Abordemos cómo hacer la derivada a funciones reales de una variable real:
- diff(expr, variable, veces): Calcula la derivada de una Función que depende de la variable el número de veces indicado. El número veces puede eludirse si es uno. Si aparecen otras variables en expr son consideradas como constantes.
Cuando queremos utilizar la derivada como función si es conveniente usar define:
- define(\(f(x_1,\ldots, x_n)\), expr): Define una función de nombre \(f\) con argumentos \(x_1,\ldots, x_n\) y cuerpo expr. define evalúa siempre su segundo argumento, a menos que se indique lo contrario con el operador de comilla simple.
Ejemplo: Determinar el valor de \(f^\prime(1)\) donde \[f(x)=e^{\sin \left(x^2\right)}\]
Ejemplo: Determinar el valor de \(f^\prime(1)\) donde \[f(x)=\sin \left(x^2+\frac{1}{x}\right)\]
Veamos cómo utilizamos la derivada para estimar la concavidad o convexidad de una función. En este caso utilizaremos también otra herramienta para gráficos:
- draw2d(): capaz de gestionar, uno o varios gráficos simultáneamente, que pueden ser de tipos diferentes (fórmulas en explícitas, en implícitas, en paramétricas, en polares…) cada uno con sus propios parámetros y opciones (que se precisan antes de declarar la figura); también existen opciones globales que afectan a todos los elementos (por ejemplo, el título del conjunto) y que es conveniente (pero no imprescindible) colocar al principio
Ejemplo: ¿Cuál es el módulo del vector formado por del punto (1,1) y el punto la parábola \(y^2=2x\) más cercano a el?
Ejemplo: En qué intervalo la función \(f(x)=x\,e^{1-x^2}\) es cóncava
Como hemos observado necesitamos conocer las soluciones de las ecuaciones que plantean las funciones para encontrar máximos y mínimos o los cambios de concavidad y convexidad. Repasemos el método de bisección para encontrar un cero, y apliquemos un método más preciso:El Método de Newton.
Ejemplo: Encontrar los ceros de la segunda derivada de \(f(x)=x\,e^{1-x^2}\) con el método de bisección.
Método de Newton Sea \( f:[a,b]\to \mathbb {R}\) una función derivable definida en el intervalo real \([a,b]\) y \(x_p\in [a,b]\) tal que \(f(x_p)=0\). Entonces para cierto \(x_{0}\in [a,b]\) la sucesión \[x_{{n+1}}=x_{n}-{\frac{f(x_{n})}{f^\prime(x_{n})}},\]
cumple que \(\lim_{n\to\infty}x_n=x_p\).
Ejemplo: Encontrar el cero de \(f(x)=x^3-x^2+2x+1\)
Derivada implícita
Para la derivación implícita necesitamos declarar dependencias funcionales:
- depends(f_1, x_1,…,f_n,x_n): Declara dependencias funcionales entre variables con el propósito de calcular derivadas. En ausencia de una dependencia declarada, diff (f, x) devuelve cero. Si se declara depends (f,x), diff(f, x) devuelve una derivada simbólica (esto es, una expresión con diff). Cada argumento f_1, x_1, etc., puede ser el nombre de una variable, de un arreglo o una lista de nombres.
Ejemplo: Determinar el valor de \(y^\prime(3)\) donde \(y^2-x^3+2xy=0\)
Ejemplo: Determinar el valor de \(y^\prime(1)\) donde \(xy^2+y=2x\)
Derivada de un campo vectorial de una variable real
Ejemplo: Sea \(\textbf{u}\) el vector normal unitario del plano osculador de la curva \(\textbf{r}(t)=[t, e^t, e^{-t}]\), en el punto \(t_0=0\). ¿Cuál es el producto escalar [4,3,2]\(.\textbf{u}\)?
Ejercicio: Encuentra el vector tangente unitario \(\textbf{T}(t)\) en el punto de la función vectorial \(\textbf{r}(t)=[2\,\cos(t),\sin(t),t]\) con el valor del parámetro \(t=\frac{\pi}{2}\)
Ejercicio: Encuentra el vector tangente unitario \(\textbf{T}(t)\) en el punto de la función vectorial \(\textbf{r}(t)=[t^3+3t,t^2+1,3t+4]\) con el valor del parámetro \(t=1\)
Ejercicio: ¿Cuál es la recta tangente a la curva \(\textbf{r}(t)=[2\,\cos(t),\sin(t),t]\), en el punto \([0,1,\frac{\pi}{2}]\)?
Ejercicio: Sea \(\textbf{rt}(t)\) la recta tangente a la curva \(\textbf{r}(t)=[2t^2,t+t^2,3t]\), en el punto \([2,0,-3]\). ¿Cuánto vale \(||\textbf{rt}(1)||\)?