Si tenemos un espacio vectorial euclídeo de dimensión finita, \(\mathcal{E}\), definimos el complemento ortogonal (a veces simplemente ortogonal) de un subespacio \(S\) de \(\mathcal{E}\) a \[S^\bot=\{\vec{v}\in \mathcal{E}|\;\vec{v}\bullet\vec{u}=0\,\forall \vec{u}\in S\}\]
Proposición. Si \(S\subset E\) es un subespacio de un espacio vectorial euclídeo de dimensión finita, entonces \(S^\bot\)es un subespacio vectorial.
Ejemplo: Sea \(S=\mathbf{Gen}\{X^2-2\}\subset (\mathbb{R}_2[X],\bullet)\), ¿cuál es una base de su ortogonal?
Proposición. Si \(S,T\subset \mathcal{E}\) son subespacios de un espacio vectorial euclídeo de dimensión finita, y \(T\subset S\)entonces \(S^\bot \subset T^\bot\).
Proposición. Si \(S,T\subset \mathcal{E}\), son subespacios de un espacio vectorial euclídeo de dimensión finita, entonces
- \((S+T)^\bot=S^\bot \cap T^\bot\)
- \((S\cap T)^\bot=S^\bot + T^\bot\)
Proposición. Si \(S\subset \mathcal{E}\) es un subespacio de un espacio vectorial euclídeo de dimensión finita, entonces $$\mathcal{E}=S\oplus S^{\bot}$$
Corolario. Si \(S\subset \mathcal{E}\) es un subespacio de un espacio vectorial euclídeo de dimensión finita, entonces $$dim(\mathcal{E})=dim(S)+ dim(S^{\bot})$$
Esta última Proposición nos dice que \(\mathcal{E}\) es suma directa de \(S\) y \(S^{\bot}\); es decir, para todo \(\vec{v}\in \mathcal{E}\) existen dos únicos vectores \(\vec{s}_1\in S\) y \(\vec{s}_2\in S^{\bot}\), tales que $$\vec{v}=\vec{s}_1+\vec{s}_2.$$
Ejercicio:Sea B={(2,1,1),(1,0,10),(2,-3,11)} una base de \(\mathbb{R}^3\), ¿cuál es el la suma de las normas al cuadrado de una base ortogonal obtenida por un proceso de ortogonalización de Gram–Schmidt? |
Sabemos que el ortogonal de un subespacio generado por un vector, \(S=\mathbf{Gen}\{\vec{v}\}\subset (\mathcal{E},\bullet)\), es el que tiene por ecuación implícita el producto escalar de un vector genérico por dicho vector: \[S^\perp=\{\vec{u}\in \mathcal{E}|\;\vec{v}\bullet\vec{u}=0\,\forall \vec{u}\in S\} \]
En nuestro caso deberá verificarse: