Una función real de variable real \(f:D\to\mathbb{R}\) es una correspondencia de \(D\subset\mathbb{R}\) en \(\mathbb{R}\) que asigne a todo \(x\in D\) a lo más un número real \(y=f(x)\).
Esta definición nos da paso a definir el dominio:
\[\mathcal{D}(f)=\{x\in D;\ \exists f(x)\in\mathbb{R} \} =Dom(f)\]
E imagen:
\[Im(f)=\{y\in \mathbb{R};\ \exists x\in D,\ f(x)=y \} \]
Como vemos trabajamos sobre el conjunto de los números reales. Los números reales tiene estructura algebraica de cuerpo, lo que confiere ciertas propiedades(aquí las tenéis, Número real).
Una de las más interesantes es que satisface el axioma del supremo:
Todo conjunto no vacío y acotado superiormente tiene un supremo.
con los números reales podemos crear sucesiones; es decir, una aplicación, \(\phi:\mathbb{N}\to\mathbb{R}\), dada mediante \(\phi(i)=a_i\) donde \(a_i\) es un número real. Normalmente mostraremos esta sucesión ordenada y la notaremos por \((a_n)_{n=0}^\infty\) o simplemente \((a_n)\).
Las sucesiones pueden ser de diversas formas, pero a nosotros nos interesan aquellas que siguen un determinado patrón.
Decimos que una sucesión de números reales, \((a_n)\), tiene por límite el número real \(a\), y lo notaremos \(\displaystyle\lim a_n=a\), si para todo número real positivo \(\epsilon\) existe un número natural, \(\eta\), a partir del
cual la diferencia entre \(a\) y el término de la sucesión es menor que \(\varepsilon\); expresado de otro modo
\[ \forall\:\epsilon\in\mathbb{R},\epsilon>0\;\exists\;\eta\in\mathbb{N}; \ \eta\leqslant n\Longrightarrow |a-a_n|\leqslant\epsilon \]
De aquí lo trasladamos fácilmente a una función:
Diremos que \(\alpha\in\mathbb{R}\) es el límite de \(f(x)\) cuando \(x\) tiende a \(x_0\) en un intervalo \(I\), y lo notaremos mediante \[\displaystyle\lim_{x\to x_0}f(x)=\alpha,\] si para todo \(\epsilon\in\mathbb{R}\) existe \(\delta\in\mathbb{R}\), tal que \(|x-x_0|\leqslant \delta\) con \(x\in I\) y \(x\neq x_0\), cumple que \(|f(x)-\alpha|\leqslant\epsilon\).
Acabamos de introducir el concepto más importantes del cálculo. Como dice George Brinton Thomas, en su libro Calculo una variable, «El concepto de límite de una función es una de las ideas fundamentales que distingue al cálculo del álgebra y la trigonometría». En síntesis, el cálculo es el estudio de límites.
Tomemos ahora una función de una variable \({\displaystyle f:D\subseteq \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} }\) y un punto \(x\) del dominio \(D\) de esta función, aproximándose a \(c\), pero tomando solo valores más grandes que él. Formalmente estaríamos tomando los \(x\) que verifican \({\displaystyle 0<x-c<\delta }\)para ciertos \(\delta\). Si la función tiende a un valor \(L^+\), se dice que «existe el límite por derecha» y se denota así \[\lim _{{x\to c^{+}}}f(x)=L^{+}\]
Tomando valores más pequeños, es decir los \(x\) tales que \(0<-(x-c)<\delta \), el límite puede ser escrito como:\[\lim_{{x\to c^{-}}}f(x)=L^{-}\]
Si los dos límites anteriores son iguales:\[\lim_{{x\to c^{-}}}f(x)=\lim _{{x\to c^{+}}}f(x)=L\] entonces \(L\) se pueden referir como el límite de \(f(x)\) en \(c\). Dicho de otro modo, si los límites laterales no son iguales, entonces el límite no existe.
