Hoy vamos a ver dos aplicaciones importantes de las derivadas parciales:
- El gradiente.
- La derivada direccional.
Consideremos \(f:D\subseteq \mathbb{R}^2\;\longrightarrow\;\mathbb{R}\,\) un campo escalar de dos variables, entonces el gradiente de \(f\) es la función vectorial \(\nabla f : D\subseteq \mathbb{R}^2\;\longrightarrow\;\mathbb{R}^2\) definida por \[\nabla f(x, y) = (f_x(x, y),f_y(x, y)) = \displaystyle{\frac{\partial f}{\partial x}}\, \mathbf{i} + \frac{\partial f}{\partial y}\, \mathbf{j}.\]
De manera análoga, si \(f\) es una función escalar de tres variables su gradiente esta dado por
\[\,\nabla f(x, y, z) = (f_x(x, y, z), f_y(x, y, z),f_z(x, y,z)) = \displaystyle{\frac{\partial f}{\partial x}} \,\mathbf{i}
+ \frac{\partial f}{\partial y}\, \mathbf{j} + \frac{\partial f}{\partial z}\,\mathbf{k}.\]
Ejemplo: Determinar el vector gradiente de \(f(x,y,z)=x\,\sin^2(y)+z\,\cos^2(y)\)
Ejemplo: Sea \(f(x,y,z)=x\,\sin^2(y)+ze^{2x}\). ¿Cuánto vale \(\left \|\nabla f\left(1,\tfrac{\pi}{4},0\right) \right \|\) ?
Observamos que el gradiente es un vector que, evaluado en un punto genérico \(x\) del dominio de \(f\), \(\nabla f(x)\), indica la dirección en la cual el campo \(f\) varía más rápidamente y su módulo representa el ritmo de variación de \(f\) en la dirección de dicho vector. Es decir, si \(f\) es una función escalar de dos variables, \(\nabla f(x_0,y_0)\) nos indica la dirección en un eje centrado en \((x_0,y_0)\) donde la función \(f\) varía más rápidamente, y \(||\nabla f(x_0,y_0)||\) sería la magnitud con la que varía.
El gradiente nos permite redefinir la derivada direccional en la dirección de cualquier vector unitario como
\[D_{\mathbf{u}}f(x, y)\, = \, \nabla f(x,y)\bullet \mathbf{u}.\]
Ejemplo: calcular la derivada direccional de \(f(x,y,z)=x\,\sin(y)+yz^2\) en el punto P(1,\(\frac{\pi}{2}\),-1) y en la dirección del vector u=(4,3,0).
De las propiedades del gradiente que más utilizamos son:
- Es ortogonal a las curvas de nivel, o las superficies equiescalares.
- Apunta en la dirección en que la derivada direccional es máxima.
- Su norma es igual a esta derivada direccional máxima.
- Se anula en los puntos estacionarios.
Bibliografía
- Capítulo 14 del libro Cálculo de varias variables, de James Stewart.
Ejercicio: ¿Cuál es el ritmo máximo de variación de \(z=x^3-2y^2\) en el punto (1,1)? Aproximadamente |