Hoy analizaremos el proceso de factorización LU con maxima y realizaremos un procedimiento para calcular dicha factorización sin utilizar los comandos pertinentes.
El procedimiento que veremos es el mismo que el explicado en:
Recordemos que las matrices L y U son únicas, si la matriz no es singular(determinante distinto de cero), en contrario pueden no ser únicas. Un ejemplo es cuando nos aparece un cero en la diagonal principal de la matriz U, en el proceso \[[I\, |\, A] \sim [L^*\, |\, U].\] En tal caso debemos permutar las filas de la matriz \(A\) para que no ocurra. Pero si lo hacemos debemos observar que ahora buscaremos una factorización de \(PA\) no de \(A\). Es decir, \[PA=LU.\]
Es posible que proceso de factorización de la matriz \(PA\) nos lleve a la aparición de otro cero en la diagonal del escalonamiento de U; en ese caso, deberemos hacer otra permutación. De este modo la matriz \(P\) puede ser el resultado de un producto de matrices permutación \(P=P_1P_2\cdots P_k\).
Recordemos que si los menores principales de \(A\) son no nulos el procedimiento nos lleva a una factorización. De este modo, podemos buscar la permutación, o producto de permutaciones, adecuada de modo que los menores principales de \(PA\) sea no nulos y nos garantice el éxito de la factorización.
Ejercicio: Dada la matriz \[\begin{bmatrix}
3 & 2 & -1\\
2 & 4 & 6\\
-1 & 0 & 3
\end{bmatrix},\] cuánto suman todos los elementos de la primera columna de la matriz \(L\) de su factorización LU.
Ejercicio: Dada la matriz \[\begin{bmatrix}
2 & -1 & 3 & 1\\
1 & -1 & 2 & 1\\
-1 & 3 & 2 & 1\\
-1 & 2 & 3 & 1
\end{bmatrix},\] cuánto suman todos los elementos de la matriz \(L\) de su factorización LU.
Ejercicio: Encontrar la factorización LU de la matriz \[\begin{bmatrix}
1 & 3 &-1 & 2\\
2 & 6 &-1 & 3\\
1 & 3 &-2 & 4\\
3 & 7 &-2 & 4
\end{bmatrix}\]
Como hemos dicho esta factorización se puede realiza mediante los comandos:
- get_lu_factors (x) : When
x = lu_factor (A)
, thenget_lu_factors
returns a list of the
form[P, L, U]
, where P is a permutation matrix, L is lower triangular with ones on the diagonal, and U is upper triangular, andA = P L U
- lu_factor (M): The matrix LU contains the factorization of M in a packed form. Packed form means three things: First, the rows of LU are permuted according to the list perm. If, for example, perm is the list
[3,2,1]
, the actual first row of the LU factorization is the third row of the matrix LU. Second, the lower triangular factor of m is the lower triangular part of LU with the diagonal entries replaced by all ones. Third, the upper triangular factor of M is the upper triangular part of LU.
Ejercicio: Dada la matriz \[\begin{bmatrix}
3 & 2 & -1\\
2 & 5 & 6\\
-3 & -2 & 7
\end{bmatrix},\] determina su factorización LU.
Ejercicio: Dada la matriz \(A\)=[1,4,-3;2,8,1;-5,-9,7], si consideramos su factorización \(LU\), ¿cuánto suman todos los elementos de la matriz \(L\)? |