El pasado día comentamos un caso particular del de variables separadas. Consideramos una EDO de variables separadas cualndo \[\frac{dy}{dx}=\frac{f(x)}{g(y)}.\] Pues veamos un ejemplo de este tipo de EDO.
Ley del enfriamiento de Newton: La velocidad de enfriamiento de un cuerpo cálido cuya temperatura es \(T\), en un ambiente más frío \({\displaystyle T_{m}}\), es proporcional a la diferencia entre la temperatura instantánea del cuerpo y la del ambiente: \[\frac{T(t)}{dt}=-k(T-T_m)\]
Esta expresión no es muy precisa y se considera tan sólo una aproximación válida para pequeñas diferencias entre \(T\) y \( T_{m}\). En todo caso la expresión superior es útil para mostrar como el enfriamiento de un cuerpo sigue aproximadamente una ley de decaimiento exponencial: \[{\displaystyle T(t)=T_{{m} }+(T_{ {0} }-T_{ {m} })\ e^{-kt}}\]
Ejercicio: Un pequeño matraz con una disolución, cuya temperatura inicial es de 20º, se introduce en agua hirviendo, aumentando su temperatura 2º en un segundo. ¿Cuánto tiempo tarda en alcanzar 98ºC?
Bibliografía
- Capítulo 7 del libro Biocalculus: Calculus for Life Sciences, de James Stewart.