El pasado día vimos si \(M_f\) es la matriz asociada a la aplicación lineal \(f:V\to W\), entonces
\[f(v_1,v_2,\ldots,v_n)=(w_1,w_2,\ldots,w_m)\Leftrightarrow M_f \begin{pmatrix}v_1\\v_2\\ \vdots\\v_n\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}w_1\\w_2\\ \vdots\\w_n\end{pmatrix}.\]
Esto nos permite deducir interesantes propiedades de la aplicación analizando sus correspondientes matrices asociadas.
Llamamos rango de una aplicación lineal \(f\) al rango de su matriz asociada. Propiedades para aplicar. Si \(f:V\to W\) es lineal
- \(f\) es inyectiva si, y sólo si, \(\mathbf{rank}\, f=\mathbf{dim}(V)\)
- \(f\) es sobreyectiva si, y sólo si, \(\mathbf{rank}\, f=\mathbf{dim}(W)\)
- \(\mathbf{dim}(\mathbf{Im}\,f)=\mathbf{rank}\, f\)
Otra aplicación es en la composición:
Dadas dos aplicaciones lineales \(f:V\to V’\) y \(g:V’\to W\) se define la aplicación lineal \(f\) compuesto con \(g\), \((g\circ f):V\to W\), como \[(g\circ f)(\vec{v})=g(f(\vec{v})),\quad \forall\vec{v}\in V.\]
De este modo la composición de aplicaciones se puede realizar mediante multiplicación de matrices
\[(g\circ f)(\vec{v})=g(f(\vec{v}))\Leftrightarrow M_g(M_f\vec{v})\Leftrightarrow (M_g\cdot M_f)\vec{v}\]
Ejercicio: Sean las aplicaciones lineales \(f:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^4\) dada por \[f(x,y,z)=(x+2y,y-z,x-z,2z-x-y),\] y \(g:\mathbb{R}^4\to\mathbb{R}^2\) dada por \[g(x,y,z,t)=(x-3y,2t-5z).\] ¿cuál es la \(\sum a_{ii}\) de la matriz asociada a \(g\circ f\)?
Si consideremos lo que hemos visto, al hecho de que podemos establecer un isomorfismo entre un \(\mathbb{R}\)-espacios vectoriales \(V\), de dimensión \(n\), y \(\mathbb{R}^n\), resultará que podremos tratar los elementos del \(\mathbb{R}\)-espacio vectorial como si fuesen vectores de \(\mathbb{R}^n\). Esto nos ayudará a resolver problemas diversos; por ejemplo, determinar la independencia lineal de un conjunto de polinomios mediante su matriz como vectores en \(\mathbb{R}^n\).
Ejercicio: Sean las aplicaciones lineales \(f:\mathbb{R}_{2}[X]\to\mathbb{R}^2\) dada por \[f(p_0+p_1X+p_2X^2)=(p_0-p_2,p_1-p_2),\] y \(g:\mathbb{R}^2\to\mathcal{M}_2(\mathbb{R})\) dada por \[g(x,y)=\begin{bmatrix}x&x-y\\ y-x&y\end{bmatrix}.\] ¿Cuál es el valor del determinante de \((g\circ f)(1-2X)\)?
Ejercicio: Sean las aplicaciones lineales \(f:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}_{3}[X]\) dada por \[f(a,b,c)=a+(b-a)X+(c-a)X^2+(2a-b)X^3,\] y \(g:\mathbb{R}_3[X]\to\mathcal{M}_2(\mathbb{R})\) dada por \[g(p_0+p_1X+p_2X^2+p_3X^3)= \begin{bmatrix}p_0&p_2-p_1\\ p_1-p_2&p_3\end{bmatrix}.\] ¿Cuál es el valor del determinante de \((g\circ f)(-1,3,1)\)?
Para terminar tratamos la imagen recíproca de un vector.
Si tenemos una aplicación lineal \(f:V\to W\), entre dos espacios vectoriales sobre el mismo cuerpo, y consideramos un vector fijo \(\vec{w}\in W\), llamamos conjunto imagen recíproca al conjunto \[f^{-1}(\vec{w})=\{\vec{v}\in V;\,f(\vec{v})=\vec{w}\}\subset V.\]
Para este conjunto puede ocurrirle dos propiedades interesante
- Si \(\vec{w}\notin \operatorname{Im}(f)\), entonces \(f^{-1}(\vec{w})=\varnothing\)
- Si \(\vec{w}\in \operatorname{Im}(f)\); es decir, existe algún \(\vec{v}_0\in V\) tal que \(f(\vec{v}_0)=\vec{w}\), entonces \(f^{-1}(\vec{w})\) es la variedad lineal dada por \[f^{-1}(\vec{w})=\vec{v}_0+\operatorname{ker}(f)\]
Veamos cómo aplicamos esto. Consideremos la aplicación \(f(x,y,z)=(2x-y,-x+z)\). La imagen recíproca del vector \((1,3)\in\mathbb{R}^2\) está formada por los vectores de \((x,y,z)\in\mathbb{R}^3\) tales que
\[\left.\begin{array}{r}
2x-y=1 \\ -x+z=3
\end{array}\right\}
\]
Si resolvemos el sistema tendremos
\[\left\{\begin{array}{l}
x=k \\ y=-1+2k \\z=3+k
\end{array}\right.\]
Por tanto, la imagen recíproca la podremos poner como
\[f^{-1}(1,3)=\{(k,-1+2k,3+k);k\in\mathbb{R}\}=(0,1,3)+\{(k,2k,k);k\in\mathbb{R}\},\]
donde \[\operatorname{ker}(f)=\{(k,2k,k);k\in\mathbb{R}\}.\]
Ejercicio: Sea la aplicación lineal \(f:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^3\) dada por \[f(x,y,z)=(2x-y+z,3x-2y+z,2x+2y-2z),\] determinar la imagen recíproca de (-5,-9,-8).
Ejercicio: Dada la aplicación lineal, \(\forall p(X)=a+bX+cX^2+dX^3\in\mathbb{R}_3[X]\), es \(f(p(X))=(a+b+c)+(a-d)*X^2\), la dimensión de su núcleo más tres veces la dimensión de su imagen es |