La soluciones de los sistemas nos proveen de las herramientas para determinar la suma e intersección de subespacios. Veamoslo con los siguientes ejemplos.
Ejemplo: Sean los subespacios vectoriales \(S=\textbf{Gen}\{[[1,2],[2,1]],\) \([[0,-1],[1,1]]\}\) \(\in\mathcal{M}_2(\mathbb{R})\) y \(T=\textbf{Gen}\{[[-1,0],[3,-1]],\)\([[1,9],[9,-2]]\}\in\mathcal{M}_2(\mathbb{R})\). Determinar las ecuaciones implícitas de \(S\cap T\).
Ejemplo: Dados los subespacios anteriores, ¿cuáles son las sumas(en valor absoluto) de las coordenadas de las componentes normales de las ecuaciones implícitas que definen \(S+T\)?
Veamos un problema de incidencia y paralelismo:
Ejemplo: Sean \(S=\left\{\begin{bmatrix}1&2\\ 0& -1\end{bmatrix}+\left.\begin{bmatrix}a+b&3a-b\\ b& -a\end{bmatrix}\right|a,b\in\mathbb{R}\right\}\) y \(T=\left\{\begin{bmatrix}0&-1\\ 1& 3\end{bmatrix}+\left.\begin{bmatrix}d&c-2d\\ -c& d+c\end{bmatrix}\right|c,d\in\mathbb{R}\right\}\) ¿Cuál es su posición relativa?
Ejercicio: Sea el subespacio vectorial de \(S\subset\mathbb{R}^5\) generado por los vectores \(\vec{u}\)(15,5,-5,-5,5), \(\vec{v}\)(-14,-3,3,8,2) y \(\vec{w}\)(3,1,-1,-1,1). ¿Cuál es la \(\textbf{dim}(S^\perp)\)? |