Adjunta de una matriz
Un menor complementario de una matriz \(A\) es el determinante de alguna submatriz, obtenido de \(A\) mediante la eliminación de una o más de sus filas o columnas. De este modo designamos mediante \(m_{ij}\) el menor del elemento \(a_{ij}\) en la matriz \(A\); es decir, el menor resultante de eliminar la fila \(i\) y la columna \(j\).
Si consideramos \(m_{ij}\) el menor del elemento \(a_{ij}\) en la matriz \(A\), decimos adjunto(cofactor) del elemento \(a_{ij}\) en la matriz \(A\), y lo notamos por \(A_{ij}\), al resultado \[A_{ij}=(-1)^{i+j}m_{ij}.\]
En algunas bibliografías también lo llaman cofactor. Así la regla de Laplace quedaría como:
\[|A|=\sum_{k=1}^{n}a_{ik}A_{ik}\] o \[|A|=\sum_{k=1}^{n}a_{kj}A_{kj}\]
En la bibliografía a la matriz \([A_{ij}]\) se le suele llamar matriz de cofactores.
De este modo definimos la matriz adjunta como \[adj(A)=[A_{ji}]=[A_{ij}]^t;\] es decir, la traspuesta de la matriz de cofactores.
Proposición: \(A\cdot adj(A)=adj(A)\cdot A=|A|\cdot I\)
Este resultado nos permite dar una fórmula para calcular la inversa de una matriz, en caso de que exista: \[A^{-1}=\frac{1}{|A|}adj(A)\]
Como consecuencia de lo anterior podemos afirmar:
Corolario: Una matriz cuadrada es regular(inversible) si su determinante es distinto de cero.
Ejercicio: Dada la matriz \[A=\begin{bmatrix}
2 & 4 & 1 & 12 \\
-1 & 1 & 0 & 3 \\
0 & -1 & 9 & -3 \\
7 & 3 & 6 & 9
\end{bmatrix}\in\mathcal{M}_4(\mathbb{R}),\] ¿es regular?
Ejercicio: Dada la matriz \[A=\begin{bmatrix}
-\alpha & \alpha-1 & \alpha+1 \\
1 & 2 & 3 \\
2-\alpha & \alpha+3 & \alpha+7
\end{bmatrix}\in\mathcal{M}_3(\mathbb{R}),\] ¿para que valores de \(\alpha\) la matriz no es regular?
Ecuaciones implícitas
Utilizando los determinantes podemos construir la ecuación implícita de la recta en el plano afín que pasa por los puntos \(P(p_1,p_2)\) y \(Q(q_1,q_2)\), esta vendrá dada por:
\[\begin{vmatrix} x & y & 1\\ p_1 & p_2 & 1\\ q_1 & q_2 & 1 \end{vmatrix}=0\]
Ejercicio: Si \(Ax+By+D=0\) es la ecuación implícita de la recta pasa por los puntos \(P(1,3)\), \(Q(-1,2)\), ¿cuál es el valor del producto escalar del vector \([1,1]\) por el vector \(\frac{1}{\parallel[A,B]\parallel}[A,B]\)?
En el caso del espacio afín, la recta \(r:P(p_1,p_2,p_3)+\lambda(v_1,v_2,v_3)\), vendrá dada por las ecuaciones que plantean dos menores de orden dos de la matriz \[\begin{bmatrix}v_1 &x-p_1\\ v_2 &y-p_2\\ v_3 &z-p_3\\\end{bmatrix}\]
Si deseamos la ecuación implícita del plano en el espacio afín que pasa por un punto \(P(p_1,p_2,p_3)\) y que tiene por subespacio director el generado por los vectores \(\vec{v}=(v_1,v_2,v_3)\) y \(\vec{u}=(u_1,u_2,u_3)\), vendrá determinado por el determinante \[\begin{vmatrix} x-p_1 & y-p_2 & z-p_3\\ v_1 & v_2 & v_3 \\ u_1 & u_2 & u_3 \end{vmatrix}=0\]
Definición: Si \[Ax+By+Cz+D=0\] es la ecuación implícita de un plano en el espacio afín, se denomina vector normal al plano al vector \([A,B,C]\).
