Hoy nos iniciamos en un sistema para la manipulación de expresiones simbólicas y numéricas, Maxima. Un herramienta informática que nos ayudará a resolver problemas de la asignatura de forma sencilla y aplicada.
Para comenzar nos iniciaremos en la definición de vectores y matrices, y las operaciones que podemos hacer con ellos.
Vectores
Un vector se define utilizando [] y los elementos del vector separados por comas. Con los vectores podemos hacer las operaciones básicas de suma y multiplicación por escalar.
v:[1,2,3];
3.v+(-2).u;
Ejercicio: Sean los vectores \(\mathbf{u}=[2,-1,5,0]\), \(\mathbf{v}=[4,3,1,-1]\) y \(\mathbf{w}=[-6,2,0,3]\). Si \(\mathbf{x}+\mathbf{v}+3\mathbf{w}=2\mathbf{u}\), ¿cuánto suman las coordenadas de \(\mathbf{x}\)?
Matrices
Si queremos utilizar matrices nos bastará con definirla mediante matrix(). Las filas de definimos como vectores:
A:matrix([1,2,3],[4,5,6]);
B:matrix([1,2],[3,4],[5,6]);
La primera, A, sería una matriz de 2×3, B sería una matriz de 3×2. La manera de acceder a los elementos es mediante A[i,j].
Ejercicio: Sea \(A\)=[[4,-1,6],[2,1,6],[2,-1,8]] y \(B\)=[[0,-1,5],[1,6,2],[1,8,0]]. ¿Cuál es la suma de los elementos de la diagonal principal de \(2A-3B\)?
Otros comandos:
- col((Matriz,NúmColumna)): Recupera la columna NúmColumna.
- row((Matriz,NúmFila)): Recupera la fila NúmFila.
- submatrix(\(i_1,i_2,\ldots,i_p\), Matriz,\(j_1,j_2,\ldots,j_q\)): Elimina de la Matriz las filas cuyos números son \(i_1,i_2,\ldots,i_p\) y las columnas cuyos números son \(j_1,j_2,\ldots,j_q\). No es preciso que estén ambas: pueden eliminarse únicamente filas o columnas.
- addrow(Matriz, \(v_1, \ldots, v_p\)): Añade en la base de Matriz las filas dadas por vectores (o matrices) \(v_1, \ldots, v_p\). Las longitudes deben ser concordantes.
- addcol(Matriz, \(v_1, \ldots, v_p\)): Añade en la base de Matriz las filas dadas por vectores (o matrices) \(v_1, \ldots, v_p\). Las longitudes deben ser concordantes.
- matrix_size(Matriz): Proporciona las dimensiones de la matriz.
- transpose(Matriz): Proporciona la matriz traspuesta de Matriz.
Las operaciones con matrices son semejantes a las utilizadas con los vectores.
Algunas matrices interesantes:
- diagmatrix(Número,Valor): Genera una matriz cuadrada diagonal cuyo tamaño se establece mediante el valor de Número y en la que todos los elementos de la diagonal tienen el mismo Valor.
- diag_matrix(\(a_1,a_2,\ldots,a_n\)): Genera una matriz diagonal cuadrada con \(a_1,a_2,\ldots,a_n\) en la diagonal.
- ident(Número): Genera la matriz identidad (cuadrada) cuyo tamaño viene dado por el valor Número; es un caso particular del anterior.
- zeromatrix(n,m): Genera la matriz de n filas y m columnas en la que todos sus elementos son ceros.
Uno de los ejercicios más comunes que realizaremos será el cálculo de rango, determinantes, menores e inversa de una matriz. Primero aprenderemos a realizarlo mediante operaciones elementales, consiguiendo una matriz escalonada o una matriz triangular. No obstante, tenemos los comandos que nos los proporcionan:
- rank(\(M\)): dada la matriz \(M\) nos devuelve su rango.
- determinant(\(M\)): dada la matriz \(M\) nos devuelve su determinante.
- mat_trace(\(M\)): dada la matriz \(M\) nos devuelve su traza.
- adjoint(\(M\)): dada la matriz \(M\) nos devuelve su adjunta.
