Ya vimos que dada una aplicación lineal, \(f:V\to W\), entre dos espacios vectoriales definimos la matriz asociada de la aplicación respecto de una base \(B_V\subseteq V\) como la matriz cuyas columnas son las coordendas respecto de otra base \(B_W\subseteq W\) de las imágenes de los vectores de \(B_V\). Como, habitualmente, trabajamos con las bases canónicas de los espacios vectoriales, obtener la matriz asociada es determinar las coordenadas de las imágenes de las bases canónicas.
Veamos unos ejemplos:
Ejemplo: Sea la aplicación \(f:\mathbb{R}^3\to\mathbb{P}_3(\mathbb{R})\) dada por \(f(a,b,c)=a+(b-a)X+(c-a)X^2+(2a-b)X^3\), su matriz asociada será la matriz cuyas columnas son las coordenadas de la base canónica en \(\mathbb{R}^3\)
Ejemplo: Sea la aplicación \(g:\mathbb{P}_3(\mathbb{R})\to\mathcal{M}_2(\mathbb{R})\) dada por \(g(p_0+p_1X+p_2X^2+p_3X^3)=\begin{bmatrix}p_0& p_2-p_1\\ p_1-p_2 & p_3\end{bmatrix}\), su matriz asociada será la matriz cuyas columnas son las coordenadas de la base canónica en \(\mathbb{P}_3(\mathbb{R})\)
Ejemplo: Consideremos el mismo ejemplo anterior pero utilizando la base:\(\{1-X^3,X-X^3,X^2-X^3,2X^3\}\) en \(\mathbb{P}_3(\mathbb{R})\)
Veamos cómo lo aplicamos al caso de ejercicios anteriores:
Ejemplo: Sean los subespacios vectoriales \(S=\textbf{Gen}\{[[1,2],[2,1]],[[0,-1],[1,1]]\}\in\mathcal{M}_2(\mathbb{R})\) y \(T=\textbf{Gen}\{[[-1,0],[3,-1]],\)\([[1,9],[9,-2]],\)\([[3,10],[2,-1]]\}\in\mathcal{M}_2(\mathbb{R})\). ¿\(\textbf{dim}(S+T)\)?
Estos ejemplos nos muestran otro resultado muy práctico:
Teorema: Sea \(V\) un \(\mathbb{R}\)-espacio vectorial f.g. de dimensión \(n\). Sea \(B\) es una base de \(V\) y \(M_f\) la matriz del isomorfimo \(f:V\to\mathbb{R}^n\) sobre la base canónica de \(\mathbb{R}^n\), si \(M_B\) es la matriz cuyas columnas son las imágenes de la base \(B\), \(f(B)\), se cumple \[M_BP’=P,\] donde \(P\) son las coordenadas de un vector sobre la base canónica de \(V\) y \(P’\) son las coordenadas de un vector sobre la base \(B\).
Ejemplo: Cuales son las coordenadas del polinomio \(3X^3-2X^2+X-1\) respecto de la base:\(\{1-X^3,X-X^3,X^2-X^3,2X^3\}\) en \(\mathbb{P}_3(\mathbb{R})\)
Ejemplo: Si \([c_1,c_2,\ldots,c_n]\) son las coordenadas de un vector respecto de una base, llamamos norma del vector a:\(\sqrt{c_1^2+c_2^2+\ldots +c_n^2}\). ¿Cuál es la parte entera de la norma del vector \(X^4-X^3-3X^2-2\) respecto de la base:\(\{1-X^3,X-X^2,X^2-X^4,2X^3,X^4-1\}\) en \(\mathbb{R}_3[X]\)
Ejercicio:¿Cuál de las siguientes aplicaciones lineales tiene menor rango? |