario con P(0,-2,1), Q(1,-2,-3) y R(1,-3,1)?
Ejercicio: ¿Cuál de los puntos dados es coplanario con los puntos P(2,2,-1), Q(1,2,-3) y R(3,-2,1)? |
Dados estos dos puntos la recta vendrá dada por uno de ellos, por ejemplo P, y el vector director obtenido de la resta de ambos, \(\overrightarrow{PQ}\)