Comenzamos el tema de Conjuntos y aplicaciones dando la definición de conjuntos con los que trabajaremos, y otras definiciones y propiedades, como
- Conjuntos:
- Subconjunto,
- Partes de un conjunto,
- Cardinalidad
- Unión e Intersección de conjuntos
- Aplicaciones:
- Relación.
- Dominio,
- rango e imagen.
- Aplicación inyectiva.
- Aplicación suprayectivas.
- Aplicación biyectivas.
Uno de los conjuntos que trabajaremos será el producto cartesiano. Dados dos conjuntos \(A\) y \(B\), llamaremos \[A\times B=\{(a,b);\ a\in A,\ b\in B\}\]
El producto cartesiano de dos conjuntos nos permite definir una aplicación entre ellos:
Si \(f\) es una aplicación entre \(A\) y \(B\), entonces \(f\subseteq A\times B\) que verifica \[\forall a\in A\ \exists^\bullet\ b\in B;\ (a,b)\in f \]
Ejercicio: Sea \(A=\{2,4,6,8\}\) y \(B=\{1,3,5,7,9\}\). ¿cual de los siguientes subconjuntos es una aplicación?
- \(f=\{(1,2),(4,3),(6,7),(8,9)\}\)
- \(g=\{(2,1),(2,3),(4,5),(6,7),(8,9)\}\)
- \(h=\{(2,3),(8,1),(6,3),(4,1)\}\)
- \(i=\{(8,1),(6,3),(4,5)\}\)
Cuando trabajamos con conjuntos tratamos de buscar características que puedan equiparar unos con otros, para eso definimos unos tipos de conjuntos especiales, que cumplen determinadas propiedades. Con este fin comenzamos por definir una ley de composición interna, u operación interna, en un conjunto, utilizando las relaciones de equivalencia:
- Relaciones de equivalencia
- Llamamos relación de equivalencia en un conjunto, \(K\), a una relación, , que cumplen los elementos del conjunto entre ellos y que verifican las siguientes propiedades:
- Reflexividad: Todo elemento de \(K\) está relacionado consigo mismo. Es decir, \[\forall x\in K \; : \quad x \mathcal{R} x.\]
- Simetría: Si un elemento de \(K\) está relacionado con otro, entonces ese otro elemento también se relaciona con el primero. Es decir, \[ \forall x,y\in K \; : \quad x \mathcal{R} y \; \Rightarrow \; y \mathcal{R} x\]
- Transitividad: Si un elemento de \(K\) está relacionado con otro, y ese otro a su vez se relaciona con un tercero, entonces el primero estará relacionado también con este último. Es decir,
\[{\displaystyle \forall x,y,z\in K\;:\quad x{\mathcal {R}}y\land y{\mathcal {R}}z\quad \Rightarrow \quad x{\mathcal {R}}z}
\forall x,y,z\in K
\; : x \mathcal{R} y \land y \mathcal{R} z
\, \Rightarrow \,
x \mathcal{R} z.\]
- Por ejemplo «Tener el mismo resto al dividir por 5» es una relación de equivalencia entre los números enteros.
- Existe otra relación interesante, pero que no es necesaria para una relación de equivalencia; es la relación antisimétrica y se cumple cuando se da que si dos elementos de \(K\) se relacionan entre sí mediante \(\mathcal{R}\), entonces estos elementos son iguales. Es decir,
\[ \forall a,b\in K\;:\; aRb\; \land \, bRa\, \Rightarrow \, a=b\]
- Llamamos relación de equivalencia en un conjunto, \(K\), a una relación, , que cumplen los elementos del conjunto entre ellos y que verifican las siguientes propiedades:
- Leyes de composición internas(operación interna), elemento neutro, elemento simétrico
- Un ejemplo sería el conjunto de los números reales con la operación interna, *, dada por a*b=a+b-ab, preguntándonos si es una ley de composición interna; si tiene elemento neutro, simétrico,…
- Otros ejemplos podéis verlos en Ley de Composicion Interna
Las definiciones de conjuntos y operaciones internas nos permiten establecer una de las estructuras básicas con las que trabajaremos: Grupo
Así definimos un grupo como una estructura algebraica formada por un conjunto no vacío dotado de una operación interna que combina cualquier par de elementos para componer un tercero, dentro del mismo conjunto y que satisface las propiedades asociativa, existencia de elemento neutro y simétrico. Es decir, \(G\) con la operación interna \(\circ\), \((G,\circ)\), es un grupo sí
- \(\circ\) es asociativa
- Exite \(e\in G\), tal que para todo \(a\in G\), es \(e\circ a=a\circ e=a\)
- Para todo \(a\in G\), existe \(b\in G\) tal que \(b\circ a=a\circ b=e\)
Si existe un elemento \(b\in G\), tal que \(b\circ a=a\circ b=e\), donde \(e\in G\) es el elemento neutro de \(G\), se dice que \(b\) es el simétrico de \(a\). En caso que utilicemos la notación aditiva, al simétrico se le designa por opuesto y se escribe como \(-a\). Y si utilizamos la notación multiplicativa, al simétrico se le dice inverso y se escribe como \(a^{-1}\).
