Recordemos es dada una aplicación lineal, \(T\), se define el núcleo (ker) y la imagen (Im) de \(T:V\to W\) como:
- \(\mathbf{ker}(T)=\{\,v\in V:T(v)=0_W\,\}\)
- \(\mathbf{Im}(T)=\{\,w\in W: \exists v\in V:T(v)=w\,\}\)
Es decir que el núcleo de una aplicación lineal está formado por el conjunto de todos los vectores del dominio que tienen por imagen al vector nulo del codominio.
El núcleo de toda aplicación lineal es un subespacio vectorial del dominio.
Así, si \(M_f\) es la matriz asociada a la aplicación lineal \(f:V\to W\), entonces el sistema dado por \[M_f\,\textbf{X}=\textbf{0},\] \(\textbf{X}\) la matriz columna de incógnitas y \(\textbf{0}\) la matriz columna de coordenadas de \(0_W\), nos proporciona los elementos del núcleo de \(f\) que buscamos.
Ejercicio: Sea la aplicación lineal \(f:\mathbb{R}_2[X]\to\mathbb{R}_2[X]\) dada por \[\forall p(X)\in\mathbb{R}_2[X];\ f(p(X))=p(X)-\frac{d}{dX}p(X).\] Determinar el núcleo de la aplicación.
Ejercicio: Sea la aplicación lineal \(f:\mathcal{M}_2(\mathbb{R})\to\mathbb{R}^2\) dada por \[f\begin{bmatrix}a&b\\ c&d\end{bmatrix}=(a-b,c-d).\] Determinar el núcleo de la aplicación.
Recordemos que para obtener \(\mathbf{Im}(f)\), basta con determinar el rango de la matriz asociada y elegir un número igual al rango, de vectores columna de la matriz, linealmente independientes. Dicho subconjunto formará una base de \(\mathbf{Im}(f)\)
Esto nos permite deducir si un vector pertenece a la imagen.
Corolario: Sea \(\mathbf{Im}(f)=\mathbf{Gen}\{\vec{v}_1,\vec{v}_2,\ldots,\vec{v}_r\}\), vectores linealmente independientes. Entonces \(\vec{u}\in\mathbf{Im}(f)\Leftrightarrow \mathbf{rank}(\vec{v}_1,\vec{v}_2,\ldots,\vec{v}_r,\vec{u})=r \)
Un resultado importante nos dice que si \(f:V\to W\), es lineal entre dos espacios vectoriales finitos sobre el mismo cuerpo, entonces
\[dim\,\mathbf{Ker}(f) + dim\,\mathbf{Im}(f)=dim\, V\]
Ejercicio: Sea la aplicación lineal \(f:\mathbb{R}_3[X]\to\mathbb{R}_3[X]\), dada por \(\forall p(X)\in\mathbb{R}_3[X]\), es \(f(p(X))=p(x)-2\frac{d}{dX}p(X)\). ¿Cuánto es la traza de la matriz asociada a la aplicación \(f\)? |