Si al vector normal lo dividimos por su norma, se denomina vector unitario normal.
Ejercicio: ¿Cuál es el valor del producto escalar del vector \([3,2,1]\) por el vector unitario normal de la ecuación implícita del plano que pasa por los puntos \(P(1,2,3)\), \(Q(-1,0,2)\) y \(R(4,-2,0)\)?
Aplicaciones geométricas de los determinantes
Con la definición de determinante podemos definir una operación especial entre vectores de \(\mathbb{R}^3\): el producto vectorial. El producto vectorial de dos vectores es a su vez un vector de \(\mathbb{R}^3\). El símbolo \(\times\) hace referencia al producto vectorial, que calculamos mediante:
\[\vec{v}\times\vec{u}=\begin{vmatrix}\vec{i} & \vec{j} &\vec{k}\\ v_1 & v_2 & v_3 \\ u_1 & u_2 & u_3\end{vmatrix}=\begin{vmatrix} v_2 & v_3 \\ u_2 & u_3\end{vmatrix}\vec{i}- \begin{vmatrix}v_1 & v_3 \\ u_1 & u_3\end{vmatrix}\vec{j} +\begin{vmatrix}v_1 & v_2 \\ u_1 & u_2 \end{vmatrix}\vec{k}\]
Propiedad: El producto vectorial es perpendicular a los vectores que lo forman:\[\vec{v}\perp (\vec{v}\times\vec{u}) \wedge \vec{u}\perp (\vec{v}\times\vec{u})\]
Ejercicio: ¿Cuál es la norma del vector normal al subespacio vectorial \(\mbox{Gen}\{(1,-1,2),(0,-1,3)\}\)?
Ejercicio: ¿Cuál es, en valor absoluto, el producto escalar del vector \([1,-1,1]\) por el vector normal unitario de la recta definida por las ecuaciones \(\pi_1:-6z+9y+x-1=0\) y \(\pi_2:15z-18y-4x-5=0\)?
Además, tenemos una fórmula que relación producto vectorial con el seno del ángulo que forman:\[\left \| \vec{v}\times\vec{u} \right \|=\left \|\vec{v} \right \|\, \left \| \vec{u} \right \| \, |\sin(\widehat{\vec{v}\vec{u}})|\]
El producto vectorial permite una definición muy útil: el producto mixto, que se define como:
\[[\vec{v},\vec{u},\vec{w}]=\vec{v}\bullet(\vec{u}\times\vec{w})\]
dado tres vectores \(\vec{v},\vec{u},\vec{w}\in\mathbb{R}^3\)
El producto mixto de tres vectores cumple una propiedad geométrica muy curiosa: es el volumen de un paralepípedo que tiene por lados los vectores indicados. Así se cumple que este volumen es:
\[[\vec{v},\vec{u},\vec{w}]=\begin{vmatrix} v_1 & v_2 & v_3 \\ u_1 & u_2 & u_3\\ w_1 & w_2 & w_3\end{vmatrix}\]
Bibliografía
- Capítulo 4 de Álgebra lineal y sus aplicaciones. 5º edición, David C. Lay. Pearson. 2016.
Ejercicio: Dada la matriz \(\begin{bmatrix}1&0&0&1\\0&1&2&-1\\ 0&1&-1&0\\ 0&2&0&-1\end{bmatrix}\), ¿cuál es la traza de su inversa? |
El vector normal de la recta definida por las ecuaciones \(\pi_1:-6z+9y+x-1=0\) y \(\pi_2:15z-18y-4x-5=0\) vendrá dado por el producto vectorial de los vectores normales de cada plano: