Se dice que una ecuación diferencial (ED) es cualquier ecuación que contiene las derivadas de una o más variables dependientes con respecto a una o más variables independientes
Con el objetivo de referirnos a ellas, debemos clasificar las ecuaciones diferenciales
por tipo, orden y linealidad.
Si una ecuación diferencial contiene únicamente derivadas ordinarias de una o más variables dependientes con respecto a una sola variable independiente, se dice que es una ecuación diferencial ordinaria (EDO)
Para nosotros será habitual encontrarnos una ecuación diferencial(ED) como una ecuación del tipo \[F(x,y,y′,y″,\ldots,y^{(n)})=0,\]
que relaciona una variable independiente \(x\) y una función \(y=y(x)\) junto con una o más de sus derivadas.
O también, \[\frac{d^ny}{dx^n}=f(x,y,y′,y″,\ldots,y^{(n-1)})\] donde \(f\) es una función continua con valores reales,
Así nos centraremos en las EDO de la forma \[\frac{dy}{dx}=f(x,y)\ _\wedge \ \frac{d^2y}{dx^2}=f(x,y,y’)\]
Consideraremos una solución de una EDO a toda función \(\phi\), definida sobre un intervalo \(I\) y que posea al menos \(n\) derivadas continuas sobre \(I\), y que al ser sustituida en una ecuación diferencial ordinaria de
\(n\)-ésimo orden reduzca la ecuación a una identidad, se dice que es una solución de la ecuación sobre el intervalo; es decir, \[F(x,\phi(x),\phi′(x),\ldots,\phi^{(n)}(x))=0\ \forall x\in I\]
En muchos casos, esa solución, la expresamos en una relación \(G(x,y)=0\), que denominamos solución implícita, y que nos dice que existe al menos una función \(\phi\) que satisface tanto a la relación \(G(x, \phi(x)) = 0\), como la ecuación diferencial sobre un intervalo \(I\)
Como en el caso de las primitivas de una función, si \(\phi\) es una solución que que contiene una sola constante arbitraria o parámetro \(c\), su expresión en forma implícita, \(G(x,y,c)=0\), da pie a una familia de soluciones paramétricas. De este modo, al resolver una ecuación diferencial de \(n\)-ésimo orden \(F(x,y,y′,y″,\ldots,y^{(n)})=0\), buscamos obtener una familia de soluciones de \(n\) parámetros \(G(x, y, c_1 , c_2 , . . . , c_n ) = 0\). Si toda solución se obtiene mediante la familia de soluciones, decimos que la familia representa la solución general.
Con frecuencia enfrentamos problemas en los que buscamos una solución \(y(x)\) de una ecuación diferencial de modo que \(y(x)\) satisfaga condiciones adicionales establecidas, es decir, condiciones impuestas sobre la incógnita \(y(x)\) o sobre sus derivadas.Una solución de una ecuación diferencial que se encuentra libre de parámetros arbitrarios se denomina solución particular.
Partir con esas condiciones adicionales a la hora de afrontar la solución es lo que conocemos como Problema de valores iniciales.
Un Problema de valor inicial es una ecuación diferencial, de primer orden, \(y'(x)=f(x,y(x))\) con \(f\colon \Omega \subset \mathbb{R} \times \mathbb{R}^{n}\to\mathbb{R}^{n}\), donde \(\Omega\) es un conjunto abierto de \(\mathbb{R}^{n}\to\mathbb{R}^{n}\), junto con un punto en el dominio de \(f\), \((x_{0},y_{0})\in \Omega\) llamada la condición inicial. Una solución a un problema de valor inicial es una función \(y\) que es una solución a la ecuación diferencial y satisface
\(y(x_{0})=y_{0}\).
Si tenemos la familia de soluciones, podemos encontrar la ecuación diferencial que la proporciona. Recordad que para este propósito nos basta con diferenciar: Supongamos \(F(x,y(x))=c\) es la familia, en este caso, monoparamétrica de soluciones, si diferenciamos
\[\begin{matrix}
d(F(x,y(x)))=d(c)=0\\
\Downarrow\\
\partial_xF(x,y)dx+\partial_yF(x,y)dy=0\\
\Downarrow\\
\partial_xF(x,y)+\partial_yF(x,y)\frac{dy}{dx}=0\\
\Downarrow\\
\partial_yF(x,y)\frac{dy}{dx}=-\partial_xF(x,y)\\
\Downarrow\\
\frac{dy}{dx}=-\frac{\partial_xF(x,y)}{\partial_yF(x,y)}
\end{matrix}\]
EDO de primer orden
Las primeras ecuaciones que trataremos son las ecuación diferenciales ordinarias de primer orden(EDO). De este tipo de ecuaciones afrontaremos tres tipos: la de variables separadas, las lineales de primer orden y las de Bernoulli.
La EDO más sencilla que podemos plantear es \[y’=k,\] donde \(k\) es una constante. En este caso la familia de soluciones resulta de \[y’=k\to \frac{dy}{dx}=k\to dy=kdx\to \int dy=\int kdx\to y(t)=kt+C.\] Conociendo un valor inicial \(y(t_0)=y_0\), tendremos \[y(t_0)=k\ t_0+C\to C=y_0-kt_0\to y(t)=kt+(y_0-kt_0)=k(t-t_0)+y_0.\]
Este es un caso particular del de variables separadas. Consideramos una EDO de variables separadas cuando \[\frac{dy}{dx}=\frac{f(x)}{g(y)}.\]
En este caso la solución está dada por: \[\frac{dy}{dx}=\frac{f(x)}{g(y)}\to \int g(y)\ dy=\int f(x)\ dx.\]
Ejercicio: Supongamos que una función real verifica \(\frac{dy}{dt}=e^ty\) con \(y(0)=1\) ¿cuál es el valor de \(y(1)\)?
Ejercicio: Supongamos que una función real verifica \(\frac{dy}{dt}=\frac{1}{t^2y}\) con \(y(1)=1\) ¿cuál es el valor de \(y(2)\)?
Ejercicio: Supongamos que una función real verifica \(\frac{dy}{dt}=ty+t\) con \(y(0)=1\) ¿cuál es el valor de \(y(1)\)?
Bibliografía
- Capítulo 7 del libro Biocalculus: Calculus for Life Sciences, de James Stewart.
Ejercicio: El número de bacterias en un cultivo viene dado por una solución de la ecuación \[y’=2y,\] siendo \(y\) una función que depende de la variable independiente \(t\) (que no aparece explícitamente), que representa el tiempo medido en horas. Supongamos que se realiza un experimento comenzando con una población de 100 bacterias en el instante \(t=0\). Podemos decir que 4 horas después de comenzar el experimento, el número de bacterias presentes en el cultivo habrá aumentado hasta |