Límite de | Expresión |
---|---|
Una constante | |
La función identidad | |
El producto de una función y una constante | |
Una suma | |
Una resta | |
Un producto | |
Un cociente | |
Una potencia | |
Un logaritmo | |
El número e | |
Función f(x) acotada y g(x) infinitesimal | . |
Ejemplo: Determinar \(\lim_{x\to 4}\frac{x-4}{x^2-x-12}\)
Ejemplo: Determinar \(\lim_{x\to 2}\frac{4-x^2}{3-\sqrt{x^2+5}}\)
Sin embargo, cuando \(x\) tiende a \(a\), \(f(x)\) poco a poco se vuelve mayor, o menor, que cualquier número positivo, negativo, previamente determinado, por grande, o pequeño, que fuere, decimos que \(f(x)\) tiende a \(+\infty\), o \(-\infty\).
Los conceptos de límite ya mencionados pueden extenderse de forma obvia al caso en que la variable tiende a \(+\infty\) o \(-\infty\)
Ejemplo: Determinar \(\lim_{x\to +\infty}\left(2+\frac{1}{x^2}\right)\)
Ejemplo: Determinar \(\lim_{x\to +\infty}\frac{2x^3}{x^2+1}\)
Ejemplo: Determinar \(\lim_{x\to \infty}\frac{x^2+x-2}{4x^3-1}\)
Para conocer y saber aplicar los límites podemos cosultarlo en la bibliografía o visitar en enlace que nos dice sus propiedades: Límites de funciones.
Este concepto nace para tratar dos problemas: el cálculo de áreas y el de tangentes. Comencemos con el de tangente. La tangente a una curva en un punto P es una recta que toca a la curva solo en dicho punto.
Si buscamos una tangente a la curva, dada por la función \(f(x)\), en \(x_0\), esta tendrá la ecuación
\[y-f(x_0)=\tan\phi_0(x-x_0)\]
Para calcular esta tangente, basta con observar que es
\[\lim_{x\to x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}=\tan\phi_0.\]
Este es el concepto derivada, pero antes debemos abordar el de una función continua. Para que una función tenga derivada debe ser continua.
Diremos que una función definida en un intervalo real es continua en \(x_0\) cuando los límites laterales son iguales y además coinciden con el valor de la función en el punto; es decir,
\[\lim_{x\to {x_0}^{-}}f(x)=\displaystyle\lim_{x\to {x_0}^{+}}f(x)=f(x_0).\]
Ejemplo: Determinar la continuidad de \(f(x)=\frac{x^3-27}{x^2-9}\) en el intervalo [0,4]
Las discotinuidades de funciones que cumplen las características anteriores se los denominan salvables o removibles.
Ejemplo: Determinar la continuidad de \(f(x)=\frac{x^2+x-2}{(x-1)^2}\) en el intervalo [0,2]
Cuando los límites laterales no existen decimos que la función presenta una discontinuidad no removible o insalvable.
Una función es continua si es continua en todos los puntos de su dominio.
Ejemplo: Determinar la continuidad de \(f(x)=\frac{4-x^2}{3-\sqrt{X^2+5}}\)
Ejemplo: Determinar la continuidad de \[f(x)=\left\{\begin{array}{cl}x & \mbox{si } x\leq 0\\x^2 & \mbox{si } 0<x<1\\2-x & \mbox{si } x\geq 0\\\end{array}\right.\]
Sean \(f\) y \(g\) son dos funciones continuas en el mismo dominio, entonces
\[\begin{array}{rl}
\lambda f\pm \mu g & \mbox{es continua}, \forall \;\lambda,\mu\in\mathbb{R} \\ f\cdot g & \mbox{es continua}, \\ \dfrac{f}{g}& \mbox{es continua en cada } x\in\mathcal{D}\;|\; g(x)\neq 0 \\ \end{array}\]
Podemos ver más propiedades de las funciones continuas en la bibliografía referenciada y en el enlace Función continua.
Bibliografía
- Capítulo 1 y 2 del libro Biocalculus: Calculus for Life Sciences, de James Stewart.
Ejercicio: ¿Cuál de las siguientes funciones es continua en todo su dominio? |