Igual que hemos definido un grupo podemos definir un subgrupo, como un subconjunto en que al restringir las operaciones a sus elementos verifica las propiedades de grupos. El siguiente resultado nos lo resumen
Proposición: Sea \(S\subseteq G\), donde \((G,\circ)\) es un grupo, entonces \((S,\circ)\) es un subgrupo de \((G,\circ)\) sii \(a,b\in S\Rightarrow a\circ b^{-1}\in S\)
La de grupo es la estructura más básica con la que trabajaremos, pero esta estructura se amplia a anillo y cuerpo.
Definición: Dados dos grupos \((G,\circ)\) y \((H,\ast)\), en el que cada grupo está compuesto por un conjunto de elementos y una ley de composición interna entre ellos (no necesariamente la misma), es posible definir una función que asigne a cada elemento \(g\) de \(G\) un elemento \(h\) de \(H\):\[\quad \varphi : G \longrightarrow H\]
Dicha función es un homomorfismo de grupos si se verifica que para todos los pares de elementos \(a, b \in G\) \[\varphi(a \circ b) = \varphi(a) \ast \varphi(b)\]
Ejercicio: La aplicación \(f:(\mathbb{Z},+)\to(\mathbb{R}^+,\cdot)\) dada por \(f(n)=e^n\) es un homomorfismo de grupos.
Ejercicio: Sea \(\mathcal{M}_n^*(\mathbb{R})\) el conjunto de las matrices regulares de orden \(n\). La aplicación \(\phi:(\mathcal{M}_n^*(\mathbb{R}),\cdot)\to(\mathbb{R}_0,\cdot)\) dada por \(\phi(A\cdot B)=det(A)\cdot det(B)\) es un homomorfismo de grupos.
Un anillo es una terna (A, +, •), donde A es un conjunto no vacío y + y • son operaciones internas en A, en donde (A, +) es un grupo abeliano y • es una operación asociativa y distributiva biláteral respecto de +. Suele denominarse «suma» y «producto» a las operaciones + y •, respectivamente. En esta convención, el elemento neutro de la suma se designa como 0 y el opuesto con respecto a la suma de un elemento a, perteneciente al conjunto A dado, se denota como –a.
El producto en un anillo no necesariamente tiene una operación inversa definida. Si el producto es conmutativo, tal anillo se denomina «anillo conmutativo». Además, si existe un elemento neutro para el producto, se dice que el anillo es unitario ya que, en este caso, se emplea el número 1 para designar al elemento neutro del producto.
Un ejemplo de anillo es el conjunto de las matrices de \(n\times m\) con las operaciones entre matrices que conocemos. Este es un ejemplo de un anillo no conmutativo.
Un cuerpo es un anillo en el cual existe un elemento neutro y el inverso para el producto.
Comentando anillo como \(\mathbb{R}[X]\),el anillo de los polinomios de coeficientes reales. En este anillo vemos como podemos definir cero de un polinomio y determinar la factorización de todo polinomio real en polinomios de 1 o 2 grados.
Viendo el anillo \(\mathbb{C}[X]\), enunciamos el teorema fundamental del álgebra. Llegando a la conclusión que todo polinomio real puede tener raíces reales y complejas, apareciendo estas por pares cuando las hay. Una de las conclusiones obtenidas es que todo polinomio real de grado impar tiene, al menos, una raíz real.
Por último terminaremos con dos de los ejemplos que usaremos:
Proposición:
- (\(\mathbb{Z}_n\), +, •) tiene estructura de anillo conmutativo.
- \(\mathbb{Z}_p\) es un cuerpo si, y solo si, \(p\) es un número primo.
Ejercicio: Dada la matriz \(A\)=[1,3,2;2,5,6;-3,-2,7], si consideramos su factorización \(LU\), ¿cuánto suman todos los elementos de la matriz \(L\)? |