Podemos ver la integral doble como el volumen bajo una superficie.
Si definimos la integral doble mediante
observamos que esto equivale a determinar el volumen de una función positiva \(f (x, y)\) de dos variables, definida en una región del plano \(xy\),
\[V=\iint_R f(x,y)\, dA\]
Hacemos que \(dA=dxdy\) pero no tiene por qué ser así. La integral doble así definida cumple: \[\iint_R(\lambda f(x,y)+\mu g(x,y))\,dA=\lambda\iint_R f(x,y)\,dA+\mu\iint_R g(x,y)\,dA.\]
Para calcular la integral doble utilizamos el concepto de integral iterada, de modo que
\[\iint_R f(x,y)\,dA=\int_a^b\left[\int_c^df(x,y)dy\right]dx,\] donde \(R=[a.b]\times[c,d]\).
Ejercicio: Determinar el volumen bajo la superficie de \(f(x,y)=x^2y\) en el rectángulo \(R:[1,2]\times [1,3]\)
De este modo si existe el límite existe la integral doble, y esta se puede calcular mediante el teorema de Fubini:
Este teorema es muy útil porque nos permite decidir qué integramos antes para facilitar el cálculo.
Ejercicio: Determinar el volumen bajo la superficie de \(f(x,y)=y\ e^{xy}\) en el rectángulo \(R:[0,1]\times [1,2]\)
No tenemos por qué restringirnos a una región cuadrada R, podemos considerar una región plana D delimitada por curvas, las denominadas regiones de Tipo 1 y II. Así calculamos el volumen bajo una función \(z=f(x,y)\) y sobre la región D. Además, la integral doble nos permite definir el área de esa región, si queremos calcular el área encerada en D, esta será \[\iint_D\,dA.\]
Integral triple
Después de ver diferentes aplicaciones de la integral doble, hemos comenzado con la definición de integral triple.
La integral triple de una función, \(f(x,y,z)\), en una región cerrada del espacio, \(Q\), con un volumen \(V\), no es más que la generalización del concepto de integral simple y doble. Así
\[\iiint_{Q} f(x,y,z) dV = \underset{l,m,n \to \infty}{lim}\sum_{l}^{i=1}\sum_{m}^{j=1}\sum_{n}^{k=1}f(x_{ijk}^{*},y_{ijk}^{*},z_{ijk}^{*})\Delta V\]
Si la función es \(f(x,y,z)=1\), tendremos el volumen del sólido encerrado en \(Q\), \[Volumen=\iiint_Q\,dV\]
De este modo, cuando el sólido viene dado por un paralepípedo, \(Q=\{[a,a’]\times [b,b’]\times [c,c’]\}\), calcular el volumen es resolver mediante integrales iteradas:
\[\iiint_Qf(x,y,z)\,dV=\int_a^{a’}\int_b^{b’}\int_c^{c’}f(x,y,z)\,dz\,dy\,dx.\]
Ejemplo: Cuál es el volumen encerrado en el recinto \(Q=[0,1]\times[1,2]\times[0,2]\)
Igual como en el caso de la integral doble se cumple:\[\iiint_Q(\lambda f(x,y,z)+\mu g(x,y,z))\,dV=\lambda\iiint_Q f(x,y,z)\,dV+\mu\iiint_Q g(x,y,z)\,dV.\]
A veces es más práctico verlo como la integral doble en una región del plano XY de una función; es decir,
\[V=\iiint_QdV=\iint_R\left(\int_{f(x,y)}^{g(x,y)}dz\right)dA,\]
Ejemplo: Cuál es el volumen encerrado en la región sólida \(Q=\{(x,y,z);\ 0\leq x\leq 1,\ 0\leq y\leq 1,\ 0\leq z\leq x-y^2\}\)
En general, si \(Q=\{(x,y,z)|a\leq x \leq b,\, h_1(x)\leq y \leq h_2(x),\,g_1(x,y)\leq z \leq g_1(x,y)\}\), tendremos
\[\iiint_{Q}\, f(x,y,z) dV = \int_{a}^{b}\int_{h_1(x)}^{h_2(x)}\int_{g_1(x,y)}^{g_2(x,y)}\, f(x,y,z) dz dy dx\]
Veamos unos ejemplos:
Ejemplo: Calcular \(\int_{0}^{1}\int_{0}^{y}\int_{0}^{x} \cos(x+y+z)dz\,dx\,dy\),
Ejemplo: Calcular \(\int_{0}^{\sqrt{\pi}}\int_{0}^{x}\int_{0}^{xz} x^2\, \sin(y)dy\,dz\,dx\),
Ejemplo: Calcular \(\int_{0}^{1}\int_{0}^{1}\int_{0}^{\sqrt{1-z^2}} \left(\frac{z}{y+1}\right)dx\,dz\,dy\),
Bibliografía
- Capítulo 15 del libro Cálculo de varias variables, de James Stewart.
Ejercicio:¿Cuál es el área del disco \(D=\{(x,y);0\leq x\leq 2,x^2\leq y\leq 2x\}\)? |