- minor(\(M,i,j\)): dada la matriz \(M\) nos devuelve el menor (i,j), esto es, elimina la fila i y la columna j de la matriz.
- invert(\(M\)): dada la matriz \(M\) nos devuelve su inversa.
- invert(\(M\)),detout: dada la matriz \(M\) nos devuelve su inversa con el determinante fuera.
Ejercicio: Cuál es el valor de x para que el rango de la matriz sea 2 \[\begin{bmatrix}
5 & -5 & -6\\
-5 & 3 & -1 \\
0 & x &7
\end{bmatrix}\]
Ejercicio: ¿Qué valores de \(x\) hacen que la matriz no sea regular? \[\begin{bmatrix}
x & 1 & -1\\
0 & 2 & x \\
4 & 0 & -x
\end{bmatrix}\]
Ejercicio: ¿Cuál es la ecuación implícita del plano que pasa por los puntos \(P(1,2,3)\), \(Q(-1,0,2)\) y \(R(4,-2,0)\)?
Ejercicio: ¿Cuál es el valor del producto escalar del vector \([1,-2,3]\) por el vector unitario normal de la ecuación implícita del plano que pasa por los puntos \(P(1,-3,-1)\), \(Q(2,-2,1)\) y \(R(3,2,-4)\)?
Ejercicio: ¿Cuál es la norma del vector perpendicular a los vectores \(\vec{v}:[1,-2,3]\) y \(\vec{u}:[3,1,-1]\)?
Ejercicio: Calcula mediante operaciones elementales la inversa de la matriz \[\begin{bmatrix}3 & 0 & -1 & 1\\ -2 & 3 & 2 & 2\\ 4 & 2 & -1 & 1\\ -1 & 2 & -3 & 0\end{bmatrix}\]
Ejercicio: ¿Cuál es la traza de la inversa de la matriz \(A\)=[[3,0,-1,1], [1,1,2,-1],[0,1,-1,0], [1,2,0,-1]]?
Sistemas de ecuaciones
En pasados días vimos cómo resolvíamos sistemas de ecuaciones y, en particular, el problema de mínimos cuadrados mediante matrices. Hoy bordaremos estos problemas utilizando maxima.
- linsolve(\([eq_1, …, eq_m], [x_1, …, x_n]\)): Solves the list of simultaneous linear equations for the list of variables. The expressions must each be polynomials in the variables and may be equations.
Ejemplo: Resolver el sistema de ecuaciones \[\begin{matrix}2x+y-z=1 \\x-3y+2z=1 \\ -x+2y-4z=2\end{matrix}\]
El sistema puede tener infinitas soluciones, en cuyo caso estas se dan en forma paramétrica:
Ejemplo: Resolver el sistema de ecuaciones \[\begin{matrix}3x-y-z+t=2 \\ x+y-2z-5t=1 \end{matrix}\]
En muchos casos los sistemas no tiene solución; si embargo, podremos optar por encontrar una solución por mínimos cuadrados.
Ejemplo: Encontrar la parábola que mejor se ajuste a los puntos [1,5.5],[-1,15.5],[3,11.2][-2,26.4]
Autovalores y autovectores
- eigenvalues(M): Calcula los valores propios de la Matriz indicando la multiplicidad de los mismos. Lo hace a través de una lista doble: en la primera están los valores propios, en la segunda sus multiplicidades.
- eigenvectors(M): Devuelve una lista con 2 sublistas. La primera la forman los valores propios con sus multiplicidades, la segunda está formada por los correspondientes vectores propios.
Ejemplo: ¿Cuántos autovalores distintos tiene la matriz dada? \[\begin{bmatrix}1&0&0&1\\0&1&2&-1\\ 0&1&-1&0\\ 0&2&0&-1\end{bmatrix}\]
Ejemplo: ¿Cuál es la suma de las normas de los autovectores de la matriz anterior?
Ejercicio:Sea el sistema \[\begin{array}{l}2x-y-Kz=0 \\ x-y-2z=1 \\ -x+2z=K\end{array}\] El valor de \(K\) que hace el sistema incompatibles divide a |