Hoy empezamos con el cálculo integral. Explicamos un poco de historia del calculo integral y comenzamos la integral indefinida, el cálculo de primitivas. Este cálculo parte de la necesidad de encontrar las funciones que son base del teorema fundamental del cálculo:
Dada una función \({\displaystyle f}\) integrable sobre el intervalo \({\displaystyle [a,b],}\) definimos \({\displaystyle F}\) sobre \({\displaystyle [a,b]}\) por \({\displaystyle F(x)={\int _{a}^{x}f(t)\mathop {} \!\mathrm {d} t}.}\) Si \({\displaystyle f}\) es continua en \({\displaystyle c\in (a,b)}\), entonces \(F\) es derivable en \(c\) y \({\displaystyle F^{\prime }(c)=f(c).}\)
Si la función \(F\) existe sobre cualquier intervalo, \(I\subset\mathbb{R}\), simplemente decimos que \(F\) es la primitiva de \(f\), y notamos \[F(x)=\int f(x)dx.\] Nuestro propósito será encontrar dichas primitivas.
Para encontrarlas necesitamos conocer los métodos de integración más usuales para nosotros. Nos centraremos en cuatro: integración directa, cambio de variable, método de integración por partes y las integrales racionales.
Además utilizaremos la propiedad de linealidad de la integración que nos dice:
Si \(f\) y \(g\) son funciones que verifican el resultado anterior para toda la recta real, entonces se cumple:
- \({\displaystyle \int (f+g)\ dx=\int f\ dx +\int g\ dx}\)
- \({\displaystyle \forall k\in\mathbb{R};\ \int kf\ dx=k\int f\ dx}\)
Como hemos comentado primero veremos el cálculo de primitivas básicas, que podemos obtener en cualquier manual.
Integración por sustitución o por cambio de variable
El método de integración por sustitución o por cambio de variable, se basa en realizar un reemplazo de variables adecuado que permita convertir el integrando en algo sencillo con una integral o antiderivada simple. Podemos resumirlo así:\[\int g'(f(x))f'(x)dx=(g\circ f)(x)+c\]
Ejemplo: Calcular \(\displaystyle\int\,2x\cos(x^2)dx\)
Ejemplo: Calcular \(\int \frac{\sin \sqrt{x}}{\sqrt{x}}\ dx\)
Veamos otra forma de expresarlo.
Ejemplo: Calcular \({\displaystyle \int x^{2}(2x^{3}+1)^{7}dx}\)
Ejemplo: Calcular \(\int e^x\cos (e^x+1)\ dx\)
Ejemplo: Calcular \(\int xe^{-x^2}\ dx \)
Integración por partes
Sean \(\displaystyle f’\) y \(\displaystyle g’\) son funciones continuas entonces \[{\displaystyle \int f(x)g'(x)dx=f(x)g(x)-\int f'(x)g(x)dx}\]
Si llamamos \(u:f(x)\) y \(v:g(x)\) tenemos la conocida expresión \[{\displaystyle \int udv=uv-\int vdu}.\]
Ejemplo: Calcular \({\displaystyle \int \ln x\ dx}\)
Ejemplo: Calcular \({\displaystyle \int \frac{\ln x}{x}\ dx}\)
Ejemplo: Calcular \(\int x^2\ln x\ dx\)
Ejemplo: Calcular \(\int \frac{x}{e^x}\ dx\)
Integral definida
La integral definida surge de la necesidad de calcular un área mediante el límite de una suma infinita de rectángulos en los que se divide el área buscada. Esta idea, la formalizó Bernhard Riemann dando la primera definición rigurosa de la integral de una función en un intervalo. A esta forma de definirla se le denomina integración de Riemann, haciendo uso de las sumas de Riemann.
Aplicando la sumas de Riemann, diremos
Si \(f\) es una función continua definida en \(a\leq x \leq b\), dividimos el intervalo \([a, b]\) en \(n\) subintervalos de igual ancho \(\Delta x=(b-a)/n\). Sean \(x_0(=a)\), \(x_1\), \(x_2\),…, \(x_n(=b)\), los puntos extremos de estos subintervalos y sean \(x_1^*\), \(x_2^*\),…, \(x_n^*\) los puntos muestra en estos subintervalos, de modo que \(x_i^*\) se encuentre en el i-ésimo subintervalo \([x_{i-1} , x_i ]\). Entonces la integral definida de \(f\), desde \(a\) hasta \(b\), es
\[\int_a^bf(x)\ dx=\lim_{n\to\infty}f(x_i^*)\Delta x\]
siempre que este límite exista y dé el mismo valor para todos las posibles elecciones de los puntos muestra. Si existe, decimos que \(f\) es integrable sobre [a, b].
Esta definición da pie a definir la función integral:
Si \(f\) es continua sobre [a, b], entonces la función \(g\) definida por
\[g(x)=\int_a^xf(x)\ dx,\quad a\leq x\leq b \]
es continua sobre [a, b] y derivable sobre (a, b), y \(g'(x)=f(x)\).
Nosotros evaluaremos esta integral utilizando el Teorema fundamental del Cálculo:
Si \(f\) es continua sobre [a, b], entonces
\[\int_a^bf(x)\ dx=F(b)-F(a)\]
donde \(F\) es una primitiva de f.
Ejemplo: \({\displaystyle \int _{0}^{1}{\sqrt {x}}\,dx}\)
Ejemplo: \(\int_{2}^{5}\!e^{-x}\, dx\)
Ejemplo: ¿Cuál es el área de la región entre la curva \(y=x^2-x\) y el eje x desde 0 a 2?
Esta definición nos permite el cálculo de áreas encerradas entre dos curvas. Si las funciones \(f(x)\) y \(g(x)\), cumplen que \(g(x)\leq f(x)\), para todo \(x\in[a,b]\), entonces, el área encerrada entre las dos curvas es \[A=\int_a^b[f(x)-g(x)]\ dx.\]
Ejemplo: ¿Cuál es el área de la región comprendida entre las curvas \(y=x^2-x\) y \(y=x\)
En el caso de que alternen deberemos ver los puntos donde \(g(x)\leq f(x)\) o \(f(x)\leq g(x)\) para fraccionar el área de modo que podamos aplicar la fórmula anterior.
Bibliografía
- Capítulo 5 del libro Cálculo de una variable, de James Stewart.
Ejercicio: Sin tener en cuenta la constante, ¿cuál es el valor de la primitiva de \(f(x)=e^{\cos x}\sin x\) en \(x=\frac{\pi}{2}\)? |