El pasado día definimos el producto escalar y la norma de un espacio euclídeo. La métrica que define el producto escalar puede se usada mediante la matriz de Gram. Sea \((E,\bullet)\) el espacio vectorial euclídeo y \(B=\{\vec{u}_1,\ldots,\vec{u}_n\}\) una base de \(E\), llamamos matriz de Gram, respecto de la base \(B\), a la matriz \(G=[g_{ij}=\vec{u}_i\bullet \vec{u}_j]\). Notar que la matriz \(G\) siempre es simétrica.
De este modo, dados \(\vec{x}=(x_1,x_2,\ldots,x_n)\), \(\vec{y}=(y_1,y_2,\ldots,y_n)\in E\), será \[\vec{x}\bullet \vec{y}=\textbf{x}^t\, G\, \textbf{y}=[x_1\,x_2\,\ldots\,x_n]G\begin{bmatrix}y_1 \\ y_2\\ \vdots \\ y_n\end{bmatrix}\]
El pasado día vimos que
\[cos(\vec{x},\vec{y})=\frac{\vec{x}\bullet \vec{y}}{||\vec{x}||\, ||\vec{y}||}\]
Esto nos da pie a definir cuándo dos vectores son ortogonales: cuando se de que \(\vec{x}\bullet \vec{y}=0\)
Así pondremos que
\[\vec{x}\perp \vec{y} \Leftrightarrow \vec{x}\bullet \vec{y}=0\]
Con esta definición, decimos que \(B=\{\vec{v}_1,\vec{v}_2,\ldots,\vec{v}_n\}\) es un conjunto ortogonal si dos a dos sus vectores son ortogonales; es decir, \(\vec{v}_i\bullet\vec{v}_j=0\forall i\neq j\)
Todo esto nos llevará al proceso de ortonormalización de Gram-Schmidt: un algoritmo para construir, a partir de un conjunto de vectores de un espacio vectorial con producto escalar, otro conjunto ortonormal de vectores que genere el mismo subespacio vectorial.
El proceso de ortonormalización de Gram–Schmidt nos dice que si \(B=\{\vec{v}_1,\vec{v}_2,\ldots,\vec{v}_n\}\), los vectores
- \(\vec{u}_1=\vec{v}_1\)
- \(\vec{u}_k=\vec{v}_k-\displaystyle\sum_{i=1}^{k-1}\frac{\vec{u}_i\bullet \vec{v}_k}{||\vec{u}_i||^2}\vec{u}_i\,\forall 2\leq k\leq n\)
forman una base ortogonal del subespacio. De este modo, el siguiente conjunto es una base ortonormal del subespacio \[\left\{\frac{\vec{u}_1}{||\vec{u}_1||},\frac{\vec{u}_2}{||\vec{u}_2||},\ldots,\frac{\vec{u}_n}{||\vec{u}_n||}\right\}\]
Ejercicio:Sea \(\mathbb{R}_2[X]\), el espacio vectorial de los polinomios de grado menor o igual que 2, como subespacio vectorial de las funciones continuas en el intervalo [0,1], en la que definimos un producto escalar, \(p\bullet q\), mediante:\[p\bullet q=\int_0^1p(x)q(x)dx.\]¿Cuál es el coseno entre los vectores \(x-x^2\) y \(1+x+x^2\)? |