p>El pasado día veíamos que cuando \(S\) era un subespacio vectorial entonces \[\mathcal{E}=S\oplus S^{\bot}\]
Esto implica que para todo vector \(\vec{v}\in \mathcal{E}\) existirán dos únicos vectores \(\vec{u}\in S\) y \(\vec{w}\in S^{\bot}\), tales que \[\vec{v}=\vec{u}+\vec{w}.\]
Estos vectores \(\vec{u}\) o \(\vec{w}\) son lo que llamamos proyecciones ortogonales de \(\vec{v}\) sobre \(S\) o \(S^{\bot}\) respectivamente.
La definición clásica nos dice que si \(S\subset \mathcal{E}\), un subespacio vectorial de un espacio euclídeo, para nuestros casos finitamente generado, llamamos proyección ortogonal del vector \(\vec{v}\) sobre el subespacio \(S\), al único vector \(\vec{u}\in S\) talque \(\vec{v}-\vec{u}\in S^{\bot}\).
A la aplicación \(proy_S:\mathcal{E}\to S\) que a cada vector de \(\mathcal{E}\) le hace corresponder su proyección ortogonal sobre \(S\), se le denomina del mismo modo: proyección ortogonal.
Veamos un método para calcular la proyección ortogonal. Primero empezamos con la proyección sobre un vector. Si \(S=<\vec{s}>\); es decir, es una recta, entonces \[proy_\vec{s}(\vec{v})=\frac{\vec{v}\bullet\vec{s}}{\parallel\vec{s}\parallel^2}\vec{s}.\]
Extenderlo a cualquier subespacio es sencillo, solo necesitamos una base ortogonal del subespacio: Sea \( \{\vec{u}_1,\vec{u}_1,\ldots,\vec{u}_m\}\) una base ortogonal de \(S\), entonces
\[proy_S(\vec{v})=\sum_{i=1}^m\frac{\vec{v}\bullet\vec{u}_i}{\parallel\vec{u}_i\parallel^2}\vec{u}_i.\]
Si además la base es ortonormal la expresión se reduce mucho:
\[proy_S(\vec{v})=(\vec{v}\bullet\vec{u}_i)\vec{u}_1+(\vec{v}\bullet\vec{u}_2)\vec{u}_2+\ldots+(\vec{v}\bullet\vec{u}_m)\vec{u}_m.\]
El propósito es determinar dado un subespacio vectorial \(S\subset\mathbb{R}^n\) y un vector, o punto, \(\vec{v}\in\mathbb{R}^n\), minimizar la distancia de \(\vec{v}\) a cualquier \(\vec{s}\in S\). Para conseguirlo utilizamos el siguiente resultado:
Teorema: Sea \(S\subset\mathbb{R}^n\) un sube.v., \(\vec{v}\in\mathbb{R}^n\) y \(\vec{s}\in S\), son equivalentes
- \(\vec{s}\in S\) es la proyección ortogonal de \(\vec{v}\) sobre \(S\), \(proy_S(\vec{v})\); es decir, \(\vec{v}-\vec{s}\in S^{\bot}\)
- \(\vec{s}\in S\) es la mejor aproximación de \(\vec{v}\) sobre \(S\); es decir,\(\parallel \vec{v}-\vec{s}\parallel\leq \parallel \vec{v}-\vec{w}\parallel\,\forall \vec{w}\in S\)
En ejemplo lo podéis ver el la deducción de la distancia entre un punto \(P(x_0,y_0)\) y la recta \(r:ax+by+c=0\) que viene dada por la fórmula \[d(P,r)=\frac{ax_0+by_0+c}{\sqrt{a^2+b^2}}\]
En este enlace está la demostración Proyección Ortogonal. Ej.1
Ejercicio: Cuál es el error de una solución por mínimos cuadrados del sistema incompatible \[\begin{array}{r} -x +2y=4, \\ 2x-3y=1, \\ -x+3y=2.\end{array}\] |